Законы Ньютона без зубрёжки: откуда берётся изменение движения

Кинематика говорит, как движется тело, но не почему. Как только в условии появляются толчок, верёвка, шероховатый пол или склон, вопрос меняется: «Какова равнодействующая сил на это тело и какое ускорение она создаёт?»

Именно к этому вопросу относятся все три закона Ньютона. Это не три независимых факта для заучивания. В основе лежит одна связь: равнодействующая определяет ускорение. Её дополняют два замечания о том, что происходит при нулевой равнодействующей и откуда вообще берутся силы.

Если вы уже прочитали объяснение кинематики, это продолжение. Чтобы практиковаться по ходу чтения, откройте тему «Динамика» в Physics Zen. Она создаёт новые задачи о законах Ньютона, трении и наклонных плоскостях.

Первый закон говорит о нуле

Первый закон Ньютона часто повторяют так: «Тело в покое остаётся в покое, а движущееся тело продолжает двигаться, если на него не действует сила». В этой формулировке теряется суть. Суть в том, что при нулевой равнодействующей скорость не меняется.

Важны два слова. Равнодействующая означает, что все силы складываются как векторы. На книгу на столе могут действовать пять сил, а равнодействующая всё равно будет нулевой. Скорость включает направление. Поэтому «не меняется» исключает разгон, замедление и поворот. Машина, движущаяся по прямой с постоянными 20 м/с, имеет нулевую равнодействующую: тяга двигателя уравновешивает трение и сопротивление воздуха.

Ловушка в том, что покой кажется особенным. Это не так: покой есть движение с постоянной нулевой скоростью. Для сохранения постоянной скорости равнодействующая не нужна, и здесь повседневная интуиция ошибается. Вам кажется, что ящик нужно всё время толкать, чтобы он продолжал скользить. Это верно только потому, что трение толкает его обратно. Уберите трение, и ящик продолжит скользить сам.

Второй закон как основа темы

Всем знакомое уравнение второго закона Ньютона:

$\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$

Прочитайте его словами: ускорение тела равно равнодействующей сил, делённой на массу, и направлено так же, как эта равнодействующая. Из этого следуют три вывода, на которых строятся экзаменационные задачи.

Нужна равнодействующая. Не самая большая сила и не последняя сила, упомянутая в условии. Все силы на теле складываются как векторы. Тяга 30 Н против трения 30 Н даёт нулевую равнодействующую и нулевое ускорение, какой бы ощутимой ни была тяга.

Это векторное уравнение. На практике его пишут отдельно для каждой оси. Выберите горизонтальную и вертикальную оси, разложите силы на компоненты и запишите $\sum F_x = m a_x$ и $\sum F_y = m a_y$. Сила под углом участвует в обоих уравнениях. Если вдоль оси нет ускорения, сумма сил по ней равна нулю. Обычно именно это уравнение даёт реакцию опоры.

Масса не равна весу. Масса в килограммах показывает, насколько трудно ускорить тело. Вес есть сила $mg$ в ньютонах, с которой Земля притягивает тело. Брусок массой 5 кг весит 49 Н в курсе AP с $g = 9.8\,\mathrm{m/s}^2$ и 49,05 Н в курсе A-Level с $g = 9.81\,\mathrm{m/s}^2$. Используйте значение из условия и не пишите килограммы там, где нужны ньютоны.

Единицы проверяют остальное. Ньютон равен килограмму, умноженному на метр и делённому на секунду в квадрате. Поэтому сила в ньютонах, делённая на массу в килограммах, даёт ускорение в $\mathrm{m/s}^2$, то есть нужную кинематике величину.

Диаграмма сил и есть главный навык

В динамике чаще ошибаются не в алгебре, а в схеме или потому, что её пропустили. Диаграмма свободного тела показывает одно тело и все действующие на него силы стрелками, начинающимися на теле. Она превращает описание «ящик на шероховатом полу тянут верёвкой» в сумму, которую можно записать.

Правил немного, но они строгие:

• Одно тело. Если в задаче два бруска, нарисуйте две диаграммы. Верёвка и тело, которое она тянет, не одно тело.
• Силы на теле, а не силы от него. Брусок давит на пол, но место этой силы на диаграмме пола, не бруска.
• Никаких стрелок скорости, ускорения или «ma» как сил. Движение не сила. Если хотите показать ускорение, нарисуйте маленькую стрелку рядом со схемой, отдельно от тела.
• Назовите каждую стрелку. Вес $mg$, реакция $N$, натяжение $T$, трение $f$, приложенная сила $F$. Стрелку без имени легко забыть при сложении.

Затем выберите оси и запишите второй закон вдоль каждой. Это весь метод. Лифт, висящая лампа, толкаемый ящик и скользящий брусок решаются теми же четырьмя строками.

Нормальная реакция не является постоянной величиной

Нормальная реакция это толчок поверхности, перпендикулярный ей и не позволяющий телу пройти сквозь неё. Как ответная сила, она принимает величину, необходимую для этого, и не больше.

На ровном полу, если других вертикальных сил нет, вертикальное уравнение второго закона имеет вид $N - mg = 0$, поэтому $N = mg$. Так возникает привычка писать $N = mg$ всегда. Она ошибочна, как только появляется другая вертикальная сила.

