Impuls intuitiv verstehen (Das zweite Konto, und warum Stöße es befolgen)

Schiebe einen Einkaufswagen und einen beladenen Umzugswagen im selben Gehtempo über einen Parkplatz und versuche dann, beide zu stoppen. Gleiches Tempo. Überhaupt nicht dieselbe Schwierigkeit. Die Newtonschen Gesetze erlauben es, die in jedem Moment nötige Kraft zu berechnen, und die Energie sagt, wie viel Arbeit das Stoppen kostet, aber keines von beiden erfasst wirklich das, was man spürt: wie viel Bewegung es loszuwerden gilt.

Impuls ist der Name, den die Physik dieser Größe gibt, und er entpuppt sich als das zweite große Konto der Mechanik. Der Artikel zu Arbeit und Energie hat das erste vorgestellt, ein skalares Konto, das zwischen zwei beliebigen Momenten ausgeglichen ist. Der Impuls ist ein vektorielles Konto mit derselben Eigenschaft, und er hat einen enormen Vorteil, den das Energiekonto nicht hat: Er bleibt ausgeglichen, selbst wenn der Stoß heftig, chaotisch und verlustreich ist. Autos, die sich verformen, Knete, die klebt, Kugeln, die in Blöcken stecken bleiben, alle bringen das Energiekonto durcheinander, und keines bringt dieses hier durcheinander.

Das ist der vierte Artikel der Mechanik-Reihe, nach Kinematik, Newtonsche Gesetze und Arbeit und Energie. Er behandelt, was der Impuls misst, warum der Kraftstoß die ehrliche Form des zweiten Newtonschen Gesetzes ist, warum die Gesamtgröße bei Stößen erhalten bleibt, wie sich die drei Stoßarten unterscheiden, und wie man entscheidet, welches Konto man öffnet, sobald eine Aufgabe vor einem liegt.

Der Impuls ist die Bewegung, die ein Objekt mit sich trägt

Der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit:

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

gemessen in Kilogramm mal Meter pro Sekunde. Es ist ein Vektor, und dieses Wort leistet hier echte Arbeit. Der Impuls zeigt in die Richtung, in die sich das Objekt bewegt, und Impulse in entgegengesetzten Richtungen heben sich auf. Eine 2-kg-Kugel, die sich mit 3 m/s nach rechts bewegt, hat den Impuls $+6$; dieselbe Kugel, die sich nach links bewegt, hat $-6$; zwei solche Kugeln, die aufeinander zulaufen, haben einen Gesamtimpuls von null, obwohl sich beide eindeutig bewegen.

Der Einkaufswagen und der Umzugswagen teilen sich das Tempo, sodass sich ihre Impulse nur in der Masse unterscheiden, und der des Umzugswagens ist hundertmal größer. Genau dieser Faktor ist der Unterschied, den man beim Versuch spürt, sie zu stoppen. Der Impuls ist das ehrliche Maß für „wie viel Bewegung", und Masse und Geschwindigkeit tragen gleichermaßen dazu bei: Verdoppelt man eine der beiden Größen, verdoppelt sich der Impuls. Vergleicht man das mit der kinetischen Energie, in die die Geschwindigkeit quadratisch eingeht, wird der Keim der Verwechslung von Impuls und Energie schon sichtbar.

Der Kraftstoß ist, wie Newton das zweite Gesetz geschrieben hat

Newton schrieb nicht $F = ma$. Er schrieb, dass die Kraft die Änderungsrate der Bewegungsgröße ist, was in moderner Schreibweise lautet:

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

Multipliziert man mit der Zeit, erhält man den Kraftstoß-Impuls-Satz:

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

Die linke Seite, Kraft mal die Zeit, während der sie wirkt, ist der Kraftstoß, gemessen in Newtonsekunden. Die rechte Seite ist die Impulsänderung, die er bewirkt. Bei konstanter Masse ist das nur $F = ma$ umgestellt, weil $\Delta p = m\Delta v$ und $\Delta v / \Delta t = a$ gilt. Aber die Kraftstoß-Form sagt etwas, das die Beschleunigungsform verbirgt: Dieselbe Bewegungsänderung lässt sich mit einer großen Kraft über kurze Zeit oder einer kleinen Kraft über lange Zeit erkaufen.

