Loi de Snell-Descartes : comprendre la réfraction par des exemples

Une paille dans un verre d'eau peut paraître décalée au niveau de la surface. La paille n'est pas pliée. La lumière qui vient de sa partie immergée change de direction en passant de l'eau à l'air. L'œil prolonge alors les rayons en arrière selon une direction qu'ils ne suivaient pas sous l'eau. Ce changement de direction s'appelle la réfraction.

Un rayon peut aussi rebondir sur la surface : c'est la réflexion. Dans un exercice de réfraction, suivez le rayon qui traverse la séparation entre les milieux. La loi de Snell-Descartes indique sa direction dès que vous connaissez l'angle d'arrivée et les deux milieux. Le calcul est court ; le vrai travail consiste à tenir un schéma et des angles correctement étiquetés.

Tracez d'abord la surface et sa normale

La normale est une droite imaginaire perpendiculaire à la surface au point où arrive le rayon. L'angle d'incidence et l'angle de réfraction se mesurent chacun entre leur rayon et cette normale, jamais entre le rayon et la surface. Voici un schéma pour un rayon allant de l'air à l'eau. Les espacements horizontaux ne sont qu'illustratifs ; les valeurs des angles sont calculées plus bas.

                  air, n1 = 1.00
 rayon incident ↘ |  normale
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ rayon transmis
                 eau, n2 = 1.33

Sur papier, vous pouvez dessiner une courte normale en pointillés au niveau du signe plus. Notez $1$ du côté incident et $2$ du côté transmis. Placez $\theta_1$ près du rayon incident et $\theta_2$ près du rayon réfracté. Un schéma clair évite une erreur fréquente : introduire directement dans la loi un angle mesuré par rapport à la surface. Si cet angle vaut $30^\circ$, l'angle avec la normale vaut $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

La section d'OpenStax sur la réfraction emploie aussi la normale pour mesurer les angles. Ses schémas distinguent le rayon réfléchi, qui reste dans le premier milieu, du rayon réfracté, qui pénètre dans le second.

Ce que signifie l'indice de réfraction

L'indice de réfraction $n$ compare la vitesse de la lumière dans le vide, $c$, à sa vitesse dans un milieu, $v$ :

$$n=\frac{c}{v}.$$

Dans ce modèle, un indice plus grand signifie une vitesse plus faible. Nous utiliserons $n_{\mathrm{air}}=1.00$ et $n_{\mathrm{water}}=1.33$, valeurs arrondies données dans l'explication d'OpenStax sur la réfraction. L'indice d'un matériau peut varier avec la longueur d'onde. Dans les calculs qui suivent, nous suivons un seul rayon de fréquence fixe et supposons ces indices constants. La fréquence ne change pas à la frontière, alors que la vitesse et la longueur d'onde changent, comme l'explique OpenStax Physics.

La relation entre les deux directions est la loi de Snell-Descartes :

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Les angles sont mesurés par rapport à la normale. Les indices n'ont pas d'unité, tout comme les valeurs du sinus. Réglez la calculatrice en degrés pour les angles exprimés en degrés dans cet article. En radians, vous obtiendriez des résultats numériques erronés.

Avant de calculer, prévoyez le sens du changement. Si le second indice est plus grand, $\sin\theta_2$ doit être plus petit. L'angle transmis diminue et le rayon se rapproche de la normale. Si le second indice est plus petit, le rayon transmis s'éloigne de la normale, à condition qu'il existe. À incidence normale, $\theta_1=0^\circ$, il poursuit sa route sur la normale sans changer de direction, même si sa vitesse change.

Exemple résolu : de l'air vers l'eau

Supposons qu'un rayon dans l'air atteigne une surface d'eau plane sous un angle de $40^\circ$ avec la normale. Nous cherchons son angle dans l'eau. Identifiez d'abord les côtés : $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ et $\theta_1=40^\circ$. L'indice augmente, donc attendez-vous à $\theta_2<40^\circ$.

Isolez le sinus inconnu dans la loi avant de remplacer les valeurs :

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Prenez l'arcsinus, toujours en mode degrés :

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Ce résultat est inférieur à $40^\circ$ : la vérification du sens est bonne. Remplacez à nouveau dans l'équation pour repérer une faute de saisie : $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ et $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. Le petit écart vient de l'arrondi. Un résultat de $51^\circ$ contredirait la prévision lors de l'entrée dans un milieu d'indice plus élevé.

Il n'y a pas d'unité de longueur à associer à $28.9^\circ$. La question demande une direction, et l'unité de réponse est le degré. Si un examen demande aussi la vitesse, calculez-la séparément avec $v=c/n$ au lieu de traiter l'angle comme une vitesse.

Exemple résolu : de l'eau vers l'air

Envoyons maintenant un rayon vers le haut, depuis l'eau jusqu'à la surface eau-air, sous $30^\circ$ avec la normale. Les indices changent de côté : $n_1=1.33$ pour l'eau et $n_2=1.00$ pour l'air. Comme l'indice diminue, prévoyez dans l'air un angle supérieur à $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Donc :

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

Le rayon transmis s'éloigne de la normale, comme prévu. La substitution en sens inverse donne $1.33\sin30^\circ=0.665$ et $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Les valeurs concordent à la précision indiquée.

