Physikfehler, die eigentlich Mathefehler sind (und wie du jeden behebst)

Öffne nach einer falschen Antwort die durchgerechnete Lösung und schau, wo sich die beiden Wege trennen. Das Freikörperbild stimmt. Die Gleichung ist die richtige. Dann, eine Zeile später, hat die Reibungskraft das falsche Vorzeichen, oder die Zeit kam negativ heraus und wurde beibehalten, oder die Antwort ist genau 3,6-mal zu groß.

Keiner dieser Fehler ist ein Physikfehler. Es sind Mathefehler, die innerhalb einer Physikaufgabe auftreten. Das ist wichtig, weil die Lösung eine andere ist: Das Kapitel über Kräfte noch einmal zu lesen wird dich nicht davon abhalten, $\cos\theta$ zu schreiben, wo $\sin\theta$ hingehört.

Im Folgenden findest du die sieben Mathefehler, die wir in Physics-Zen-Lösungen am häufigsten sehen, wie jeder davon auf dem Papier aussieht, einen schnellen Test, der ihn erkennt, und die konkrete Fertigkeit, die du üben solltest. Für die Mathe-Übung verweisen wir auf unsere Schwester-App Math Zen, die für jede Fertigkeit neue Aufgaben erzeugt, genauso wie Physics Zen es für die Physik tut.

1. Vorzeichenfehler: eine Richtung wählen und dabei bleiben

Ein Ball wird mit $12\ \text{m/s}$ nach oben geworfen. Wählt man oben als positiv, beträgt die Beschleunigung während des gesamten Flugs, auch auf dem Weg nach unten, $-9.8\ \text{m/s}^2$. Die Geschwindigkeit nach zwei Sekunden ist

$$v = 12 + (-9.8)(2) = -7.6\ \text{m/s}$$

Das negative Vorzeichen ist eine Information: Der Ball bewegt sich nach unten. Es bedeutet nicht, dass der Ball „langsamer wird“, und es ist kein Fehler, der durch Weglassen des Minus korrigiert werden müsste.

Vorzeichenfehler entstehen dadurch, dass die positive Richtung mitten in einer Aufgabe gewechselt wird, oder dadurch, dass eine negative Zahl wie eine kleinere positive behandelt wird. Der Test ist einfach: Schreibe die Achsenrichtung oben auf das Blatt und lies jedes Vorzeichen daran ab. Zeigt eine Größe in die andere Richtung, ist sie negativ, und sie bleibt in jeder späteren Zeile negativ.

Die zugrunde liegende Fertigkeit ist das Rechnen mit negativen Zahlen, das der Leitfaden zu negativen Zahlen auf Math Zen von Grund auf aufbaut. Übe das, und kehre dann zu Freier Fall in der Kinematik zurück, wo das Vorzeichen von $g$ in jeder Aufgabe zählt.

2. Einen Bruch oder ein Quadrat umstellen

Die Zentripetalbeschleunigung ist $a = \frac{v^2}{r}$. Ist der Betrag der Geschwindigkeit gesucht, kommen überraschend viele Lösungen bei $v = ar$ an und hören dort auf. Das korrekte Umstellen multipliziert mit $r$ und zieht dann die Quadratwurzel:

$$v = \sqrt{ar}$$

Dasselbe passiert bei der Bewegungsenergie, $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$, wo der Betrag der Geschwindigkeit $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$ ist. Lösungen, die den Faktor zwei oder die Wurzel vergessen, sind Algebrafehler.

Der Test besteht darin, die Antwort mit den gegebenen Zahlen wieder in die ursprüngliche Formel einzusetzen. Stimmen die beiden Seiten nicht überein, ist das Umstellen falsch. Das dauert zwanzig Sekunden und erkennt fast jeden Fall.

Das Umstellen wird im Algebra-Thema von Math Zen geübt, und der Algebra-Leitfaden erklärt, warum jeder Schritt erlaubt ist. Auf der Physikseite nutzen Kreisbewegung und Arbeit & Energie diese beiden Umstellungen ständig.

3. Sinus und Kosinus auf der falschen Komponente

Auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel $\theta$ ist die Komponente der Gewichtskraft entlang der Ebene $mg\sin\theta$ und die Komponente in die Ebene hinein $mg\cos\theta$. Vertauscht man sie, sind Normalkraft, Reibungskraft und Beschleunigung alle falsch, obwohl das Freikörperbild richtig war.

Die Regel: Die Komponente, die dem bekannten Winkel anliegt, bekommt Kosinus, die Komponente gegenüber dem Winkel bekommt Sinus. Bei einer schiefen Ebene ist der Winkel am unteren Ende der Ebene gleich dem Winkel zwischen dem Vektor der Gewichtskraft und der Normalenrichtung, weshalb die Normalkomponente die Kosinus-Komponente ist.

