Dopplereffect: de formule, tekens en uitgewerkte voorbeelden met geluid

Een claxon klinkt met één vaste frequentie. Wanneer de auto dichterbij komt, hoor je een hogere toon; nadat hij voorbijrijdt een lagere. De bron heeft de claxon niet anders afgestemd. Door de beweging bereiken de golffronten je met een andere frequentie. Met de formule voor het dopplereffect kun je die verandering berekenen, maar als je alleen een patroon van plus boven min onthoudt, wissel je de twee tekens makkelijk om.

We bekijken geluid dat zich door stilstaande lucht voortplant, terwijl bron en luisteraar zich rechtstreeks langs de lijn tussen hen bewegen. Eén tabel maakt de tekenkeuze duidelijk. Daarna rekenen we dezelfde uitgezonden toon twee keer door: eerst met een bewegende bron en vervolgens met een luisteraar die even snel beweegt. In een laatste geval bewegen beide. Die vergelijking is nuttig omdat geluid een medium heeft: de eerste twee bewegingen lijken op elkaar, maar zijn wiskundig niet identiek.

Benoem eerst bron, luisteraar en medium

Noem de uitgezonden frequentie $f_s$ en de door de luisteraar gehoorde frequentie $f_o$. Laat $v$ de geluidssnelheid ten opzichte van de lucht zijn, $v_s$ de snelheid van de bron ten opzichte van de lucht en $v_o$ de snelheid van de luisteraar ten opzichte van de lucht. Alle drie snelheden moeten dezelfde eenheid hebben, meestal meter per seconde. In de voorbeelden nemen we $v=340\ \mathrm{m/s}$ als gegeven waarde voor deze opgaven, niet als universele geluidssnelheid onder alle omstandigheden.

Het onderscheid tussen bron en luisteraar is fysisch. Een bewegende bron zendt de volgende golftop uit vanaf een nieuwe plaats. Vóór de bron liggen de toppen dichter bij elkaar en is de golflengte in de lucht korter. Een bewegende luisteraar verandert die golflengte niet; hij ontmoet de bestaande toppen vaker of minder vaak. OpenStax leidt beide gevallen af vanuit deze twee waarnemingen.

Teken vóór het invullen een pijl van de bron naar de luisteraar. Geef aan welke kant elk voorwerp langs die pijl op beweegt. Een auto die dwars door je gezichtsveld rijdt, kun je niet behandelen door simpelweg zijn volledige snelheid in deze eendimensionale formule in te vullen. Bij een schuine baan tellen de snelheidscomponenten langs de zichtlijn op dat moment; gebruik bij een inleidende opgave de meetkunde en afspraken van je cursus.

De formule voor geluid en een tabel voor de tekens

Voor beweging langs één lijn in stilstaande lucht schrijven we

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

De gekoppelde symbolen zijn een afkorting, geen instructie om beide bovenste tekens samen te kiezen. Kies de teller op basis van de beweging van de luisteraar en de noemer op basis van de beweging van de bron, los van elkaar:

Zet de snelheid van een stilstaand voorwerp op nul. Als beide elkaar naderen, verhogen beide keuzes de uitkomst: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Als ze uit elkaar bewegen, verlagen beide keuzes haar: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. Wanneer een voorwerp de luisteraar passeert, kan de richting omslaan. Gebruik daarna niet meer het teken voor nadering.

Met een snelle grenscontrole ontdek je de ernstigste tekenfouten: neem $v_s=v_o=0$. De formule moet dan $f_o=f_s$ geven. Bij nadering hoort een waarde boven de uitgezonden frequentie, bij verwijdering een waarde eronder. Voldoet je antwoord niet aan een van deze controles, bekijk dan je schets voordat je verder rekent. Bij langzame beweging zijn de verschuivingen bescheiden; een factor tien wijst meestal op gemengde eenheden of een verkeerd teken in de noemer.

Voorbeeld 1: de bron nadert een stilstaande luisteraar

Een claxon zendt $f_s=680\ \mathrm{Hz}$ uit. Een auto brengt hem met $v_s=34\ \mathrm{m/s}$ naar een stilstaande luisteraar. Neem $v=340\ \mathrm{m/s}$. De luisteraar staat stil, dus $v_o=0$. De bron nadert, dus trek zijn snelheid in de noemer af:

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

Dat is ongeveer $75.6\ \mathrm{Hz}$ boven de uitgezonden toon. Controleer de factor: $340/306=1.111\ldots$ is groter dan één, zoals bij een naderende bron hoort. De snelheidseenheden vallen weg; hertz blijft over. De uitkomst is een ideale momentane frequentie voor deze eenvoudige situatie met constante snelheid, geen voorspelling van de geluidssterkte.

Wat als dezelfde auto al voorbij is en met dezelfde snelheid wegbeweegt? Alleen het teken in de noemer verandert:

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

De frequenties bij naderen en verwijderen liggen niet precies even ver boven en onder $680\ \mathrm{Hz}$. De noemers zijn $306$ en $374$, geen gelijke tegengestelde veranderingen. Trek de verschuiving bij naderen dus niet van de bronfrequentie af om de toon bij verwijderen te raden.

