Schräger Wurf: Formeln und Rechenbeispiele vom Boden und von der Klippe

Ein Ball verlässt den Boden mit 20 m/s, 30 Grad über der Waagerechten, und landet etwa 35 m entfernt. Wirft man denselben Ball genauso vom Rand einer 15 m hohen Klippe, landet er etwa 53 m weit weg. Viele kommen auch bei der Klippe auf 35 m, weil sie zur Wurfweitenformel gegriffen haben, ohne zu prüfen, was sie voraussetzt. Die Formeln zum schrägen Wurf sind nicht schwer. Die eigentliche Fertigkeit ist zu wissen, welche davon zu dem Wurf passen, der vor dir liegt.

Dieser Leitfaden legt eine einzige Vorzeichenkonvention fest, stellt alle Gleichungen mit der jeweils nötigen Bedingung in einer Tabelle zusammen und rechnet dann denselben Wurf vom ebenen Boden und von einer Klippe, dazu einen waagerechten Wurf von einem Tisch. Alle Zahlen verwenden $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ und vernachlässigen den Luftwiderstand.

Den Wurf in zwei Bewegungen zerlegen

Zeichne zuerst eine Skizze. Markiere den Abwurfpunkt, den Boden und einen Pfeil für die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ unter dem Winkel $\theta$ über der Waagerechten. Lege den Ursprung in den Abwurfpunkt und wähle oben als positiv und vorwärts als positiv. Zerlege dann die Abwurfgeschwindigkeit:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

Ab hier besteht die Aufgabe aus zwei eindimensionalen Aufgaben, die sich eine Uhr teilen. Waagerecht schiebt nichts den Ball mehr, sobald er losgelassen ist, also gilt $a_x=0$, und $v_x$ bleibt bei $v_{0x}$. Senkrecht sorgt die Schwerkraft für die konstante Beschleunigung $a_y=-g$. Der Abschnitt zur Wurfbewegung bei OpenStax baut das Thema genau auf dieser Unabhängigkeit senkrecht zueinander stehender Bewegungen auf, bei vernachlässigtem Luftwiderstand. Das AP-Physics-1-Kursframework sagt dasselbe in einem Satz: Die Wurfbewegung ist eine zweidimensionale Bewegung mit der Beschleunigung null in der einen Richtung und konstanter, von null verschiedener Beschleunigung in der anderen (College Board, AP Physics 1 CED, Thema 1.5).

Wenn dir die Zerlegung selbst noch wackelig vorkommt, behandelt unser Kinematik-Leitfaden die eindimensionale Rechnung mit konstanter Beschleunigung, die jede Achse nutzt.

Welche Gleichung gilt hier?

Vier Gleichungen beschreiben jeden Wurf in diesem Modell. Drei weitere sind daraus abgeleitete Abkürzungen, und jede Abkürzung trägt eine Bedingung, die man leicht vergisst.

Gleichung	Was sie liefert	Gültig, wenn
$x=v_{0x}t$	waagerechte Position	immer (kein Luftwiderstand)
$y=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2$	Höhe zur Zeit $t$	immer
$v_x=v_{0x}$	waagerechte Geschwindigkeit	immer
$v_y=v_{0y}-gt$	senkrechte Geschwindigkeit	immer
$T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$	Flugzeit	landet auf derselben Höhe, von der er gestartet ist
$H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$	maximale Höhe	gemessen über dem Abwurfpunkt; gilt bei jeder Landehöhe
$R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$	Wurfweite	landet auf derselben Höhe, von der er gestartet ist

OpenStax nennt beide Einschränkungen direkt: Das Ergebnis für die Flugzeit gilt nicht, wenn der Körper auf einer anderen Höhe landet, und die Gleichung für die Wurfweite gilt nur bei Abwurf und Aufprall auf einer waagerechten Fläche. Die Formel für die maximale Höhe übersteht eine Klippe, weil sie nur die senkrechte Bewegung bis zum Scheitelpunkt verwendet, wo $v_y=0$ ist. Sie sagt dir, wie hoch der Ball über seinen Startpunkt steigt, nicht über den Boden darunter.

Eliminiert man $t$ aus den ersten beiden Zeilen, erhält man die Bahnkurve, eine Parabel (die Wurfparabel):

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Sie eignet sich als unabhängige Kontrolle, wie du im Klippenbeispiel sehen wirst.

Beispiel 1: ebener Boden, 20 m/s und 30°

Zuerst die Komponenten: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ und $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Flugzeit. Abwurf und Landung liegen auf gleicher Höhe, die Abkürzung ist also erlaubt:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Kontrolle auf anderem Weg: Der Ball erreicht den Scheitelpunkt, wenn $v_y=0$ ist, bei $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. Auf ebenem Boden spiegelt der Weg nach unten den Weg nach oben, die Gesamtzeit ist also doppelt so groß, 2,04 s.

Maximale Höhe.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Kontrolle, indem man die Scheitelzeit in die Höhengleichung einsetzt: $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Wurfweite.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Kontrolle ohne die Abkürzung: $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Zwei Wege, dasselbe Ergebnis, und genau das willst du haben, bevor du weitermachst. Wenn dein Kurs $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ verwendet (so ist es bei den AP-Physics-1-Aufgaben in Physics Zen), ändern sich die Ergebnisse erst in der dritten Stelle: 2,04 s, 5,10 m und 35,3 m runden sich gleich.

