Закон Снеллиуса: преломление на разобранных примерах

Соломинка в стакане воды может казаться смещённой на границе воды. Она не согнулась. Свет от подводной части меняет направление при выходе из воды в воздух, а глаз мысленно продолжает лучи назад по направлению, которое они не имели под водой. Эта смена направления называется преломлением.

Луч может и отразиться от поверхности: это отражение. В задаче о преломлении следите за лучом, пересекающим границу. Закон Снеллиуса даёт его направление, если известны входящий угол и обе среды. Вычисление короткое; сложнее правильно нарисовать схему и подписать углы.

Сначала нарисуйте границу и нормаль

Нормаль представляет собой воображаемую линию, перпендикулярная поверхности в точке прихода луча. Угол падения и угол преломления измеряются между соответствующим лучом и нормалью, никогда между лучом и поверхностью. Это схема для луча из воздуха в воду. Горизонтальные расстояния иллюстративны; численные углы зададим дальше.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

На бумаге проведите в месте плюса короткую пунктирную нормаль. Обозначьте сторону падающего луча $1$, сторону прошедшего $2$. Запишите $\theta_1$ рядом с падающим лучом, $\theta_2$ рядом с преломлённым. Хорошая схема предотвращает частую ошибку: подстановку угла от поверхности прямо в закон Снеллиуса. Если угол от поверхности $30^\circ$, то от нормали $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

Раздел OpenStax о законе преломления пользуется той же нормалью. На его рисунках отражённый луч остаётся со стороны падения, а преломлённый входит во вторую среду.

Что означает показатель преломления

Показатель преломления $n$ сравнивает скорость света в вакууме $c$ со скоростью в среде $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

В модели больший показатель означает меньшую скорость. Используем $n_{\mathrm{air}}=1.00$ и $n_{\mathrm{water}}=1.33$, округлённые значения из объяснения преломления OpenStax. Показатель материала может зависеть от длины волны. Дальше мы следим за лучом одной частоты и считаем показатели постоянными. На границе частота не меняется, а скорость и длина волны меняются, как объясняет раздел OpenStax Physics о преломлении.

Связь двух направлений даёт закон Снеллиуса:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Все углы в нём отсчитываются от нормали. Показатели преломления безразмерны, значения синуса тоже. Для градусов этой статьи настройте калькулятор на градусы: режим радиан даст неверные числа.

До вычисления предскажите поворот. Если второй показатель больше, $\sin\theta_2$ должен стать меньше, значит переданный угол уменьшится, а луч повернёт к нормали. При меньшем втором показателе луч, если он передаётся, повернёт от нормали. При падении по нормали, $\theta_1=0^\circ$, прошедший луч не меняет направления, хотя скорость меняется.

Расчёт: из воздуха в воду

Луч в воздухе приходит на плоскую поверхность воды под углом $40^\circ$ от нормали. Нужно найти угол в воде. Сначала запишите стороны: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ и $\theta_1=40^\circ$. Показатель растёт, поэтому ожидаем $\theta_2<40^\circ$.

Выразите неизвестный синус до подстановки чисел:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Найдите арксинус, оставив калькулятор в градусах:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Это меньше $40^\circ$, прогноз верен. Подставьте обратно, чтобы заметить ошибку ввода: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ и $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. Небольшая разница вызвана округлением. Ответ $51^\circ$ противоречил бы входу в среду с большим показателем.

К $28.9^\circ$ не нужно добавлять единицу длины. Спрашивается направление, ответ в градусах. Если экзамен также просит скорость, отдельно вычислите $v=c/n$, не превращая угол в скорость.

Расчёт: из воды в воздух

Теперь направьте луч из воды вверх к границе с воздухом под $30^\circ$ от нормали. Номера сред меняются: для воды $n_1=1.33$, для воздуха $n_2=1.00$. Показатель падает, поэтому в воздухе угол должен быть больше $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Следовательно:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

Луч отклоняется от нормали, как ожидалось. Обратная подстановка даёт $1.33\sin30^\circ=0.665$ и $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Они совпадают с указанной точностью.