Надавите на брусок сверху, и реакция увеличится. Тяните его вверх верёвкой, и реакция уменьшится. Встаньте на весы в ускоряющемся вверх лифте, и они покажут больше обычного веса, потому что $N - mg = ma$ даёт $N = m(g + a)$. На наклонной плоскости реакция равна $mg\cos\theta$ и меньше веса: лишь часть веса вдавливает тело в склон. Во всех случаях не угадывайте $N$, а запишите второй закон перпендикулярно поверхности и найдите её.

Трение препятствует скольжению, а не движению

Трение описывают двумя правилами. Их смешение отнимает больше баллов, чем почти любая другая отдельная ошибка в этой теме.

Трение скольжения действует, пока поверхности скользят друг относительно друга. Его модуль равен

$f_k = \mu_k N$

и оно направлено против скольжения. Сила зависит от нормальной реакции, поэтому важны склон и лифт, но не площадь контакта или скорость.

Трение покоя действует, когда поверхности не скользят. Оно не имеет фиксированной величины, а принимает значение, нужное для предотвращения скольжения, до максимума

$f_s \le \mu_s N$

На брусок на шероховатом столе без толкания трение не действует. Слегка толкните его, и трение покоя точно уравновесит толчок. Увеличьте силу, и оно продолжит уравновешивать, пока толчок не превысит $\mu_s N$. Тогда брусок сдвинется, и начнёт действовать трение скольжения, обычно с меньшим коэффициентом.

Правило направления касается скольжения, а не движения. Трение покоя на ведущем колесе разгоняющейся машины направлено вперёд: без него шина проскальзывала бы назад по дороге. Трение на ботинке при ходьбе тоже направлено вперёд. Если у вас в голове правило «трение против движения», замените его на «трение препятствует относительному скольжению поверхностей». Второе работает в задачах.

Третий закон говорит о двух телах

По третьему закону Ньютона, если тело A толкает B, то B толкает A равной по модулю и противоположной по направлению силой. Частая фраза «каждому действию есть равное и противоположное противодействие» верна, но скрывает главное: две силы действуют на разные тела.

Поэтому пары сил из третьего закона не компенсируются. Для компенсации две силы должны действовать на одно тело. Земля тянет книгу вниз с $mg$, а книга тянет Землю вверх с $mg$. Первая сила входит в диаграмму книги, вторая в диаграмму Земли. Стол толкает книгу вверх с $N$, а книга толкает стол вниз с $N$. Это тоже пара на разных диаграммах.

Вес и реакция опоры на покоящейся книге равны и противоположны, поэтому они компенсируются, но это не пара из третьего закона. Это две силы от разных источников, Земли и стола, действующие на одну книгу. Они уравновешены, потому что книга не ускоряется. Поместите книгу в ускоряющийся лифт, и равновесие исчезнет, хотя силы в каждой паре третьего закона останутся равными.

Если на диаграмме одного тела стоят стрелки «действие» и «противодействие», одна находится не на той диаграмме.

Наклонная плоскость как обычная задача с повёрнутыми осями

Наклонная плоскость кажется новой разновидностью задач. Но это просто брусок на поверхности под углом $\theta$ к горизонтали. Новая идея здесь лишь в выборе осей.

Направьте одну ось вдоль склона, другую перпендикулярно ему. Вес оказывается единственной силой под углом к обеим осям, поэтому разложите его: $mg\sin\theta$ вниз по склону и $mg\cos\theta$ внутрь склона. Реакция целиком лежит на перпендикулярной оси, трение вдоль склона, а тягу вдоль склона раскладывать не нужно.

Уравнения второго закона теперь коротки. Перпендикулярно склону ускорения нет, поэтому $N = mg\cos\theta$. Вдоль склона равнодействующая равна $mg\sin\theta$ минус трение, а другие силы вдоль склона прибавляются или вычитаются по направлению. Эта равнодействующая равна $ma$. Без трения $a = g\sin\theta$. При 90 градусах получается свободное падение, а на горизонтали нуль. Эту проверку полезно делать каждый раз.

Две привычки помогают не путать знаки. До записи уравнения выберите положительное направление вдоль склона. Помните, что на скользящий вниз брусок трение действует вверх по склону, а на толкаемый вверх брусок вниз.

Для чего нужна динамика

Кинематика дала три уравнения, работающих при постоянном ускорении. Динамика говорит, чему это ускорение равно. Переход всегда одинаков: нарисуйте диаграмму сил, запишите второй закон по осям, найдите $a$ и затем передайте $a$ в кинематические формулы, чтобы получить расстояние, скорость или время.

Всё дальнейшее в механике сокращает те же вычисления. Работа и энергия позволяют не искать ускорение, если нужны только скорости в двух точках. Импульс позволяет не разбирать силы внутри столкновения. Круговое движение это второй закон с ускорением к центру. Ничто не отменяет диаграмму, просто рисовать её приходится реже.

Чтобы метод закрепился, повторяйте цикл из руководства по эффективному изучению физики: разберите ситуацию, нарисуйте тело, сложите силы, решите, проверьте единицы и предельные случаи. В теме Physics Zen «Динамика» задачи по законам Ньютона и трению с новыми числами бесплатны, а наклонные плоскости доступны с Premium. Так вы запомните диаграмму, а не конкретный ответ.