Snelliussches Brechungsgesetz: Lichtbrechung mit Rechenbeispielen

Ein Trinkhalm in einem Wasserglas kann an der Wasseroberfläche versetzt erscheinen. Der Halm selbst ist nicht geknickt. Licht von seinem untergetauchten Teil ändert auf dem Weg vom Wasser in die Luft die Richtung. Das Auge verlängert diese Strahlen gedanklich in eine Richtung zurück, der sie unter Wasser nicht gefolgt sind. Diese Richtungsänderung heißt Brechung.

Ein Strahl kann an der Oberfläche auch zurückgeworfen werden: Das ist Reflexion. Bei einer Aufgabe zur Brechung folgen Sie dem Strahl, der die Grenzfläche durchquert. Das snelliussche Brechungsgesetz beschreibt seine Richtung, sobald Einfallswinkel und beide Stoffe bekannt sind. Die Rechnung ist kurz. Entscheidend sind eine sorgfältige Skizze und richtig bezeichnete Winkel.

Zeichnen Sie zuerst die Grenzfläche und das Lot

Das Lot ist eine gedachte Gerade, die an der Auftreffstelle des Strahls senkrecht auf der Grenzfläche steht. Einfalls- und Brechungswinkel werden jeweils zwischen Strahl und Lot gemessen, niemals zwischen Strahl und Oberfläche. Die Skizze zeigt einen Strahl von Luft in Wasser. Die waagerechten Abstände dienen nur der Veranschaulichung; die Zahlenwerte der Winkel folgen unten.

                  Luft, n1 = 1.00
 einfallender ↘   |  Lot
 Strahl          \| θ1
------------------+---------------- Oberfläche
                   |\ θ2
                   | ↘ gebrochener Strahl
                 Wasser, n2 = 1.33

Auf Papier können Sie am Pluszeichen ein kurzes gestricheltes Lot einzeichnen. Bezeichnen Sie die Einfallsseite mit $1$ und die Seite des durchgehenden Strahls mit $2$. Schreiben Sie $\theta_1$ an den einfallenden und $\theta_2$ an den gebrochenen Strahl. Eine gute Skizze verhindert einen häufigen Fehler: einen Winkel, der zur Oberfläche angegeben ist, direkt in das Brechungsgesetz einzusetzen. Ist dieser Oberflächenwinkel $30^\circ$, beträgt der Winkel zum Lot $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

Auch OpenStax zum Brechungsgesetz misst die Winkel zum Lot. Die dortigen Abbildungen unterscheiden außerdem zwischen dem reflektierten Strahl, der auf der Einfallsseite bleibt, und dem gebrochenen Strahl, der in den zweiten Stoff eindringt.

Was der Brechungsindex bedeutet

Der Brechungsindex $n$ vergleicht die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, $c$, mit der Geschwindigkeit im Stoff, $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

Ein größerer Index bedeutet in diesem Modell eine geringere Geschwindigkeit. Wir verwenden $n_{\mathrm{air}}=1.00$ und $n_{\mathrm{water}}=1.33$, gerundete Werte aus OpenStax zur Brechung. Der Index eines Stoffes kann sich mit der Wellenlänge ändern. Für die folgenden Rechnungen betrachten wir einen Strahl mit fester Frequenz und behandeln die Indizes als konstant. An der Grenzfläche bleibt die Frequenz gleich, während sich Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern, wie OpenStax Physics zur Brechung erklärt.

Die Beziehung zwischen den beiden Richtungen heißt snelliussches Brechungsgesetz:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Beide Winkel werden zum Lot gemessen. Die Brechungsindizes haben keine Einheit, ebenso wenig die Sinuswerte. Stellen Sie den Taschenrechner bei den Gradwinkeln dieses Artikels auf Gradmaß. Im Bogenmaß erhalten Sie falsche Zahlenwerte.

