De wet van Snellius uitgelegd: lichtbreking met uitgewerkte voorbeelden

Een rietje in een glas water lijkt bij de waterspiegel soms verschoven. Het rietje is niet gebogen. Licht van het ondergedompelde deel verandert van richting wanneer het van water naar lucht gaat. Je oog trekt die stralen langs hun laatste richting terug en denkt dat ze onder water ook zo liepen. Die richtingsverandering heet lichtbreking.

Een lichtstraal kan ook op het oppervlak terugkaatsen: dat is terugkaatsing. Bij een brekingsopgave volg je de straal die de grens overgaat. Met de invalshoek en de twee materialen bepaalt de wet van Snellius zijn richting. De berekening is kort; een juiste schets en correct aangegeven hoeken zijn het echte werk.

Teken eerst de grens en haar normaal

De normaal is een denkbeeldige lijn loodrecht op het grensvlak op de plaats waar de straal het raakt. Zowel de invalshoek als de brekingshoek meet je tussen de straal en deze normaal, nooit tussen straal en oppervlak. Hieronder staat een schets van lucht naar water. De horizontale afstanden zijn ter illustratie; de getallen voor de hoeken volgen verderop.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

Teken je op papier, zet bij het plusteken dan een korte gestreepte normaal. Label de kant waar de straal binnenkomt met $1$ en de doorgelaten kant met $2$. Zet $\theta_1$ bij de invallende straal en $\theta_2$ bij de doorgelaten straal. Met een goede schets voorkom je een vaak voorkomende fout: een hoek vanaf het oppervlak rechtstreeks in de wet van Snellius invullen. Als die hoek $30^\circ$ is, is de hoek vanaf de normaal $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

Het deel over de brekingswet van OpenStax gebruikt dezelfde afspraak van meten vanaf de normaal. De tekeningen onderscheiden ook de teruggekaatste straal, die aan de invalskant blijft, van de gebroken straal, die het tweede materiaal ingaat.

Wat brekingsindex betekent

De brekingsindex $n$ vergelijkt de lichtsnelheid in vacuüm, $c$, met die in een materiaal, $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

In dit model betekent een grotere index een lagere snelheid. We gebruiken $n_{\mathrm{air}}=1.00$ en $n_{\mathrm{water}}=1.33$, afgeronde waarden uit de uitleg over breking van OpenStax. De index van een materiaal kan met de golflengte veranderen. Voor de berekeningen volgen we één straal met vaste frequentie en behandelen we deze indices als constant. Aan de grens blijft de frequentie gelijk, maar veranderen snelheid en golflengte, zoals uitgelegd in OpenStax Physics over breking.

Het verband tussen de twee richtingen is de wet van Snellius:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

De hoeken zijn gemeten vanaf de normaal. De indices zijn dimensieloos en sinuswaarden ook. Zet je rekenmachine voor de hoeken in graden in dit artikel op graden; bij radialen krijg je verkeerde getallen.

Voorspel de richting vóór het rekenen. Is de tweede index groter, dan moet $\sin\theta_2$ kleiner zijn. De doorgelaten hoek is dus kleiner en de straal buigt naar de normaal. Bij een kleinere tweede index buigt de doorgelaten straal van de normaal af, als er een bestaat. Bij loodrechte inval, $\theta_1=0^\circ$, gaat de straal langs de normaal door zonder richtingsverandering, hoewel zijn snelheid verandert.

Uitgewerkt voorbeeld: van lucht naar water

Stel dat een lichtstraal in lucht onder $40^\circ$ vanaf de normaal op een vlak wateroppervlak valt. We zoeken de hoek in het water. Leg eerst de kanten vast: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ en $\theta_1=40^\circ$. Omdat de index stijgt, verwacht je $\theta_2<40^\circ$.

Los de wet van Snellius eerst op naar de onbekende sinus en vul dan de getallen in:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Neem de inverse sinus, nog steeds in gradenmodus:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Dat is kleiner dan $40^\circ$, dus de richtingscontrole klopt. Vul terug in om een tikfout op de rekenmachine te ontdekken: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ en $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. Het kleine verschil komt door afronding. Een uitkomst van $51^\circ$ zou de voorspelling voor een materiaal met grotere index tegenspreken.

Aan $28.9^\circ$ hoort geen lengte-eenheid. De opgave vraagt een richting en graden zijn dus de uitkomsteenheid. Vraagt een examen ook naar de snelheid, bereken die dan apart met $v=c/n$ in plaats van een hoek als snelheid te behandelen.

Uitgewerkt voorbeeld: van water naar lucht

Laat nu een straal in water onder $30^\circ$ vanaf de normaal omhoog naar de grens met lucht gaan. De labels draaien om: $n_1=1.33$ voor water en $n_2=1.00$ voor lucht. De index daalt, dus voorspel in lucht een hoek groter dan $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Dus:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

De doorgelaten straal buigt zoals voorspeld van de normaal af. Terug invullen geeft $1.33\sin30^\circ=0.665$ en $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$, gelijk binnen de getoonde nauwkeurigheid.

