ニュートンの運動の法則を直感で理解する：運動が変わる理由

運動学は物体がどう動くかを表しますが、その理由は説明しません。問題に押す力、ロープ、粗い床、斜面が出てきた瞬間、問いは「この物体に働く合力はいくらで、どんな加速度を生むか」に変わります。

ニュートンの3つの法則は、すべてこの1つの問いに関わります。別々に覚える3つの事実ではありません。中心にあるのは「合力が加速度を決める」という関係です。そこに、合力がゼロのときに何が起こるか、力はどこから来るかという2つの補足が付きます。

すでに運動学を直感で理解する記事を読んだなら、これはその続きです。読みながら試したいなら、Physics Zenの運動の法則でニュートンの法則、摩擦力、斜面の新しい問題を解けます。

第1法則はゼロについての法則

ニュートンの第1法則は、「静止している物体は静止し続け、動いている物体は力が働かない限り動き続ける」と説明されがちです。ただし、この言い方では要点が見えにくくなります。重要なのは、合力がゼロなら速度は変わらないということです。

鍵になる語が2つあります。合力は、すべての力をベクトルとして足したものです。机の上の本に5つの力が働いても、合力はゼロになり得ます。速度には向きも含まれます。速度が変わらないなら、速くなることも遅くなることも曲がることもありません。直線道路を一定の20 m/sで走る車の合力はゼロです。エンジンが摩擦と空気抵抗に抗い、その力がつり合っています。

落とし穴は、静止を特別な状態だと思うことです。静止も速度ゼロの等速運動です。一定の速度で動く物体は、動き続けるための合力を必要としません。日常の感覚と違って見えるのはここです。箱を滑らせ続けるには押し続けなければならないと感じます。実際にそうなのは、摩擦力が逆向きに働くからです。摩擦力がなければ、箱は押さなくても滑り続けます。

第2法則が中心になる

ニュートンの第2法則は、よく知られた式です。

$\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$

文章で読むと、物体の加速度は合力を質量で割った値で、その向きは合力と同じです。ここから3つの結果が得られ、それぞれが試験問題の土台になります。

使うのは合力。 最も大きい力でも、最後に書かれた力でもありません。物体に働くすべての力をベクトルとして足します。30 Nで引いても逆向きに30 Nの摩擦力があれば、引くのがどれほど大変でも合力と加速度はゼロです。

ベクトルの式。 実際には軸ごとに1本ずつ書きます。水平軸と鉛直軸を決め、各力を成分に分け、$\sum F_x = m a_x$ と $\sum F_y = m a_y$ を別々に書きます。斜めの力は両方の式に寄与します。ある軸に沿って加速しなければ、その軸では「力の和はゼロ」となり、通常はその式から垂直抗力を求めます。

質量と重さは別。 キログラムで表す質量は、物体の加速しにくさに関わります。重さはニュートンで表す力 $mg$ で、地球による引力です。質量5 kgの物体の重さは、$g = 9.8\,\mathrm{m/s}^2$ を使うAPコースでは49 N、$g = 9.81\,\mathrm{m/s}^2$ を使うA-Levelコースでは49.05 Nです。問題に示された値を使い、ニュートンが必要な場所にキログラムを書かないでください。

残りは単位でも確かめられます。1ニュートンはキログラム・メートル毎秒毎秒です。力をニュートン、質量をキログラムで表して割れば、加速度は $\mathrm{m/s}^2$ となり、次に運動学で使う単位と一致します。

自由物体図こそ実際の技能

運動の法則でつまずくのは、代数計算より、図を間違えるか図を省くときです。自由物体図は物体1つを取り出し、それに働く力をすべて物体から始まる矢印として描いたものです。「粗い床の上の箱をロープで引く」という状況を、計算できる力の和に変えます。

規則は少なく、厳密です。

• 物体は1つ。 箱が2つなら図も2つ描きます。ロープと、それに引かれる物体は同じ物体ではありません。
• 物体に働く力を描き、物体が及ぼす力は描かない。 箱は床を押しますが、その力は床の図に属し、箱の図には属しません。
• 速度、加速度、「ma」の矢印を描かない。 運動は力ではありません。加速度の向きを記しておきたい場合は、物体から離れた図の横に小さな矢印を置きます。
• すべての矢印に名前を付ける。 重さ $mg$、垂直抗力 $N$、張力 $T$、摩擦力 $f$、加えた力 $F$ です。名前のない矢印は、力を足すときに忘れやすくなります。

次に軸を選び、それぞれについて第2法則を書きます。それで方法は完結です。エレベーター、つるされたランプ、押される箱、斜面を滑る物体も同じ4行で扱えます。

垂直抗力は決まった数ではない

垂直抗力は、物体が面を通り抜けないよう、面に垂直に物体を押す力です。反作用として、物体が面にめり込まないために必要な大きさだけ働き、それを超えません。

平らな床で、ほかに鉛直方向の力がないなら、第2法則の鉛直方向の式は $N - mg = 0$ となり、$N = mg$ です。ここからいつも $N = mg$ と書く癖が生まれますが、鉛直方向にほかの力が働けば成り立ちません。