Remarquez ce qui a changé entre les exemples : le sens de propagation, l'ordre des indices et l'angle d'incidence donné. N'échangez pas $n_1$ et $n_2$ en gardant l'ancien $\theta_1$. Le milieu 1 est toujours celui dans lequel le rayon commence, pour le calcul en cours.

Vérifiez les réponses impossibles et l'angle critique

Le sinus d'un angle réel ne peut pas dépasser un. Si la loi réarrangée donne $\sin\theta_2>1$, n'essayez pas de forcer une réponse sur la calculatrice ni d'arrondir à un. Quand la lumière va d'un indice plus élevé à un indice plus faible, cela signale la région de réflexion totale interne dans ce modèle idéal de rayons. À cet angle d'incidence, aucun rayon réfracté transmis n'existe.

À l'angle limite, le rayon transmis longerait la surface, avec $\theta_2=90^\circ$. Posez $\sin90^\circ=1$ dans la loi et calculez l'angle critique :

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Avec nos indices arrondis pour l'eau et l'air, $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Ce calcul est arrondi séparément à partir des valeurs choisies ici ; la section d'OpenStax sur la réflexion totale donne la règle et illustre la limite. Notre exemple à $30^\circ$ est en dessous et produit un rayon transmis. À $60^\circ$ avec la normale, le même calcul demanderait $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$, valeur impossible. Dans ce modèle, le rayon subit une réflexion totale interne.

Le cas d'égalité compte. À l'angle critique, la direction réfractée vaut $90^\circ$ et longe la surface. La réflexion totale se produit pour un angle d'incidence supérieur à cette limite. Elle ne peut pas se produire lorsque le rayon va de l'air vers l'eau, car le premier indice y est plus faible. Distinguez aussi la réflexion partielle ordinaire de ce cas limite : une interface peut réfléchir une partie de la lumière même si un rayon transmis existe.

Trois questions d'entraînement corrigées

1. L'angle est donné par rapport à la surface. Un rayon venant de l'air arrive à $25^\circ$ d'une surface d'eau plane. Quel angle d'incidence faut-il mettre dans la loi, et quel est l'angle réfracté ? La normale est perpendiculaire à la surface, donc $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Alors :

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

La réponse se mesure par rapport à la normale et reste inférieure à $65^\circ$, comme attendu lors de l'entrée dans l'eau.

2. Le rayon est perpendiculaire à la surface. Un rayon passe de l'eau à l'air sous $0^\circ$ avec la normale. La loi donne $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, donc $\theta_2=0^\circ$. Le rayon transmis continue tout droit. Cela ne veut pas dire que les deux milieux ont le même indice de réfraction.

3. Un rayon transmis peut-il exister ? Un rayon allant de l'eau à l'air a $\theta_1=50^\circ$ avec la normale. Le calcul donne $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Comme cette valeur dépasse un, il n'y a pas d'angle réel pour un rayon transmis dans ce modèle. Autrement dit, $50^\circ$ est au-delà de l'angle critique d'environ $48.8^\circ$. Ne donnez pas $\sin^{-1}(1.019)$ comme angle réel.

Quand vous savez repérer la normale et prévoir le sens de la déviation avant le calcul, essayez le thème Optique de Physics Zen, qui comprend réflexion, réfraction et angle critique. Cette habitude aide aussi avec les schémas d'examen : la préparation à la physique A-level, la préparation à l'Abitur de physique et la préparation au bac de physique proposent des plans de révision plus larges. Pour tout nouvel exercice, nommez d'abord le milieu incident, mesurez les deux angles à la normale et contrôlez le sinus avant l'arcsinus.

Questions fréquentes

Pourquoi la loi de Snell-Descartes utilise-t-elle le sinus ?

Le sinus traduit la part de la direction du rayon qui longe l'interface. La géométrie des ondes à une séparation plane lie cette composante des deux côtés et donne $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Pour résoudre un problème de rayon, retenez surtout qu'il faut mesurer les angles à la normale et associer chaque indice à l'angle du milieu correspondant.

La fréquence change-t-elle lors de la réfraction ?

Non. Dans ce modèle de frontière, la fréquence reste la même. La vitesse et la longueur d'onde changent avec le milieu. L'indice d'un matériau peut lui aussi dépendre de la longueur d'onde, ce qui permet à un mélange de couleurs de se séparer ; nos calculs suivent un rayon avec une seule paire d'indices choisie.

Un indice plus grand signifie-t-il toujours un angle plus grand ?

Non. Comparez les deux indices et l'angle d'incidence. Pour un angle incident fixé dans le milieu 1, un $n_2$ plus grand produit un angle plus petit avec la normale dans le milieu 2. À l'incidence de $0^\circ$, le rayon ne change pas du tout de direction. Précisez toujours de quel angle vous parlez avant de comparer des nombres.