Dieser Tausch ist die Physik hinter jedem Sicherheitssystem. Ein Auto bei 15 m/s, das anhält, muss seinen gesamten Impuls verlieren, egal was es trifft. Eine starre Wand stoppt es in wenigen Hundertstelsekunden, also ist die Kraft enorm. Eine Knautschzone dehnt den Stopp über einige Zehntelsekunden, und die Kraft sinkt um denselben Faktor. Ein Airbag macht dasselbe für deinen Kopf. Einen Cricketball fangen, indem man die Hände zurückzieht, einen Sprung mit gebeugten Knien landen, und ein gepolsterter Boden in einer Turnhalle funktionieren alle nach demselben Prinzip: Sie können $\Delta p$ nicht ändern, also verlängern sie $\Delta t$, um $F$ zu verkleinern.

In einem Kraft-Zeit-Diagramm ist der Kraftstoß die Fläche unter der Kurve, so werden veränderliche Kräfte behandelt. Eine Stoßkraft, die ansteigt und wieder abfällt, liefert einen Kraftstoß, der der Fläche unter diesem Ausschlag entspricht, und die mittlere Kraft ist diese Fläche geteilt durch die Dauer.

Warum die Gesamtgröße erhalten bleibt

Nimm nun zwei Objekte und lass sie zusammenstoßen. Während des Kontakts drückt Objekt A auf B und B drückt zurück auf A. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz sind diese Kräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, und sie wirken exakt dieselbe Zeit, weil der Kontakt für beide im selben Moment beginnt und endet. Also ist der Kraftstoß auf A das Negative des Kraftstoßes auf B, und die Impulsänderung von A ist das Negative der Impulsänderung von B:

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

Was das eine Objekt an Impuls verliert, gewinnt das andere, bis auf das Gramm-Meter-pro-Sekunde genau. Die Gesamtgröße ändert sich nie. Das ist die Impulserhaltung, und man beachte, was dafür nicht nötig war: Es wurde nichts darüber gesagt, wie heftig der Stoß war, ob die Objekte abgeprallt sind oder aneinander kleben blieben, oder wie viel Energie zu Wärme und Schall wurde. Innere Kräfte heben sich immer paarweise auf, sodass der Gesamtimpuls eines Systems von allem unberührt bleibt, was das System mit sich selbst anstellt.

Nur eine äußere Kraft kann ihn ändern. Reibung mit dem Boden, Gravitation, eine Wand. Deshalb kommen Impulsaufgaben mit der Formulierung „während des Stoßes": Der Kontakt ist kurz genug, dass äußeren Kräften keine Zeit bleibt, einen nennenswerten Kraftstoß zu liefern, sodass der Gesamtimpuls unmittelbar davor gleich dem unmittelbar danach ist. Ein Feuerwerkskörper hat auf der Startrampe einen Impuls von null und im Moment nach der Explosion einen Gesamtimpuls von null, obwohl sich jedes Fragment bewegt; die Impulse der Fragmente sind so verteilt, dass sie sich aufheben.

Die drei Arten von Stößen

Der Impuls bleibt bei allen erhalten. Der Unterschied liegt darin, was mit der kinetischen Energie passiert, und das ist die einzige Frage, die eine Stoßaufgabe wirklich stellt.

Vollständig unelastisch: sie kleben aneinander. Ein Eisenbahnwaggon, der in einen stehenden rollt und ankoppelt. Eine Kugel, die in einem Block stecken bleibt. Zwei Autos, die sich ineinander verkeilen. Nach dem Stoß gibt es ein Objekt mit der kombinierten Masse, das sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, und die Impulserhaltung liefert sie sofort:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

Die kinetische Energie danach ist immer geringer als davor, und dieser Fall verliert das größtmögliche Maß, während der Impuls trotzdem erhalten bleibt. Wohin ist die Energie gegangen? In Verformung, Wärme und Schall, dieselbe $f d$-Spalte, die die Reibung im Energie-Artikel gefüttert hat. Gibt eine Aufgabe zwei Objekte vor, die aneinander kleben, ist der Impuls das richtige Werkzeug, und man darf nicht $K_1 = K_2$ schreiben, denn das ist falsch.

