Snells lag: ljusbrytning med genomräknade exempel

Ett sugrör i ett glas vatten kan se förskjutet ut vid vattenytan. Sugröret har inte böjts. Ljus från delen under vatten ändrar riktning när det går från vatten till luft, och ögat förlänger strålarna bakåt längs en riktning de inte hade under ytan. Den riktningsändringen kallas ljusbrytning.

En stråle kan också studsa tillbaka från ytan: det är reflektion. I en brytningsuppgift följer du strålen som passerar gränsytan. Snells lag ger dess riktning när infallsvinkeln och de två materialen är kända. Uträkningen är kort. Arbetet ligger i att rita och märka vinklarna rätt.

Rita först gränsytan och normalen

Normalen är en tänkt linje vinkelrät mot ytan där strålen träffar den. Både infallsvinkel och brytningsvinkel mäts mellan respektive stråle och normalen, aldrig mellan strålen och ytan. Här är en skiss av ljus från luft till vatten. Avstånden i sidled är bara illustrativa; de numeriska vinklarna räknas ut nedan.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

Ritar du på papper kan du lägga till en kort streckad normal vid plustecknet. Märk sidan med infallande stråle som $1$ och sidan med genomgående stråle som $2$. Skriv sedan $\theta_1$ vid den infallande strålen och $\theta_2$ vid den brutna. En bra skiss hindrar ett vanligt fel: att sätta in en vinkel som anges från ytan direkt i Snells lag. Är vinkeln mot ytan $30^\circ$, är vinkeln mot normalen $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

OpenStax avsnitt om brytningslagen använder samma regel för mätning från normalen. Bilderna skiljer också den reflekterade strålen, som stannar på infallssidan, från den brutna strålen som går in i nästa medium.

Vad brytningsindex betyder

Brytningsindex $n$ jämför ljusets hastighet i vakuum, $c$, med dess hastighet i ett material, $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

Större brytningsindex betyder lägre hastighet i den här modellen. Vi använder $n_{\mathrm{air}}=1.00$ och $n_{\mathrm{water}}=1.33$, avrundade värden från OpenStax genomgång av ljusbrytning. Ett materials brytningsindex kan variera med våglängden. I beräkningarna följer vi en stråle med fast frekvens och behandlar värdena som konstanta. Frekvensen ändras inte vid gränsytan, men hastighet och våglängd gör det, som OpenStax Physics förklarar.

Sambandet mellan riktningarna är Snells lag:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Vinklarna mäts från normalen. Brytningsindex är enhetslöst och sinusvärdena måste också vara det. Ställ räknaren på grader för artikelns gradvinklar. Om den står på radianer blir siffersvaren fel.

Förutse brytningen före beräkningen. Är det andra mediets index större måste $\sin\theta_2$ vara mindre. Den genomgående vinkeln blir mindre och strålen böjs mot normalen. Är det andra indexet mindre böjs en genomgående stråle från normalen, om den finns. Vid vinkelrätt infall, $\theta_1=0^\circ$, fortsätter den genomgående strålen längs normalen utan riktningsändring trots att hastigheten ändras.

Räkneexempel: från luft till vatten

En stråle i luft träffar en plan vattenyta med vinkeln $40^\circ$ från normalen. Vi söker vinkeln i vattnet. Skriv först upp sidorna: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ och $\theta_1=40^\circ$. Indexet ökar, så förvänta dig $\theta_2<40^\circ$.

Lös ut den okända sinusfunktionen innan talen sätts in:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Ta arcsinus, fortfarande med räknaren inställd på grader:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

Det är mindre än $40^\circ$, så riktningskontrollen stämmer. Sätt tillbaka värdena för att hitta felslag på räknaren: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ och $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. Den lilla skillnaden beror på avrundning. Hade svaret blivit $51^\circ$ skulle det strida mot förutsägelsen för ett medium med högre index.

Sätt ingen längdenhet på $28.9^\circ$. Frågan gäller riktning, och svarets enhet är grader. Om en provuppgift också frågar efter hastigheten beräknar du den separat med $v=c/n$. Blanda inte ihop vinkeln och hastigheten.

Räkneexempel: från vatten till luft

Låt nu en stråle gå upp genom vattnet mot gränsen till luft med vinkeln $30^\circ$ från normalen. Mediernas nummer byts: $n_1=1.33$ för vatten och $n_2=1.00$ för luft. Indexet sjunker, så vinkeln i luften ska bli större än $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Alltså:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

Den genomgående strålen böjs från normalen, som förutsett. Insättning i ursprungsformeln ger $1.33\sin30^\circ=0.665$ och $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Värdena stämmer inom den angivna precisionen.