Sagen Sie die Richtung vor der Rechnung voraus. Ist der zweite Index größer, muss $\sin\theta_2$ kleiner sein. Der gebrochene Winkel wird kleiner und der Strahl biegt zum Lot hin. Ist der zweite Index kleiner, biegt ein vorhandener durchgehender Strahl vom Lot weg. Bei senkrechtem Einfall, $\theta_1=0^\circ$, verläuft er weiter entlang des Lots, obwohl sich seine Geschwindigkeit ändert.

Rechenbeispiel: von Luft in Wasser

Ein Strahl trifft aus der Luft unter $40^\circ$ zum Lot auf eine ebene Wasseroberfläche. Gesucht ist der Winkel im Wasser. Ordnen Sie zuerst zu: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ und $\theta_1=40^\circ$. Da der Index steigt, erwarten Sie $\theta_2<40^\circ$.

Stellen Sie das Brechungsgesetz erst nach dem unbekannten Sinus um und setzen Sie dann Zahlen ein:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Bilden Sie den Arkussinus, weiterhin im Gradmodus:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Das ist kleiner als $40^\circ$. Die Richtung stimmt also. Durch Einsetzen prüfen Sie mögliche Tippfehler: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ und $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. Der kleine Unterschied ist Rundung. Ein Ergebnis von $51^\circ$ würde der Vorhersage beim Eintritt in den Stoff mit größerem Index widersprechen.

An $28.9^\circ$ gehört keine Längeneinheit. Gesucht ist eine Richtung, die in Grad angegeben wird. Fragt eine Prüfung zusätzlich nach der Geschwindigkeit, berechnen Sie sie getrennt mit $v=c/n$. Behandeln Sie den Winkel nicht wie eine Geschwindigkeit.

Rechenbeispiel: von Wasser in Luft

Nun läuft ein Strahl im Wasser nach oben auf die Wasser-Luft-Grenze zu, unter $30^\circ$ zum Lot. Die Zuordnung kehrt sich um: $n_1=1.33$ für Wasser und $n_2=1.00$ für Luft. Weil der Index sinkt, erwarten Sie in Luft einen Winkel größer als $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Damit:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

Der durchgehende Strahl biegt wie erwartet vom Lot weg. Die Rückprobe ergibt $1.33\sin30^\circ=0.665$ und $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Bis auf die gezeigte Rundung stimmen die Werte überein.

Beachten Sie, was sich zwischen den Beispielen ändert: Laufrichtung, Reihenfolge der Indizes und vorgegebener Einfallswinkel. Vertauschen Sie nicht $n_1$ und $n_2$, während Sie das alte $\theta_1$ beibehalten. Stoff 1 ist in jeder Rechnung der Stoff, in dem der Strahl startet.

Unmögliche Antworten und den Grenzwinkel prüfen

Der Sinus eines reellen Winkels kann nicht größer als eins sein. Ergibt das umgestellte Brechungsgesetz $\sin\theta_2>1$, dürfen Sie keinen Taschenrechnerwert erzwingen und auch nicht auf eins abrunden. Beim Übergang von einem größeren zu einem kleineren Index liegt der Strahl dann im Bereich der Totalreflexion dieses idealen Strahlenmodells. Für diesen Einfallswinkel gibt es keinen durchgehenden gebrochenen Strahl.

Beim Grenzwinkel verliefe der gebrochene Strahl entlang der Oberfläche, mit $\theta_2=90^\circ$. Setzen Sie $\sin90^\circ=1$ in das Brechungsgesetz und lösen Sie nach dem Grenzwinkel auf:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Mit unseren gerundeten Indizes für Wasser und Luft ist $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Dieser Wert ist separat mit den hier gewählten Zahlen gerundet; OpenStax zur Totalreflexion erklärt die Regel und zeigt die Grenzsituation. Unser Beispiel bei $30^\circ$ liegt darunter und liefert einen durchgehenden Strahl. Bei $60^\circ$ zum Lot würde dieselbe Rechnung $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$ verlangen. Das ist unmöglich. Im Modell wird der Strahl total reflektiert.

