Doppler-Effekt: Formel, Vorzeichen und gerechnete Beispiele

Ein Horn sendet mit fester Frequenz. Nähert sich das Fahrzeug, hörst du einen höheren Ton; fährt es vorbei, einen tieferen. Das Horn wurde nicht umgestimmt. Durch die Bewegung treffen die Wellenfronten mit anderer Rate bei dir ein. Die Formel des Doppler-Effekts berechnet diese Änderung. Ihre beiden Vorzeichen verwechselt man leicht, wenn man nur ein Muster aus Pluszeichen und Minuszeichen auswendig lernt.

Wir betrachten Schall in ruhender Luft. Quelle und Hörer bewegen sich direkt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen. Eine Tabelle macht die Wahl der Vorzeichen deutlich. Danach rechnen wir denselben Ausgangston zweimal: einmal mit bewegter Quelle, einmal mit gleich schnellem bewegtem Hörer. In einem dritten Fall bewegen sich beide. Der Vergleich ist wichtig, weil Schall ein Medium hat: Die ersten beiden Bewegungen ähneln einander, liefern aber nicht genau denselben Wert.

Zuerst Quelle, Hörer und Medium festlegen

Die gesendete Frequenz heißt $f_s$, die gehörte Frequenz $f_o$. $v$ ist die Schallgeschwindigkeit relativ zur Luft, $v_s$ die Geschwindigkeit der Quelle relativ zur Luft und $v_o$ die des Hörers relativ zur Luft. Alle drei Geschwindigkeiten brauchen dieselbe Einheit, normalerweise Meter pro Sekunde. In den Beispielen ist $v=340\ \mathrm{m/s}$ ein vorgegebener Aufgabenwert, keine allgemeingültige Schallgeschwindigkeit für jede Lufttemperatur.

Quelle und Hörer wirken auf unterschiedliche Weise. Eine bewegte Quelle sendet den nächsten Wellenberg von einem neuen Ort. Vor ihr rücken die Wellenberge zusammen; die Wellenlänge in der Luft wird kürzer. Ein bewegter Hörer verändert die Wellenlänge nicht, sondern trifft die vorhandenen Wellenberge häufiger oder seltener. OpenStax leitet beide Fälle aus diesen Beobachtungen ab.

Zeichne vor dem Einsetzen einen Pfeil von der Quelle zum Hörer. Markiere, wie sich beide Körper entlang dieser Linie bewegen. Ein Auto, das quer zu deiner Blickrichtung fährt, darfst du nicht einfach mit seiner vollen Geschwindigkeit in diese eindimensionale Formel einsetzen. Bei schräger Bewegung zählen die Geschwindigkeitsanteile entlang der Sichtlinie zum betreffenden Zeitpunkt. In einer Einführungsaufgabe verwendest du die Geometrie und Konvention des Kurses.

Die Schallformel und die Vorzeichentabelle

Für Bewegung auf einer Geraden in ruhender Luft gilt

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

Die zusammenstehenden Symbole sind eine Kurzform. Sie bedeuten nicht, dass du beide oberen Zeichen automatisch zusammen nimmst. Wähle den Zähler nach der Bewegung des Hörers und den Nenner nach der Bewegung der Quelle, unabhängig voneinander:

Setze die Geschwindigkeit eines ruhenden Körpers auf null. Nähern sich beide an, erhöhen beide Entscheidungen das Ergebnis: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Entfernen sie sich, senken es beide: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. Nach dem Vorbeifahren kann sich eine Bewegungsrichtung umkehren. Das Vorzeichen für Annäherung gilt danach nicht weiter.

Eine kurze Grenzprüfung findet grobe Vorzeichenfehler: Setze $v_s=v_o=0$. Dann muss $f_o=f_s$ herauskommen. Annäherung muss über der gesendeten Frequenz liegen, Entfernung darunter. Stimmt das nicht, prüfe zuerst die Skizze, dann die Rechnung. Bei langsamen Bewegungen sind die Verschiebungen mäßig. Ein Faktor zehn deutet meist auf gemischte Einheiten oder ein falsches Vorzeichen im Nenner.

Beispiel 1: Die Quelle bewegt sich auf einen ruhenden Hörer zu

Ein Horn sendet mit $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Das Fahrzeug fährt mit $v_s=34\ \mathrm{m/s}$ auf einen ruhenden Hörer zu. Vorgegeben ist $v=340\ \mathrm{m/s}$. Weil der Hörer ruht, ist $v_o=0$. Die Quelle nähert sich, also wird ihre Geschwindigkeit im Nenner subtrahiert:

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755{,}6\ \mathrm{Hz}.$$

Der Ton liegt ungefähr $75{,}6\ \mathrm{Hz}$ über der gesendeten Frequenz. Der Faktor $340/306=1{,}111\ldots$ ist größer als eins, genau wie bei einer näher kommenden Quelle erwartet. Die Geschwindigkeitseinheiten kürzen sich; Hertz bleibt übrig. Das Ergebnis beschreibt die ideale momentane Frequenz in dieser vereinfachten gleichförmigen Situation, nicht die Lautstärke.

Was passiert, wenn das Fahrzeug bereits vorbeigefahren ist und sich mit gleichem Tempo entfernt? Nur das Vorzeichen im Nenner wechselt:

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618{,}2\ \mathrm{Hz}.$$

Der Annäherungs- und der Entfernungston liegen nicht genau gleich weit über und unter $680\ \mathrm{Hz}$. Die Nenner $306$ und $374$ bewirken keine symmetrischen Abstände. Ziehe die erste Frequenzänderung nicht einfach von der Ausgangsfrequenz ab, um den anderen Ton zu erraten.