Let op wat tussen de voorbeelden veranderde: de bewegingsrichting, de volgorde van de indices en de opgegeven invalshoek. Wissel $n_1$ en $n_2$ niet om terwijl je de oude $\theta_1$ behoudt. Materiaal 1 is in elke berekening het materiaal waar de straal begint.

Controleer onmogelijke antwoorden en de grenshoek

De sinus van een reële hoek kan niet groter dan één zijn. Komt na herschrijven van Snellius $\sin\theta_2>1$ uit, dan moet je geen rekenmachineantwoord forceren of terug naar één afronden. Voor licht van een grotere naar een kleinere index markeert dit het gebied van totale interne terugkaatsing in het ideale straalmodel. Bij die invalshoek is er geen doorgelaten gebroken straal.

Bij de grenshoek zou de doorgelaten straal langs het grensvlak lopen, met $\theta_2=90^\circ$. Vul $\sin90^\circ=1$ in Snellius in en bereken de grenshoek:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Voor onze afgeronde indices van water naar lucht is $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Dat is een afzonderlijk afgeronde berekening met de hier gekozen waarden; het deel van OpenStax over totale interne terugkaatsing geeft de regel en een afbeelding van de grens. Ons voorbeeld van $30^\circ$ ligt onder de grenshoek en levert dus een doorgelaten straal. Bij $60^\circ$ vanaf de normaal zou dezelfde formule $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$ vereisen, onmogelijk. In dit model wordt de straal volledig intern teruggekaatst.

Het gelijkheidsgeval is belangrijk. Precies bij de grenshoek is de brekingsrichting $90^\circ$, langs het oppervlak. Bij een invalshoek groter dan de grenshoek treedt totale interne terugkaatsing op. Van lucht naar water kan dit niet, omdat de straal bij de kleinere index begint. Houd ook gewone gedeeltelijke terugkaatsing apart van dit grensgeval: een oppervlak kan een deel van het licht terugkaatsen wanneer er ook een doorgelaten straal is.

Drie oefenvragen, met antwoorden

1. De hoek is vanaf het oppervlak gegeven. Een straal komt vanuit lucht onder $25^\circ$ ten opzichte van een vlak wateroppervlak aan. Welke invalshoek vul je in Snellius in en wat wordt de brekingshoek? De normaal staat loodrecht op het oppervlak, dus $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Dan:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

Het antwoord is gemeten vanaf de normaal en kleiner dan $65^\circ$, zoals bij toetreding tot water hoort.

2. De straal staat loodrecht op het oppervlak. Een straal gaat van water naar lucht onder $0^\circ$ vanaf de normaal. Snellius geeft $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, dus $\theta_2=0^\circ$. De doorgelaten straal gaat rechtdoor. Dat betekent niet dat beide materialen dezelfde brekingsindex hebben.

3. Kan er een doorgelaten straal zijn? Een straal gaat van water naar lucht onder $\theta_1=50^\circ$ vanaf de normaal. De berekening geeft $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Dat is meer dan één en in dit model bestaat geen reële doorgelaten hoek. Hetzelfde zie je omdat $50^\circ$ boven de grenshoek van ongeveer $48.8^\circ$ ligt. Geef $\sin^{-1}(1.019)$ niet als reële hoek.

Kun je de normaal tekenen en de buigrichting vóór het rekenen voorspellen, probeer dan het onderwerp Optica van Physics Zen, met terugkaatsing, breking en grenshoeken. Dezelfde gewoonte helpt bij examenopgaven met veel diagrammen. De gidsen voor A-Level Physics, Abitur Physik en Bac physique geven bredere studieplannen. Benoem bij elke nieuwe brekingsopgave eerst het invallende materiaal, meet beide hoeken vanaf de normaal en controleer de sinus voordat je op inverse sinus drukt.

Veelgestelde vragen

Waarom gebruikt de wet van Snellius een sinus?

De sinus legt vast hoeveel van de richting van een straal langs het grensvlak loopt. De golfmeetkunde bij een vlak grensvlak verbindt die component aan beide kanten en geeft $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Bij een straalopgave is het belangrijkste dat je hoeken vanaf de normaal meet en elke index bij de hoek in zijn eigen materiaal houdt.

Verandert de frequentie als licht breekt?

Nee. In dit grensmodel blijft de frequentie gelijk. Snelheid en golflengte veranderen met het materiaal. Ook kan de brekingsindex van de golflengte afhangen, waardoor een mengsel van kleuren zich kan scheiden. Onze rekenvoorbeelden volgen één straal met één gekozen paar indices.

Betekent een grotere brekingsindex altijd een grotere brekingshoek?

Nee. Vergelijk beide indices en de invalshoek. Bij een vaste invalshoek in materiaal 1 geeft een grotere $n_2$ een kleinere hoek vanaf de normaal in materiaal 2. Bij $0^\circ$ invalshoek buigt de richting helemaal niet. Zeg altijd welke hoek je bedoelt voordat je getallen vergelijkt.