Lägg märke till vad som ändrades mellan exemplen: färdriktningen, ordningen på brytningsindexen och den givna infallsvinkeln. Byt inte plats på $n_1$ och $n_2$ men behåll gamla $\theta_1$. Medium 1 är alltid mediet där strålen börjar i den aktuella beräkningen.

Kontrollera omöjliga svar och gränsvinkeln

Sinus för en reell vinkel kan inte vara större än ett. Om Snells lag ger $\sin\theta_2>1$ ska du inte försöka tvinga fram ett svar ur räknaren eller avrunda ned till ett. För ljus från ett högre index till ett lägre visar det området med totalreflektion i den ideala strålmodellen. Vid den infallsvinkeln finns ingen genomgående bruten stråle.

Vid gränsen skulle den genomgående strålen löpa längs ytan med $\theta_2=90^\circ$. Sätt $\sin90^\circ=1$ i Snells lag och lös ut gränsvinkeln:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Med våra avrundade värden för vatten och luft blir $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. Beräkningen är avrundad separat utifrån värdena här. OpenStax avsnitt om totalreflektion ger regeln och visar gränsfallet. Exemplet med $30^\circ$ ligger under gränsvinkeln och ger en genomgående stråle. Vid $60^\circ$ från normalen skulle samma beräkning kräva $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$, vilket är omöjligt. I modellen totalreflekteras strålen.

Likhetsfallet är viktigt. Exakt vid gränsvinkeln har den brutna strålen riktningen $90^\circ$ längs ytan. För en infallsvinkel som är större uppstår totalreflektion. Det kan inte ske när ljus går från luft till vatten eftersom det börjar i mediet med lägre index. Skilj också vanlig partiell reflektion från gränsfallet: ytan kan reflektera en del ljus även när en genomgående stråle finns.

Tre övningsfrågor med svar

1. Vinkeln mäts från ytan. En stråle kommer från luften med vinkeln $25^\circ$ mot en plan vattenyta. Vilken infallsvinkel ska in i Snells lag, och vad blir brytningsvinkeln? Normalen är vinkelrät mot ytan, så $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Därefter:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

Svaret är mätt från normalen och är mindre än $65^\circ$, som krävs när ljus går in i vatten.

2. Strålen går vinkelrätt mot ytan. En stråle går från vatten till luft med vinkeln $0^\circ$ mot normalen. Snells lag ger $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, alltså $\theta_2=0^\circ$. Den genomgående strålen fortsätter rakt. Det betyder inte att mediernas brytningsindex är lika.

3. Kan en genomgående stråle finnas? En stråle från vatten till luft har $\theta_1=50^\circ$ mot normalen. Beräkningen ger $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Eftersom värdet är större än ett finns ingen reell brytningsvinkel i den här modellen. På samma sätt är $50^\circ$ större än gränsvinkeln på cirka $48.8^\circ$. Ange inte $\sin^{-1}(1.019)$ som en reell vinkel.

När du kan märka ut normalen och förutse brytningen före uträkningen kan du öva reflektion, brytning och gränsvinkel i området Optik i Physics Zen. Vanan hjälper också i prov med många strålbilder. Guiderna för A-Level-fysik, Abitur-fysik och Bac-fysik ger bredare studieplaner. I varje ny brytningsuppgift: namnge först mediet där strålen kommer ifrån, mät båda vinklarna från normalen och kontrollera sinusvärdet innan du trycker arcsinus.

Vanliga frågor

Varför använder Snells lag sinus?

Sinus fångar hur stor del av strålens riktning som löper längs gränsytan. Vågornas geometri vid en plan gräns kopplar denna komponent på båda sidor och ger $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. I en räkneuppgift är det viktigaste att mäta vinklar från normalen och koppla varje index till vinkeln i rätt medium.

Ändras frekvensen när ljus bryts?

Nej. I den här gränsmodellen är frekvensen oförändrad. Hastighet och våglängd ändras med mediet. Ett materials brytningsindex kan också bero på våglängden, så en blandning av många färger kan delas upp. Räkneexemplen följer en stråle med ett valt par brytningsindex.

Ger större brytningsindex alltid större brytningsvinkel?

Nej. Jämför båda indexen och infallsvinkeln. Vid en bestämd infallsvinkel i medium 1 ger ett större $n_2$ en mindre vinkel mot normalen i medium 2. Vid vinkelrätt infall, $0^\circ$, böjs riktningen inte alls. Säg alltid vilken vinkel du menar innan du jämför tal.