Ley de Snell: refracción con ejemplos resueltos

Una pajita dentro de un vaso de agua puede parecer desplazada en la superficie. La pajita no se dobló. La luz procedente de su parte sumergida cambia de dirección al pasar del agua al aire, y el ojo prolonga mentalmente esos rayos siguiendo una dirección distinta de la que tenían bajo la superficie. Ese cambio de dirección es la refracción.

Un rayo también puede rebotar en la superficie: eso es la reflexión. En un problema de refracción, sigue el rayo que cruza la frontera. La ley de Snell permite hallar su dirección si conoces el ángulo de llegada y los dos materiales. El cálculo es corto; lo importante es dibujar y rotular bien los ángulos.

Dibuja primero la frontera y su normal

La normal es una línea imaginaria perpendicular a la superficie en el punto donde llega el rayo. El ángulo de incidencia y el de refracción se miden entre sus rayos y esa normal, nunca entre un rayo y la superficie. Este esquema muestra un rayo que pasa del aire al agua. La separación horizontal es ilustrativa; los ángulos numéricos se establecen más adelante.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

En papel, dibuja una normal corta y discontinua en el signo más. Marca con $1$ el lado de llegada y con $2$ el lado por donde continúa el rayo. Escribe $\theta_1$ junto al rayo incidente y $\theta_2$ junto al transmitido. Un buen dibujo evita un error frecuente: introducir directamente en la ley de Snell un ángulo dado respecto a la superficie. Si ese ángulo es $30^\circ$, el ángulo respecto a la normal será $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

La sección de OpenStax sobre la ley de refracción utiliza la misma convención de la normal. Sus dibujos también separan el rayo reflejado, que permanece del lado de llegada, del refractado, que entra en el segundo material.

Qué significa el índice de refracción

El índice de refracción $n$ compara la rapidez de la luz en el vacío, $c$, con su rapidez en un material, $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

En este modelo, un índice mayor significa menor rapidez. Usaremos $n_{\mathrm{air}}=1.00$ y $n_{\mathrm{water}}=1.33$, valores redondeados del tratamiento de la refracción en OpenStax. El índice de un material puede variar con la longitud de onda. En los cálculos siguientes seguimos un rayo de frecuencia fija y tratamos estos índices como constantes. Al cruzar la frontera, la frecuencia no cambia, pero sí cambian rapidez y longitud de onda, como explica OpenStax Physics sobre refracción.

La relación entre las dos direcciones es la ley de Snell:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Los ángulos de la fórmula se miden desde la normal. Los índices no tienen unidades y los valores de los senos tampoco. Pon la calculadora en grados para los ángulos en grados de este artículo; si la cambias a radianes, las respuestas numéricas serán incorrectas.

Antes de calcular, predice la dirección. Cuando el segundo índice es mayor, $\sin\theta_2$ debe ser menor. El ángulo transmitido disminuye y el rayo se desvía hacia la normal. Cuando el segundo índice es menor, el rayo se desvía alejándose de ella, si existe un rayo transmitido. En incidencia normal, $\theta_1=0^\circ$, el rayo transmitido continúa sobre la normal sin desviarse aunque cambie su rapidez.

Ejemplo resuelto: del aire al agua

Supón que un rayo en el aire llega a una superficie plana de agua a $40^\circ$ de la normal. Buscamos su ángulo dentro del agua. Anota primero los lados: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ y $\theta_1=40^\circ$. Como aumenta el índice, espera $\theta_2<40^\circ$.

Despeja el seno desconocido en la ley de Snell antes de sustituir números:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Calcula el arco seno con la calculadora aún en grados:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Es menor que $40^\circ$, como habíamos predicho. Sustituye en la ecuación original para detectar una tecla mal pulsada: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ y $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. La pequeña diferencia se debe al redondeo. Una respuesta de $51^\circ$ contradiría la predicción al entrar en un material de mayor índice.

No hay ninguna unidad de longitud que añadir a $28.9^\circ$. El problema pide una dirección y la unidad de salida son grados. Si el examen también pide la rapidez, calcúlala aparte con $v=c/n$, sin tratar el ángulo como si fuera una rapidez.

Ejemplo resuelto: del agua al aire

Ahora envía un rayo hacia arriba por el agua hasta la frontera con el aire, con $30^\circ$ respecto a la normal. Se invierte el orden de los medios: $n_1=1.33$ para el agua y $n_2=1.00$ para el aire. Como el índice baja, espera en el aire un ángulo mayor que $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Por tanto:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

El rayo transmitido se desvía alejándose de la normal, como esperábamos. Al sustituir de nuevo, $1.33\sin30^\circ=0.665$ y $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Los valores coinciden con la precisión mostrada.

