Формула эффекта Доплера: знаки и примеры расчёта для звука

Клаксон звучит с одной частотой. Когда машина приближается, звук кажется выше, а после проезда ниже. Источник не перестраивал клаксон. Движение изменило частоту, с которой волновые фронты доходят до вас. Формула эффекта Доплера позволяет вычислить это изменение, но два знака легко перепутать, если запомнить только схему «плюс сверху, минус снизу».

Здесь звук распространяется в неподвижном воздухе, а источник и слушатель движутся вдоль прямой между ними. Сначала таблица показывает выбор знаков. Затем мы дважды рассчитываем один и тот же тон: при движении источника и при движении слушателя с такой же скоростью. В последнем примере движутся оба. Такое сравнение полезно, потому что у звука есть среда: первые два случая похожи, но математически не совпадают.

Сначала назовите источник, слушателя и среду

Частоту излучения обозначим $f_s$, а частоту, которую слышит слушатель, $f_o$. Пусть $v$ означает скорость звука относительно воздуха, $v_s$ скорость источника относительно воздуха, а $v_o$ скорость слушателя относительно воздуха. Все три скорости должны быть в одних единицах, обычно в метрах в секунду. В примерах $v=340\ \mathrm{m/s}$ задано как условие задачи, а не как универсальная скорость звука при любых условиях.

Различие между источником и слушателем имеет физический смысл. Движущийся источник испускает следующий гребень из нового положения. Перед ним гребни оказываются ближе, поэтому длина волны в воздухе уменьшается. Движущийся слушатель не меняет длину волны, но встречает уже существующие гребни чаще или реже. OpenStax выводит оба случая из этих наблюдений.

Перед подстановкой нарисуйте стрелку от источника к слушателю. Отметьте движение каждого тела вдоль этой стрелки. Если машина движется поперёк поля зрения, в одномерную формулу нельзя просто подставить всю её скорость. Для наклонного пути нужны составляющие скорости вдоль линии зрения в данный момент. В учебной задаче используйте геометрию и правила знаков своего курса.

Формула для звука и таблица знаков

Для движения вдоль одной прямой в неподвижном воздухе формула имеет вид

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

Пары знаков служат краткой записью, а не указанием всегда выбирать два верхних знака вместе. Числитель выбирайте по движению слушателя, а знаменатель независимо по движению источника.

Скорость неподвижного тела считайте равной нулю. Если оба сближаются, оба выбранных знака повышают результат: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Если удаляются, оба понижают: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. После прохода мимо слушателя направление может измениться, поэтому не сохраняйте знак приближения после прохода.

Быстрая проверка предельного случая ловит грубые ошибки: положите $v_s=v_o=0$. Формула должна дать $f_o=f_s$. При сближении значение должно быть выше частоты источника, при удалении ниже. Если ответ нарушает любое из условий, до пересчёта проверьте схему. При малых скоростях сдвиг невелик; отличие в десять раз обычно указывает на смешение единиц или неверный знак в знаменателе.

Пример 1: источник движется к неподвижному слушателю

Клаксон излучает $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Машина везёт его к неподвижному слушателю со скоростью $v_s=34\ \mathrm{m/s}$. Используйте $v=340\ \mathrm{m/s}$. Слушатель стоит, поэтому $v_o=0$. Источник приближается, значит его скорость нужно вычесть в знаменателе.

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

Это примерно на $75.6\ \mathrm{Hz}$ выше исходного тона. Проверьте множитель: $340/306=1.111\ldots$ больше единицы, как и требуется при приближении источника. Единицы скорости сокращаются, остаются герцы. Результат показывает идеальную мгновенную частоту в простой ситуации с постоянным движением, а не громкость.

Что, если та же машина проехала мимо и с прежней скоростью удаляется? Меняется только знак в знаменателе.

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

Частоты при приближении и удалении не лежат на одинаковом расстоянии выше и ниже $680\ \mathrm{Hz}$. Знаменатели равны $306$ и $374$, поэтому обратные изменения несимметричны. Нельзя вычесть сдвиг при приближении из частоты источника, чтобы угадать тон при удалении.