Elastisch: sie prallen ab, ohne etwas zu verlieren. Billardkugeln, Stahlkugellager und, in sehr guter Näherung, Gasmoleküle. Sowohl Impuls als auch kinetische Energie bleiben erhalten, was zwei Gleichungen liefert und das Auflösen nach zwei unbekannten Endgeschwindigkeiten erlaubt. Der sauberste Sonderfall sind gleiche Massen in einer Dimension: Die bewegte Kugel bleibt abrupt stehen, und die ruhende verlässt die Szene mit der ursprünglichen Geschwindigkeit, der Stoß, den jeder Billardspieler kennt. Allgemein gilt bei einem zentralen elastischen Stoß: Die relative Annäherungsgeschwindigkeit ist gleich der relativen Trenngeschwindigkeit, eine Abkürzung, die die quadratische Algebra ersetzt.

Unelastisch, aber nicht vollständig: sie prallen ab und verlieren etwas. Fast jeder reale Stoß. Ein fallengelassener Ball, der seine Ausgangshöhe nicht ganz erreicht, ein Autounfall, bei dem sich die Fahrzeuge trennen, ein Tennisaufschlag. Der Impuls bleibt erhalten, die kinetische Energie sinkt um einen Betrag, den die Aufgabe entweder angibt oder erfragt, und man braucht eine zusätzliche Information, die der Impuls allein nicht liefert.

So behält man alle drei im Blick: Die Impulserhaltung ist die Gleichung, die man immer aufschreibt. Die Energieerhaltung ist die Gleichung, die man nur hinzufügt, wenn die Aufgabe elastisch sagt, und nie, wenn sie sagt, dass die Objekte aneinander kleben.

Zwei durchgerechnete Beispiele

Ein Wagen trifft einen ruhenden Wagen, und sie koppeln an. Ein 3-kg-Wagen bei 4 m/s trifft einen ruhenden 1-kg-Wagen, und beide verkeilen sich. Der Impuls davor ist $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$. Danach bewegt sich das 4-kg-Paar mit $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$. Die kinetische Energie davor ist $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$; danach $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$. Sechs Joule wurden zu Wärme und dem Geräusch der Verriegelung. Impuls: perfekt ausgeglichen. Energie: um ein Viertel gesunken. Genau das bedeutet „unelastisch" zahlenmäßig.

Rückstoß. Eine 60-kg-Eisläuferin, die ruhend auf dem Eis steht, wirft einen 2-kg-Ball mit 15 m/s nach vorn. Der Gesamtimpuls davor ist null, also muss der Impuls der Eisläuferin danach den des Balls ausgleichen: $60\,v = -2 \times 15$, was $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$ ergibt, einen halben Meter pro Sekunde rückwärts. Niemand hat die Eisläuferin geschoben; die Eisläuferin hat den Ball geschoben, und das dritte Gesetz hat den Rest erledigt. Raketen, Schusswaffen und der Rückstoß eines Feuerwehrschlauchs sind dieselbe Rechnung mit anderen Zahlen.

Impuls oder Energie: Welches Konto öffnen

Die beiden Erhaltungsgrößen beantworten unterschiedliche Fragen, und der Fehler, den die meisten Lernenden machen, ist, zur vertrauten statt zur richtigen zu greifen.

Öffne das Impulskonto, wenn:

• Zwei oder mehr Objekte wechselwirken und eine Geschwindigkeit unmittelbar nach der Wechselwirkung gesucht wird.
• Die Aufgabe von Kleben, Ankoppeln, Einbetten, Explodieren, Rückstoß oder Zusammenstoßen spricht.
• Die kinetische Energie offensichtlich nicht erhalten bleibt, weil sich etwas verformt hat oder etwas aneinander klebt.
• Eine Kraft aus einer Zeit und einer Geschwindigkeitsänderung gesucht wird, oder umgekehrt.

Öffne das Energiekonto, wenn:

• Ein Objekt eine Höhe oder einen Weg durchläuft und seine Geschwindigkeit an anderer Stelle gesucht wird.
• Die Aufgabe elastisch sagt und eine zweite Gleichung gebraucht wird.
• Reibung über eine bekannte Strecke der einzige Verlust ist.