Der Test ist ein Grenzfall. Setze $\theta = 0$. Die Fläche ist eben, also sollte nichts den Block seitlich ziehen. $mg\sin 0 = 0$, also besteht die Sinus-Version den Test. Hättest du $mg\cos\theta$ für die Komponente entlang der Ebene geschrieben, würde der ebene Fall eine volle Kraft $mg$ seitlich ergeben, was unsinnig ist. Führe denselben Test bei $90^\circ$ durch, wenn du dir immer noch unsicher bist.

Das ist Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck und nichts Fortgeschritteneres. Der Trigonometrie-Leitfaden auf Math Zen zeigt Sinus und Kosinus als Koordinaten auf einem Kreis, wodurch die Anliegend-Gegenüber-Regel offensichtlich wird, und das Trigonometrie-Thema übt sie ein. Kehre dann zur schiefen Ebene im Unterthema Dynamik zurück, oder lies unseren Leitfaden zu den Newtonschen Gesetzen für die Physik dahinter.

4. Quadratische Gleichungen und die Lösung, die man verwirft

Ein Stein wird mit $15\ \text{m/s}$ von einer Brücke $20\ \text{m}$ über dem Wasser nach oben geworfen. Wann trifft er auf das Wasser? Mit oben als positiv und der Brücke als Ursprung:

$$-20 = 15t - 4.9t^2$$

Das ist eine quadratische Gleichung in $t$. Die Lösungsformel liefert ungefähr $t = 4.07\ \text{s}$ und $t = -1.00\ \text{s}$. Die negative Lösung ist keine falsche Mathematik; sie ist der Zeitpunkt, zu dem ein Stein auf derselben Parabel auf dem Weg nach oben am Wasser vorbeigekommen wäre, noch vor dem Wurf. Die Physik verwirft sie. Die Algebra muss zunächst beide finden.

Fehler entstehen hier durch Vorzeichenfehler innerhalb der Lösungsformel, durch die Verwendung von $b$ statt $-b$, und durch Rechenfehler unter der Wurzel. Der Test besteht darin, die gewählte Lösung wieder in die Gleichung einzusetzen; sie sollte bis auf Rundung $-20$ ergeben.

Der Leitfaden zu quadratischen Gleichungen von Math Zen erklärt, woher die Formel kommt, und die Übungsfertigkeit im Algebra-Thema erzeugt jedes Mal neue Aufgaben. Wurfaufgaben in der Kinematik, die in Physics Zen kostenlos ist, nutzen das jedes Mal, wenn die Unbekannte eine Zeit ist.

5. Einheiten, Vorsilben und Zehnerpotenzen

Ein Auto bei $72\ \text{km/h}$ bremst in $4\ \text{s}$ bis zum Stillstand ab. Verwendet man die Geschwindigkeit direkt als $72$, ergibt sich eine Verzögerung von $18\ \text{m/s}^2$, die den Fahrer durch die Windschutzscheibe schleudern würde. Umgerechnet in $20\ \text{m/s}$ ergibt sich ein glaubhaftes $5\ \text{m/s}^2$.

Die Division durch $3.6$ ist keine physikalische Tatsache. Es sind $1000$ Meter pro Kilometer geteilt durch $3600$ Sekunden pro Stunde, also ein Verhältnisproblem. Zur selben Fehlerfamilie gehört die Umrechnung von Zentimetern in Meter, bei der man vergisst, den Faktor für eine Fläche zu quadrieren, sowie das Lesen von $6.67 \times 10^{-11}$ als große Zahl, nur weil der Exponent groß aussieht.

Der Test ist die Plausibilitätsprüfung: Eine Beschleunigung größer als $g$ bei einem gewöhnlichen Auto, eine Geschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit bei einem geworfenen Ball oder eine Energie in Millionenhöhe an Joule bei einem Tennisball bedeutet, dass bei einer Einheit etwas schiefgelaufen ist. Suche zuerst nach dem Umrechnungsfaktor, bevor du nach einem Physikfehler suchst.

Der Leitfaden zu Verhältnissen und Proportionen und der Leitfaden zu Exponenten auf Math Zen decken beide Hälften ab, und das Arithmetik-Thema übt sie ein. Die gleichförmige Bewegung, die erste kostenlose Fertigkeit in Physics Zen, verlangt in den meisten Aufgaben die km/h-Umrechnung.