Объяснение через длину волны тоже можно проверить числами. Период между испусканием гребней равен $1/680\ \mathrm{s}$. За это время источник проходит $34/680=0.050\ \mathrm{m}$, а фронт волны проходит в воздухе $340/680=0.500\ \mathrm{m}$. Перед источником расстояние между соседними гребнями становится $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$. Неподвижный слушатель получает их с частотой $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$, то есть тем же результатом, полученным другим путём.

Пример 2: вместо источника движется слушатель

Теперь клаксон неподвижен относительно воздуха и по-прежнему излучает $680\ \mathrm{Hz}$. Слушатель приближается к нему со скоростью $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. Длина волны в воздухе остаётся $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$. Слушатель встречает гребни с относительной скоростью $340+34=374\ \mathrm{m/s}$.

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

Сравните $748.0\ \mathrm{Hz}$ с $755.6\ \mathrm{Hz}$ из примера 1. Оба значения выше $680\ \mathrm{Hz}$, но при этой скорости движущийся источник даёт немного больший сдвиг. Одна общая «относительная скорость» для обоих случаев скрыла бы различие у звука в среде. Источник меняет длину волны, слушатель меняет частоту встречи с её гребнями.

Если слушатель, наоборот, удаляется, используйте $v-v_o$ в числителе: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. Это ниже результата для удаляющегося источника, $618.2\ \mathrm{Hz}$. Сравнение при одинаковой скорости работает по обе стороны прохода мимо.

Эта таблица содержит расчёт для проверки, сделанный специально для этого руководства. В каждом столбце одинаковы исходная частота, скорость звука и скорость движущегося тела. Меняется только то, какое тело движется. После любого расчёта эффекта Доплера её можно использовать для самопроверки.

Пример 3: оба движутся навстречу друг другу

Используйте тот же клаксон с $680\ \mathrm{Hz}$ и скорость звука $340\ \mathrm{m/s}$. Теперь источник движется к слушателю со скоростью $20\ \mathrm{m/s}$, а слушатель к источнику со скоростью $10\ \mathrm{m/s}$. Оба движения должны повысить слышимую частоту. Скорость слушателя прибавляем в числителе, источника вычитаем в знаменателе.

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

Множитель $350/320=1.09375$ больше единицы. Для второй проверки уберите движение слушателя: $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$. Приближение слушателя поднимает значение до $743.75\ \mathrm{Hz}$, как и предсказывает рисунок. Если источник по-прежнему приближается, а слушатель удаляется со скоростью $10\ \mathrm{m/s}$, эффекты конкурируют: $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$. Нужно выбирать знаки отдельно, а не называть всю ситуацию одним словом «сближение».

Условия, при которых результат имеет смысл

Это примеры классического звука. Скорости указаны относительно заданной среды, здесь неподвижного воздуха. Формула для прямой использует движение вдоль пути звука. Ветер меняет скорости относительно воздуха; при боковом движении нужны составляющие. Скорость источника считаем меньше скорости звука. Когда приближающийся источник подходит к $v_s=v$, знаменатель стремится к нулю. Это признак того, что картина раздельных фронтов, использованная в формуле, перестаёт работать. Слушатель не услышит бесконечную частоту. Для звукового удара и ударных волн нужна другая модель.

У света тоже есть доплеровский сдвиг, но он распространяется в вакууме без среды, похожей на воздух. Нельзя подставлять скорость света в эту формулу для звука и измерять скорости источника и слушателя относительно воображаемого неподвижного воздуха. Глава OpenStax о свете даёт релятивистскую зависимость через относительное движение. При приближении частота также повышается, но расчёт отличается.

Для новой задачи о звуке запишите $f_s$, $v$, $v_s$ и $v_o$ с единицами, нарисуйте движение и выберите знаки по таблице. Сравните ответ с ожидаемым при сближении или удалении и с пределом при нулевой скорости. Если труднее всего задать направления, руководство по кинематике поможет последовательно выбирать знаки скорости. В Physics Zen тема о волнах и звуке содержит новые задачи на эффект Доплера с мгновенной проверкой и подробными решениями. Одна ясная схема и две проверки полезнее заученного ряда знаков.