Je kunt de verklaring via golflengte ook narekenen. De periode tussen uitgezonden golftoppen is $1/680\ \mathrm{s}$. In die tijd legt de bron $34/680=0.050\ \mathrm{m}$ af; een golffront legt door de lucht $340/680=0.500\ \mathrm{m}$ af. Vóór de bewegende bron liggen opeenvolgende toppen $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$ uit elkaar. Een stilstaande luisteraar ontvangt ze met $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$, hetzelfde antwoord via een tweede weg.

Voorbeeld 2: laat de luisteraar bewegen

Zet de claxon weer stil in de lucht; hij zendt nog steeds $680\ \mathrm{Hz}$ uit. Nu nadert de luisteraar hem met $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. De golflengte in de lucht blijft $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$. De luisteraar ontmoet de golftoppen met een relatieve snelheid van $340+34=374\ \mathrm{m/s}$:

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

Vergelijk $748.0\ \mathrm{Hz}$ met $755.6\ \mathrm{Hz}$ uit voorbeeld 1. Beide zijn hoger dan $680\ \mathrm{Hz}$, maar bij deze snelheid veroorzaakt de bewegende bron een iets grotere verschuiving. Als je beide voorwerpen vervangt door één algemene ‘relatieve snelheid’, verberg je dat verschil voor geluid in een medium. De bron verandert de golflengte; de luisteraar verandert hoe vaak hij de toppen ontmoet.

Beweegt de luisteraar juist weg, gebruik dan $v-v_o$ in de teller: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. Dat is lager dan de uitkomst voor een zich verwijderende bron, $618.2\ \mathrm{Hz}$. De vergelijking bij dezelfde snelheid geldt aan beide kanten van het passeren.

Deze tabel is speciaal voor deze gids uitgerekend en dient als controle. Elke kolom gebruikt dezelfde uitgezonden toon, geluidssnelheid en snelheid van het bewegende voorwerp. Alleen welk voorwerp beweegt verandert. Dat is een nuttige zelftest na elke dopplerberekening.

Voorbeeld 3: beide bewegen naar elkaar toe

Gebruik weer de claxon van $680\ \mathrm{Hz}$ en de geluidssnelheid van $340\ \mathrm{m/s}$. Nu beweegt de bron met $20\ \mathrm{m/s}$ naar de luisteraar en de luisteraar met $10\ \mathrm{m/s}$ naar de bron. Beide keuzes moeten de gehoorde frequentie verhogen. Tel de luisteraarsnelheid in de teller op en trek de bronsnelheid in de noemer af:

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

De factor $350/320=1.09375$ is groter dan één. Laat als tweede controle de beweging van de luisteraar weg: $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$. Als je een naderende luisteraar toevoegt, stijgt dat tot $743.75\ \mathrm{Hz}$, precies zoals de schets voorspelt. Als de luisteraar met $10\ \mathrm{m/s}$ weg zou bewegen terwijl de bron nog nadert, zouden de twee effecten elkaar tegenwerken: $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$. Kies beide tekens dus apart in plaats van de hele situatie simpelweg ‘naderend’ te noemen.

Grenzen waarbinnen de uitkomst zinvol is

Dit zijn voorbeelden van klassiek geluid. De snelheden zijn bepaald ten opzichte van een gegeven medium, hier stilstaande lucht, en de formule voor een rechte lijn gebruikt de beweging langs het geluidspad. Wind verandert de snelheden ten opzichte van de lucht; bij een zijwaartse baan zijn componenten nodig. We houden de bron onder de geluidssnelheid. Wanneer een naderende bron $v_s=v$ nadert, gaat de noemer naar nul. Dat betekent dat het model met gescheiden golffronten niet langer geldt, niet dat een luisteraar een oneindige frequentie hoort. Geluidsknallen en schokfronten vragen om een ander model.

Ook licht vertoont dopplerverschuiving, maar het plant zich in vacuüm voort zonder medium zoals lucht. Vul de lichtsnelheid niet in deze breuk voor geluid in alsof bron en luisteraar onafhankelijk door denkbeeldige stilstaande lucht bewegen. Het hoofdstuk over licht van OpenStax geeft de relativistische relatie op basis van relatieve beweging. Het fysische idee dat nadering de frequentie verhoogt blijft gelden, maar de berekening verandert.

Schrijf bij een nieuwe geluidsopgave eerst $f_s$, $v$, $v_s$ en $v_o$ met hun eenheden op, schets de beweging en gebruik dan de tekentabel. Controleer de uitkomst tegen nadering of verwijdering en de grens bij snelheid nul. Als de richting van bewegende voorwerpen je moeite kost, helpt de gids over kinematica je om de tekens van snelheden consequent te gebruiken. Het onderwerp Golven en geluid in Physics Zen bevat doppleroefeningen met nieuwe getallen, directe controle en uitgewerkte oplossingen. Een duidelijke schets en twee controles helpen meer dan een rij tekens uit je hoofd leren.