Заметьте, что изменилось между примерами: направление движения, порядок показателей и заданный угол падения. Не меняйте $n_1$ и $n_2$ местами, оставляя прежний $\theta_1$. Средой 1 всегда называется та, из которой луч идёт в данном расчёте.

Невозможный ответ и критический угол

Синус действительного угла не превышает единицу. Если после преобразования закона Снеллиуса вышло $\sin\theta_2>1$, не пытайтесь получить ответ на калькуляторе и не округляйте к единице. При переходе света от большего показателя к меньшему это область полного внутреннего отражения в идеальной лучевой модели. При таком угле падения прошедшего преломлённого луча нет.

На предельном угле прошедший луч шёл бы вдоль границы с $\theta_2=90^\circ$. Подставьте $\sin90^\circ=1$ и найдите критический угол:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Для округлённых показателей воды и воздуха $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Это отдельно округлённый расчёт с выбранными здесь значениями; раздел OpenStax о полном внутреннем отражении показывает правило и предельный случай. Наши $30^\circ$ меньше критического, поэтому прошедший луч есть. При $60^\circ$ от нормали расчёт потребовал бы $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$, чего быть не может. В модели луч полностью отражается внутри.

Случай равенства важен. На критическом угле преломлённый луч направлен под $90^\circ$ вдоль поверхности. При угле падения больше наступает полное внутреннее отражение. Оно не возникает при переходе из воздуха в воду, ведь начальный показатель меньше. Обычное частичное отражение тоже не путайте с пределом: граница может отражать часть света даже при наличии прошедшего луча.

Три вопроса для практики с ответами

1. Угол дан от поверхности. Луч идёт из воздуха к плоской воде под $25^\circ$ к поверхности. Какой угол падения подставить в закон Снеллиуса и каков угол преломления? Нормаль перпендикулярна поверхности, поэтому $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Далее:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

Ответ измерен от нормали и меньше $65^\circ$, как нужно при входе в воду.

2. Луч падает по нормали. Он проходит из воды в воздух под $0^\circ$ от нормали. Закон Снеллиуса даёт $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, поэтому $\theta_2=0^\circ$. Луч идёт прямо. Это не означает равных показателей двух сред.

3. Может ли быть прошедший луч? Луч из воды в воздух падает под $\theta_1=50^\circ$ от нормали. Получается $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Это больше единицы, значит прошедшего луча в модели нет. Также $50^\circ$ больше критического угла около $48.8^\circ$. Не сообщайте $\sin^{-1}(1.019)$ как действительный угол.

Когда научитесь отмечать нормаль и предсказывать поворот до расчёта, попробуйте тему Physics Zen об оптике с отражением, преломлением и критическим углом. Навык помогает и на экзаменах с множеством схем: подготовка к A-Level Physics, к Abitur Physik и к Bac physique описана в отдельных планах. Для новой задачи сначала назовите среду падения, измерьте оба угла от нормали и проверьте синус до нажатия арксинуса.

Частые вопросы

Почему в законе Снеллиуса синус?

Синус выражает, насколько направление луча проходит вдоль границы. Геометрия волн на плоской границе связывает эту составляющую с двух сторон, давая $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Для расчёта луча главное брать углы от нормали и соединять каждый показатель с углом его собственной среды.

Меняется ли частота света при преломлении?

Нет. В модели границы частота остаётся прежней. Скорость и длина волны меняются со средой. Показатель преломления материала также может зависеть от длины волны, поэтому смесь цветов способна разделяться. В численных примерах мы следим за одним лучом с одной выбранной парой показателей.

Больший показатель всегда означает больший угол преломления?

Нет. Сравните оба показателя и угол падения. При фиксированном угле в среде 1 больший $n_2$ даёт меньший угол от нормали во второй среде. При падении под $0^\circ$ направление не меняется вообще. До сравнения чисел всегда уточняйте, какой угол имеется в виду.