6. Diagramme: Steigung ist nicht Höhe

In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung, und die Fläche zwischen der Linie und der Achse ist die zurückgelegte Strecke. Eine häufige Antwort auf die Frage „Wann ist die Beschleunigung am größten“ zeigt auf den höchsten Punkt des Diagramms. Der höchste Punkt ist die größte Geschwindigkeit. Die größte Beschleunigung liegt dort, wo die Linie am steilsten ist.

Der zweithäufigste Fehler ist, das Vorzeichen einer Fläche zu ignorieren. Fläche unterhalb der Zeitachse bedeutet eine negative Verschiebung. Ein Diagramm, das oberhalb und dann unterhalb der Achse verläuft, kann eine große zurückgelegte Strecke und trotzdem eine Verschiebung von null haben.

Der Test: Sag laut, wonach die Frage fragt, bevor du antwortest, nach Steigung, Höhe oder Fläche. Dann finde es. Das klingt zu einfach, um zu helfen, und trotzdem funktioniert es.

Steigungen und Flächen ganz ohne physikalischen Zusammenhang abzulesen ist genau das, was das Diagrammanalyse-Thema von Math Zen übt. Unser eigener Kinematik-Leitfaden erklärt dann, warum Steigung und Fläche diese bestimmten physikalischen Bedeutungen tragen.

7. Zwei Unbekannte, eine Gleichung

Ein elastischer Stoß erhält sowohl Impuls als auch Bewegungsenergie und liefert daher zwei Gleichungen für zwei Endgeschwindigkeiten. Ein Stromkreis mit zwei Batterien braucht die Maschenregel zweimal aufgeschrieben. Eine Wurfaufgabe hat eine horizontale und eine vertikale Gleichung, die sich die Flugzeit teilen.

Der Fehler besteht darin, eine einzelne Gleichung mit zwei Unbekannten lösen zu wollen oder in dieselbe Gleichung einzusetzen, die man gerade benutzt hat. Der Test: Zähle die Unbekannten, zähle die unabhängigen Gleichungen, und beginne erst zu lösen, wenn beide Zahlen übereinstimmen.

Das sind simultane Gleichungssysteme, geübt als lineare Gleichungssysteme im Algebra-Thema von Math Zen. In Physics Zen taucht diese Struktur bei Impuls & Stöße und bei Stromkreisen auf, und unser Impuls-Leitfaden zeigt, warum Stöße beide Gleichungen brauchen.

Die Lösung: ein kurzer Mathe-Umweg, dann zurück zur Physik

Jede Zeile unten zeigt einen Fehler, die dahinterliegende Mathe-Fertigkeit und das Physikthema, zu dem du zurückkehrst, sobald die Mathematik sitzt.

Fehler	Mathe-Fertigkeit zum Üben (Math Zen)	Physikthema zur Rückkehr (Physics Zen)
Vorzeichen vergessen oder vertauscht	Negative Zahlen	Kinematik, freier Fall
Bruch oder Quadrat falsch umgestellt	Gleichungen umstellen	Kreisbewegung, Arbeit und Energie
Sinus und Kosinus vertauscht	Trigonometrie, Vektoren	Dynamik, schiefe Ebene
Falsche Lösung der quadratischen Gleichung oder Formelfehler	Gleichungen lösen	Kinematik, Wurfbewegung
Nicht umgerechnete Einheit, Zehnerpotenz	Verhältnisse, Potenzen und Wurzeln	Gleichförmige Bewegung, Gravitation
Steigung als Höhe gelesen	Diagrammanalyse	Kinematik-Diagramme
Zwei Unbekannte, eine Gleichung	Lineare Gleichungssysteme	Impuls, Stromkreise

Die Routine, die funktioniert, ist kurz. Zeigt eine durchgerechnete Lösung einen Mathe-Schritt, den du falsch gemacht hast, verbring zehn Minuten mit dieser Fertigkeit anhand neu generierter Aufgaben, und löse danach drei weitere Physikaufgaben desselben Themas. Lies keine Theorie noch einmal, die du bereits verstehst.

Math Zen wird vom selben Team wie Physics Zen entwickelt und folgt demselben Ablauf aus generierter Aufgabe, sofortiger Kontrolle und durchgerechneter Lösung. Es ist für iPhone und Android verfügbar. Der Math-Zen-Blog enthält das Spiegelbild dieses Artikels, die Mathematik, die du für Physik brauchst, gegliedert nach Physikthema statt nach Fehler.

Ein vergessenes Vorzeichen ist kein Zeichen dafür, dass du Kräfte nicht verstehst. Es ist ein Zeichen dafür, dass eine kleine Fertigkeit fünf eigene Minuten braucht, und danach bekommt die Physik, die du bereits verstehst, den Punkt.