物体を下へ押せば垂直抗力は増え、ロープで上へ引けば減ります。上向きに加速するエレベーター内で体重計に乗ると、$N - mg = ma$ から $N = m(g + a)$ となり、表示は普段の重さより大きくなります。斜面上では、重さの一部だけが斜面へ押し付けるため、垂直抗力は重さより小さい $mg\cos\theta$ です。どの場合も、$N$ を決めつけず、面に垂直な方向の第2法則を書いて求めましょう。

摩擦力は運動ではなく滑りに逆らう

摩擦力は2つの規則で表されます。混同すると、この分野のほかのどの単独のミスよりも失点しやすくなります。

動摩擦力は、面どうしが滑っている間に働きます。大きさは

$f_k = \mu_k N$

です。向きは滑りと反対です。垂直抗力に依存するため、斜面やエレベーターの状況が関係しますが、接触面積や速さには依存しません。

静止摩擦力は、面どうしが滑っていない間に働きます。一定の値ではなく、滑りを防ぐために必要な大きさになり、最大値は

$f_s \le \mu_s N$

です。粗い机の上の箱に押す力がなければ、摩擦力はゼロです。軽く押せば、静止摩擦力はその押す力と同じ大きさになります。さらに強く押してもつり合いますが、$\mu_s N$ を超えると箱は動き出し、通常は係数の小さい動摩擦力に切り替わります。

向きの規則は、物体の運動ではなく面どうしの滑りに関するものです。加速する車の駆動輪には前向きの静止摩擦力が働きます。なければタイヤが路面に対して後ろ向きに空転するからです。歩くときの靴に働く摩擦力も前向きです。「摩擦力は運動に逆らう」と覚えているなら、「摩擦力は接する面の相対的な滑りに逆らう」に置き換えましょう。そのほうが問題に使えます。

第3法則は2つの物体についての法則

ニュートンの第3法則によれば、物体AがBを押すと、BはAを大きさが等しく向きが反対の力で押します。「すべての作用には大きさが等しく向きが反対の反作用がある」という言い方は正しいのですが、肝心な点が見えにくくなります。2つの力は異なる物体に働くのです。

だから、作用反作用の力は互いに打ち消し合いません。打ち消し合うには、同じ物体に2つの力が働く必要があります。地球は本を $mg$ で下へ引き、本は地球を $mg$ で上へ引きます。この対の片方は本の図、もう片方は地球の図にあります。机は本を $N$ で上へ押し、本は机を $N$ で下へ押します。これも別々の図に描く対です。

静止した本に働く重さと垂直抗力は大きさが等しく向きが反対なので、打ち消し合います。しかし、作用反作用の対ではありません。地球と机という異なる作用元から本に働く2つの力が、本が加速していないためたまたまつり合っているのです。状況を変えて本を加速するエレベーターに置けば、つり合いは崩れますが、作用反作用のどの対も大きさは変わらず等しいままです。

同じ物体の図に「作用」と「反作用」の矢印が両方あれば、どちらかが間違った図にあります。

斜面は軸を傾けた平面の問題

斜面は新しい種類の問題に見えますが、そうではありません。水平となす角が $\theta$ の面に物体を置いただけで、新しい考え方は軸の置き方だけです。

一方の軸を斜面に沿わせ、もう一方を斜面に垂直にします。重さだけが両方の軸に対して斜めになるため、斜面を下る成分 $mg\sin\theta$ と斜面に押し付ける成分 $mg\cos\theta$ に分けます。垂直抗力は垂直軸だけに、摩擦力は斜面に沿う軸だけにあり、斜面に沿って引く力は分解不要です。

こうすれば第2法則の2本の式は短く済みます。斜面に垂直な方向には加速しないので、$N = mg\cos\theta$ です。斜面に沿う方向の合力は $mg\sin\theta$ から摩擦力を引き、ほかに斜面に沿う力があれば向きに応じて足すか引くかして、$ma$ に等しくします。摩擦のない斜面では $a = g\sin\theta$ です。角度が90度なら自由落下に、水平ならゼロになるため、式の妥当性を確認できます。毎回確認する価値があります。

符号を正しく保つ習慣は2つです。式を書く前に斜面に沿う正の向きを決めること。そして、下へ滑る物体の摩擦力は斜面を上向きに、上へ押される物体の摩擦力は斜面を下向きに働くと覚えることです。

運動の法則が役立つところ

運動学では、加速度が一定なら使える3つの式を学びました。運動の法則は、その加速度がいくらかを教えます。手順は常に同じです。自由物体図を描き、軸ごとに第2法則を書き、$a$ を求め、その $a$ を運動学の式に渡して距離、速さ、時間を求めます。

このあとの力学の内容は、同じ仕組みを短く扱う方法です。仕事とエネルギーを使えば2点での速さだけが必要なとき、加速度を飛ばせます。運動量を使えば衝突中の力を飛ばせます。円運動は、加速度が中心を向いた第2法則です。どれも図の代わりにはなりません。ただ、図を描く頻度が減るだけです。

方法を身につけるには、物理を効果的に学ぶ方法で説明した流れを繰り返しましょう。状況を見て、物体を描き、力を足し、解き、単位と極限を確かめます。Physics Zenの運動の法則では、ニュートンの法則と摩擦力を無料で、斜面上の運動をPremiumで、毎回異なる数値の問題として練習できます。特定の答えではなく図の描き方を覚えられます。