Der Gleichheitsfall ist wichtig: Genau beim Grenzwinkel zeigt die gebrochene Richtung mit $90^\circ$ entlang der Oberfläche. Erst bei größerem Einfallswinkel tritt Totalreflexion auf. Von Luft nach Wasser kann sie nicht auftreten, denn dort beginnt der Strahl im Stoff mit kleinerem Index. Unterscheiden Sie außerdem gewöhnliche Teilreflexion von diesem Grenzfall: Auch wenn ein durchgehender Strahl existiert, kann die Grenzfläche einen Teil des Lichts reflektieren.

Drei Übungsfragen mit Antworten

1. Der Winkel ist zur Oberfläche angegeben. Ein Strahl aus Luft trifft unter $25^\circ$ zur ebenen Wasseroberfläche ein. Welcher Einfallswinkel gehört in das Brechungsgesetz, und wie groß ist der Brechungswinkel? Das Lot steht senkrecht auf der Oberfläche, also $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Damit:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

Das Ergebnis ist zum Lot gemessen und kleiner als $65^\circ$, wie es beim Eintritt in Wasser sein muss.

2. Der Strahl trifft senkrecht ein. Ein Strahl gelangt aus Wasser unter $0^\circ$ zum Lot in Luft. Das Brechungsgesetz liefert $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, also $\theta_2=0^\circ$. Die Richtung des durchgehenden Strahls bleibt gerade. Die beiden Stoffe müssen deshalb nicht den gleichen Brechungsindex haben.

3. Kann ein Strahl hindurchgehen? Ein Wasser-Luft-Strahl hat $\theta_1=50^\circ$ zum Lot. Die Rechnung liefert $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Weil das größer als eins ist, gibt es in diesem Modell keinen Winkel für einen durchgehenden Strahl. Anders gesagt liegt $50^\circ$ über dem Grenzwinkel von ungefähr $48.8^\circ$. Geben Sie $\sin^{-1}(1.019)$ nicht als reellen Winkel an.

Wenn Sie das Lot sicher markieren und die Brechungsrichtung vor der Rechnung vorhersagen können, üben Sie im Optik-Thema von Physics Zen Reflexion, Brechung und Grenzwinkel. Dieselbe Gewohnheit hilft bei Aufgaben mit vielen Skizzen: A-Level-Physik, Abiturvorbereitung in Physik und Vorbereitung auf den Bac physique behandeln breitere Lernpläne. Benennen Sie bei jeder neuen Brechungsaufgabe zuerst den Stoff des einfallenden Strahls, messen Sie beide Winkel zum Lot und prüfen Sie den Sinus vor dem Arkussinus.

Häufige Fragen

Warum steht im Brechungsgesetz der Sinus?

Der Sinus erfasst, wie stark die Strahlrichtung entlang der Grenzfläche verläuft. Die Wellengeometrie an einer ebenen Grenzfläche verbindet diesen Anteil auf beiden Seiten und ergibt $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Für eine Strahlenaufgabe zählt vor allem: Winkel zum Lot messen und jeden Index mit dem Winkel im zugehörigen Stoff verbinden.

Ändert sich die Frequenz bei der Lichtbrechung?

Nein. In diesem Grenzflächenmodell bleibt die Frequenz gleich. Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich mit dem Stoff. Auch der Brechungsindex eines Stoffes kann von der Wellenlänge abhängen, sodass ein breites Farbgemisch aufgespalten werden kann. Unsere Zahlenbeispiele verfolgen einen Strahl mit einem gewählten Indexpaar.

Bedeutet ein größerer Brechungsindex immer einen größeren Winkel?

Nein. Vergleichen Sie beide Indizes und den Einfallswinkel. Bei festem Einfallswinkel im Stoff 1 führt ein größeres $n_2$ im Stoff 2 zu einem kleineren Winkel zum Lot. Bei $0^\circ$ Einfall biegt der Strahl überhaupt nicht ab. Sagen Sie vor einem Zahlenvergleich immer, welchen Winkel Sie meinen.