Fíjate en qué cambió entre los ejemplos: el sentido de propagación, el orden de los índices y el ángulo de incidencia dado. No intercambies $n_1$ y $n_2$ manteniendo el antiguo $\theta_1$. El medio 1 siempre es aquel en el que empieza el rayo en ese cálculo.

Detecta respuestas imposibles y halla el ángulo crítico

El seno de un ángulo real no puede superar uno. Si al despejar la ley de Snell obtienes $\sin\theta_2>1$, no fuerces una respuesta en la calculadora ni redondees el valor hacia abajo. Si la luz va de un índice mayor a otro menor, indica la región de reflexión interna total en este modelo ideal de rayos. En ese ángulo de incidencia no hay rayo refractado transmitido.

En el ángulo límite, el rayo transmitido iría a lo largo de la frontera, con $\theta_2=90^\circ$. Sustituye $\sin90^\circ=1$ en la ley de Snell y despeja el ángulo crítico:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Para los índices redondeados de agua y aire que usamos, $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Es un cálculo redondeado por separado con nuestros valores; la sección de OpenStax sobre reflexión interna total explica la regla y muestra la situación límite. Nuestro ejemplo de $30^\circ$ está por debajo del ángulo crítico, así que produce un rayo transmitido. A $60^\circ$ de la normal, el mismo cálculo pediría $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$, lo cual es imposible. El rayo sufre reflexión interna total en este modelo.

El caso de igualdad importa. En el ángulo crítico, la dirección refractada es $90^\circ$, paralela a la superficie. Para incidencias mayores se produce reflexión interna total. No puede ocurrir si el rayo pasa del aire al agua, ya que parte del índice menor. Distingue también la reflexión parcial ordinaria de este caso límite: una frontera puede reflejar parte de la luz incluso si existe un rayo transmitido.

Tres preguntas para practicar, con respuestas

1. Ángulo dado desde la superficie. Un rayo llega desde el aire a $25^\circ$ respecto a una superficie plana de agua. ¿Qué ángulo de incidencia debes usar en la ley de Snell y cuál es el ángulo refractado? La normal es perpendicular a la superficie, así que $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Después:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

La respuesta se mide desde la normal y es menor que $65^\circ$, como corresponde al entrar en agua.

2. El rayo llega perpendicularmente a la superficie. Un rayo pasa del agua al aire a $0^\circ$ respecto a la normal. La ley de Snell da $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, de modo que $\theta_2=0^\circ$. El rayo transmitido sigue recto. Eso no significa que los dos materiales tengan el mismo índice de refracción.

3. ¿Puede existir un rayo transmitido? Un rayo va del agua al aire con $\theta_1=50^\circ$ respecto a la normal. El cálculo da $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Como supera uno, en este modelo no existe un ángulo de rayo transmitido. Equivalentemente, $50^\circ$ supera el ángulo crítico de unos $48.8^\circ$. No presentes $\sin^{-1}(1.019)$ como ángulo real.

Cuando puedas marcar la normal y predecir la desviación antes de calcular, practica en el tema de Óptica de Physics Zen, que incluye reflexión, refracción y ángulo crítico. Este hábito ayuda también en los exámenes con muchos diagramas: preparación de física A-Level, preparación del Abitur de física y preparación del Bac de física presentan planes de estudio más amplios. En cada problema nuevo de refracción, identifica primero el medio de incidencia, mide ambos ángulos desde la normal y comprueba el seno antes de pulsar arco seno.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la ley de Snell utiliza el seno?

El seno expresa cuánto de la dirección de un rayo se extiende a lo largo de la frontera. La geometría de las ondas en una interfaz plana relaciona esa componente a ambos lados y da $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Para resolver un problema de rayos, lo esencial es medir los ángulos desde la normal y asociar cada índice con el ángulo de su propio medio.

¿Cambia la frecuencia cuando la luz se refracta?

No. En este modelo de frontera, la frecuencia permanece igual. La rapidez y la longitud de onda cambian con el medio. Además, el índice de refracción puede variar con la longitud de onda, por lo que una mezcla amplia de colores puede separarse. Nuestros ejemplos numéricos siguen un solo rayo con un par de índices elegido.

¿Un índice de refracción mayor siempre significa mayor ángulo de desviación?

No. Compara los dos índices y el ángulo de incidencia. Para un ángulo de incidencia fijo en el medio 1, un $n_2$ mayor produce un ángulo menor respecto a la normal en el medio 2. Si la incidencia es de $0^\circ$, la dirección no cambia. Indica siempre a qué ángulo te refieres antes de comparar cifras.