Die Erklärung über die Wellenlänge lässt sich nachrechnen. Zwischen zwei gesendeten Wellenbergen vergehen $1/680\ \mathrm{s}$. In dieser Zeit rückt die Quelle um $34/680=0{,}050\ \mathrm{m}$ vor; eine Wellenfront legt in der Luft $340/680=0{,}500\ \mathrm{m}$ zurück. Vor der Quelle liegen aufeinanderfolgende Wellenberge also $0{,}500-0{,}050=0{,}450\ \mathrm{m}$ auseinander. Ein ruhender Hörer empfängt sie mit $340/0{,}450=755{,}6\ \mathrm{Hz}$. Der zweite Rechenweg bestätigt den ersten.

Beispiel 2: Stattdessen bewegt sich der Hörer

Jetzt bleibt das Horn in der Luft stehen und sendet weiter $680\ \mathrm{Hz}$. Der Hörer bewegt sich mit $v_o=34\ \mathrm{m/s}$ darauf zu. Die Wellenlänge in der Luft bleibt $v/f_s=340/680=0{,}500\ \mathrm{m}$. Der Hörer trifft die Wellenberge mit einer relativen Geschwindigkeit von $340+34=374\ \mathrm{m/s}$:

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748{,}0\ \mathrm{Hz}.$$

Vergleiche $748{,}0\ \mathrm{Hz}$ mit $755{,}6\ \mathrm{Hz}$ aus Beispiel 1. Beide liegen über $680\ \mathrm{Hz}$, aber die bewegte Quelle erzeugt bei diesem Tempo eine etwas größere Verschiebung. Eine einzige allgemeine "Relativgeschwindigkeit" verdeckt diesen Unterschied beim Schall im Medium. Die Quelle verändert die Wellenlänge, der Hörer die Rate, mit der er sie durchquert.

Bewegt sich der Hörer stattdessen weg, steht $v-v_o$ im Zähler: $680(340-34)/340=612{,}0\ \mathrm{Hz}$. Dieser Ton liegt unter dem Ergebnis der sich entfernenden Quelle, $618{,}2\ \mathrm{Hz}$. Der Vergleich bei gleichem Tempo funktioniert auf beiden Seiten des Vorbeifahrens.

Diese Tabelle ist die eigens zusammengestellte Rechenkontrolle des Artikels. Ausgangston, Schallgeschwindigkeit und Geschwindigkeit des bewegten Körpers bleiben gleich. Nur welcher Körper sich bewegt, ändert sich. Damit kannst du ein anderes Doppler-Ergebnis selbst prüfen.

Beispiel 3: Beide bewegen sich aufeinander zu

Wir bleiben bei $680\ \mathrm{Hz}$ und $340\ \mathrm{m/s}$. Die Quelle fährt nun mit $20\ \mathrm{m/s}$ auf den Hörer zu, der Hörer mit $10\ \mathrm{m/s}$ auf die Quelle. Beide Bewegungen müssen die gehörte Frequenz erhöhen. Die Hörergeschwindigkeit wird im Zähler addiert, die Quellengeschwindigkeit im Nenner subtrahiert:

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743{,}75\ \mathrm{Hz}.$$

Der Faktor $350/320=1{,}09375$ ist größer als eins. Noch eine Kontrolle: Ohne Hörerbewegung wären es $680(340/320)=722{,}5\ \mathrm{Hz}$. Ein sich nähernder Hörer hebt den Wert auf $743{,}75\ \mathrm{Hz}$, wie die Skizze erwarten lässt. Würde der Hörer sich bei gleicher näher kommender Quelle mit $10\ \mathrm{m/s}$ entfernen, würden beide Effekte gegeneinander wirken: $680(330/320)=701{,}25\ \mathrm{Hz}$. Wähle also beide Zeichen einzeln, statt die ganze Situation nur "Annäherung" zu nennen.

Grenzen des Modells

Alle Beispiele betreffen klassischen Schall. Geschwindigkeiten beziehen sich auf das angegebene Medium, hier ruhende Luft. Die Formel für eine Gerade verwendet nur die Bewegung entlang des Schallwegs. Wind verändert die Geschwindigkeiten relativ zur Luft; eine schräge Bahn erfordert Komponenten. Die Quelle bleibt unter Schallgeschwindigkeit. Wenn sich bei Annäherung $v_s=v$ nähert, geht der Nenner gegen null. Das markiert das Ende des hier verwendeten Modells getrennter Wellenfronten, keine unendlich hohe hörbare Frequenz. Für Überschallknall und Stoßfronten braucht man eine andere Beschreibung.

Auch Licht zeigt den Doppler-Effekt, doch im Vakuum braucht es kein luftähnliches Medium. Setze nicht die Lichtgeschwindigkeit in diesen Schallbruch ein und erfinde eine ruhende Luft für getrennte Quellen- und Hörergeschwindigkeiten. Das Lichtkapitel von OpenStax gibt eine relativistische Beziehung für die Relativbewegung. Die Aussage "Annäherung erhöht die Frequenz" bleibt, die Rechnung ändert sich.

Bei einer neuen Schallaufgabe notierst du $f_s$, $v$, $v_s$ und $v_o$ mit Einheiten, zeichnest die Bewegung und nimmst dann die Vorzeichentabelle. Prüfe das Ergebnis mit Annäherung oder Entfernung und dem Grenzfall ohne Bewegung. Falls schon das Festlegen der Bewegungsrichtungen schwerfällt, hilft der Artikel zur Kinematik beim Umgang mit Geschwindigkeitsvorzeichen. Im Thema Wellen und Schall von Physics Zen kannst du Doppler-Aufgaben mit neuen Zahlen, sofortiger Prüfung und Lösungswegen üben. Eine klare Skizze und zwei Kontrollen helfen mehr als eine auswendig gelernte Vorzeichenfolge.