Die beiden Konten arbeiten ständig zusammen. Das ballistische Pendel ist die klassische Übergabe: Eine Kugel bettet sich in einen hängenden Block ein (Impuls, weil sie stecken bleibt), dann schwingt der Block auf eine Höhe (Energie, weil es jetzt ein einzelnes Objekt ist, das gegen die Gravitation aufsteigt). Vertauscht man die Reihenfolge oder verwendet man Energie für den Einbettungsschritt, kommt eine um einen großen Faktor falsche Antwort heraus. Die eigentliche Fertigkeit liegt nicht darin, eines der beiden Gesetze zu kennen. Sie liegt darin zu erkennen, um welches es beim aktuellen Schritt der Aufgabe geht.

Woher die Fehler kommen

Den Impuls als Skalar behandeln. Das Vorzeichen einer Geschwindigkeit bei einem zentralen Stoß fallenzulassen, verändert die Antwort vollständig. Wähle eine positive Richtung, schreibe jede Geschwindigkeit mit Vorzeichen, und prüfe, ob das Vorzeichen der Endantwort physikalisch sinnvoll ist.

Kinetische Energie bei einem klebenden Stoß als erhalten annehmen. Die Aufgabe sagt, dass die Objekte ankoppeln, was bedeutet, dass Energie verloren ging, und $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$ zu schreiben, erzeugt einen Widerspruch oder eine falsche Geschwindigkeit. Nur der Impuls.

Vergessen, dass der Kraftstoß Kraft mal Zeit ist, nicht Kraft allein. Eine kleine Kraft über lange Zeit kann mehr Kraftstoß tragen als eine große, die nur kurz wirkt. Die Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm ist die entscheidende Größe.

Impulserhaltung über ein langes Zeitintervall mit äußeren Kräften anwenden. Der Impuls eines Autos bleibt nicht erhalten, während es einen Hügel hinauffährt, weil Gravitation und Reibung über diese Zeit Kraftstoß liefern. Erhaltung gilt für kurze Wechselwirkungen oder für Systeme ohne resultierende äußere Kraft.

Verwechseln, welche Masse sich danach bewegt. Bei einem vollständig unelastischen Stoß bewegt sich die kombinierte Masse; bei einem elastischen behalten beide Massen ihre eigene Identität und können sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Achte in der Aufgabe auf das Wort kleben.

Wozu der Impuls dient

Kinematik beschrieb die Bewegung, die Newtonschen Gesetze erklärten sie, und Arbeit und Energie erlauben es, den Weg zu überspringen. Der Impuls erlaubt es, den Stoß selbst zu überspringen. Man muss weder die Kraft noch die Dauer noch die Form des Kontakts kennen; man braucht die Impulse, die hineingehen, und die Gesamtgröße, die herauskommt, ist dieselbe Zahl. Es ist das Konto, das Gewalt übersteht.

Er weist auch in die Zukunft. Der Drehimpuls ist dieselbe Idee für rotierende Dinge, und er ist es, der einen Kreisel aufrecht hält und eine Eiskunstläuferin beschleunigen lässt, wenn sie die Arme anzieht. Die Kraftstoß-Impuls-Form des zweiten Gesetzes ist diejenige, die in der Relativitätstheorie erhalten bleibt, wo $F = ma$ es nicht tut. Und das Erhaltungsgesetz selbst, das aus dem dritten Newtonschen Gesetz zu stammen schien, entpuppt sich als Folge von etwas Tieferem: der Tatsache, dass die Gesetze der Physik hier genauso gelten wie einen Meter weiter links. Jedem Erhaltungssatz der Physik liegt eine Symmetrie zugrunde, und die des Impulses ist die einfachste.

Damit dieses Thema sitzt, hilft derselbe Kreislauf wie immer, der in Wie man Physik effektiv lernt beschrieben ist: eine positive Richtung wählen, die Impulse davor und danach mit Vorzeichen aufschreiben, aus der Formulierung entscheiden, ob auch Energie erhalten bleibt, lösen, dann Vorzeichen und Grenzfälle prüfen. Das Thema Impuls & Stöße in Physics Zen, Teil von Premium, durchläuft diesen Kreislauf mit immer neuen Zahlen zu Kraftstoß und mittlerer Kraft, klebenden Stößen und Rückstoß sowie elastischen Stößen ausgehend vom Fall gleicher Massen, sodass die Zwei-Konten-Gewohnheit zu deiner eigenen wird, statt an ein bestimmtes Rechenbeispiel gebunden zu bleiben.