Beispiel 2: derselbe Wurf von einer 15 m hohen Klippe

Jetzt wirfst du mit denselben 20 m/s und 30° vom Rand einer Klippe, die 15 m über ebenem Boden liegt. Mit dem Ursprung im Abwurfpunkt erfolgt die Landung bei $y=-15\ \mathrm{m}$. Die Abkürzung für die Wurfweite scheidet aus, weil der Ball tiefer landet, als er gestartet ist. Verwende die allgemeine Höhengleichung:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Umgestellt ergibt sich $4.905t^2-10.0t-15=0$. Die Lösungsformel liefert

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

also $t=3.04\ \mathrm{s}$ oder $t=-1.00\ \mathrm{s}$. Die negative Lösung liegt einen Moment vor dem Wurf, zu dem ein Ball auf derselben Parabel auf dem Weg nach oben durch die Bodenhöhe geflogen wäre. Sie ist algebraisch korrekt und physikalisch irrelevant, also verwirf sie. Setze die behaltene Lösung zur Probe wieder ein: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. Die Wahl der Lösung ist einer der Rechenfehler, die wir in Physikfehler, die eigentlich Mathefehler sind behandeln.

Wurfweite von der Klippe.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Zweite Kontrolle mit der Bahnkurve: Bei $x=52.7\ \mathrm{m}$ ist $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. Der Ball ist genau am Boden.

Was die Abkürzung gekostet hätte. Wer hier $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ wiederverwendet, erhält 35,3 m, das Ergebnis für ebenen Boden. Die wahre Wurfweite beträgt 52,7 m. Die Abkürzung liegt 17,4 m zu kurz, etwa 33 Prozent der tatsächlichen Strecke, und nichts in der Formel warnt dich. Die maximale Höhe beträgt weiterhin 5,10 m über dem Abwurfpunkt, also 20,1 m über dem Boden darunter.

Aufprallgeschwindigkeit. Beim Aufprall ist $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$, und $v_x$ beträgt weiterhin 17,32 m/s. Also

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

gerichtet $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ unter der Waagerechten. Der Energieerhaltungssatz liefert den Betrag unabhängig davon: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Unser Leitfaden zu Arbeit und Energie erklärt, warum diese Abkürzung funktioniert.

Ist 45° auch hier der beste Winkel? Nicht von einer Klippe. Bei gleichbleibenden 20 m/s und 15 m Fallhöhe haben wir dieselbe quadratische Gleichung für mehrere Winkel gelöst:

Abwurfwinkel	30°	35°	37°	40°	45°
Wurfweite von der 15 m hohen Klippe	52,7 m	53,6 m	53,7 m	53,6 m	52,4 m

Der beste davon ist 37°, und 45° landet kürzer als 30°. Ein erhöhter Abwurfpunkt verschafft ohnehin zusätzliche Flugzeit, daher lohnt sich ein flacherer, schnellerer waagerechter Anteil mehr.

Beispiel 3: ein Ball rollt vom Tisch

Ein Ball rollt mit 3,0 m/s von einem 0,90 m hohen Tisch. Hier ist $\theta=0$, also $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ und $v_{0y}=0$. Auch hier unterscheidet sich die Landehöhe von der Abwurfhöhe, also gelten nur die allgemeinen Gleichungen (der waagerechte Wurf ist der Sonderfall des schrägen Wurfs mit Abwurfwinkel null).

Fallzeit. Mit $v_{0y}=0$ wird die Höhengleichung zu $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

Das ist dieselbe Fallzeit wie bei einem Ball, der von der Tischkante senkrecht fallen gelassen wird. Die waagerechte Geschwindigkeit verlangsamt den Fall nicht.

Wo er landet. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ vom Fuß des Tisches. Die Seite zur Wurfbewegung bei LibreTexts behandelt den waagerechten Wurf aus der Höhe genauso, mit der Fallzeit $\sqrt{2H/g}$.

Geschwindigkeit und Winkel beim Aufprall. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, also

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

unter der Waagerechten. Die Energieerhaltung bestätigt das: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Zwei Übungsaufgaben mit Lösungen

1. Ebener Boden. Ein Ball wird mit 15 m/s unter 60° über ebenem Boden gekickt. Bestimme Flugzeit, maximale Höhe und Wurfweite. Lösungen: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Alle drei Abkürzungen sind hier erlaubt; prüfe die Wurfweite mit $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Waagerechter Wurf. Ein Stein wird mit 12 m/s waagerecht von einem Felsvorsprung geworfen, der 20 m über dem Wasser liegt. Wie lange ist er in der Luft, wie weit draußen landet er, und wie schnell ist er beim Aufprall? Lösungen: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ bei $58.8^\circ$ unter der Waagerechten. Keine Abkürzung aus den Zeilen für ebenen Boden ist anwendbar.

Die Zerlegung üben, bis sie automatisch läuft

Würfe kommen in jedem großen Kurs früh vor: AP Physics 1 verortet sie in Unit 1, und unser AP-Physics-1-Leitfaden zeigt, wo die Kinematik in einem vollständigen Lernplan steht. Die Methode oben ändert sich von Prüfung zu Prüfung nicht; nur $g$ und die Zahlen ändern sich.

Das Thema Kinematik in Physics Zen, auf iPhone und Android durchgehend kostenlos, enthält eine Wurf-Fertigkeit mit jedes Mal neuen Abwurfgeschwindigkeiten, Winkeln und Höhen, sofortiger Kontrolle und einer Musterlösung nach jeder Antwort. Rechne eine Handvoll, und stelle dir vor jeder Aufgabe die Frage aus der Tabelle: Landet dieser Ball auf der Höhe, von der er gestartet ist? Wenn nicht, lass die Abkürzungen weg und löse nach der Zeit.