Spezifische Wärmekapazität: Q = mcΔT mit Beispielen

Zwei Becher können dieselbe Energiemenge erhalten und sich trotzdem unterschiedlich stark erwärmen. Eine kleine Wassermenge wird wärmer als eine große; Kupfer und eine gleich schwere Menge Wasser reagieren wieder anders. Die spezifische Wärmekapazität beschreibt den Anteil, der vom Stoff abhängt. Die Gleichung $Q=mc\Delta T$ ist kurz. Falsche Ergebnisse entstehen meist, wenn Wärme mit Temperatur verwechselt wird, Gramm mit einem Wert pro Kilogramm verrechnet werden oder beim Abkühlen das negative Vorzeichen fehlt.

Dieser Leitfaden rechnet Erwärmung, eine unbekannte Masse, eine Endtemperatur, Abkühlung und eine Mischung in einem isolierten Gefäß durch. Eine Tabelle typischer Einheitenfehler und eine Energiebilanz machen die Methode übertragbar. Die Werte für Wasser, Kupfer und Aluminium stammen aus der Wärmekapazitäts-Tabelle von OpenStax. Es sind repräsentative Werte für Lehrbuchaufgaben, keine an jeder Temperatur exakten Konstanten.

Wärme, Temperatur und Wärmekapazität unterscheiden

Die Temperatur beschreibt den thermischen Zustand eines Stoffes. Die Wärmeübertragung $Q$ ist Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds eine Systemgrenze überschreitet; ihre Einheit ist Joule. Ein warmer Körper „enthält“ Wärme nicht wie einen gespeicherten Stoff. Er hat innere Energie, und Wärme kann Energie hinein oder hinaus übertragen. Unser Leitfaden zu Arbeit und Energie führt die größere Energiebilanz ein, in die dieser Unterschied gehört.

Die spezifische Wärmekapazität $c$ gehört zu einem Stoff und seiner Phase. In SI-Einheiten ist sie Energie pro Kilogramm und Kelvin: $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Für flüssiges Wasser verwenden Einführungsaufgaben häufig $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, für Kupfer $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ und für Aluminium $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Sie geben an, wie viel Energie ein Kilogramm für eine Erwärmung um ein Kelvin braucht, solange die Phase gleich bleibt. $c$ selbst kann von der Temperatur abhängen; wir nehmen es über die betrachteten Intervalle näherungsweise als konstant an.

Die Wärmekapazität eines konkreten Körpers ist $C=mc$, mit der Einheit $\mathrm{J/K}$. Verdopple die Masse desselben Stoffes: $C$ verdoppelt sich, $c$ nicht. Für $0{,}250\ \mathrm{kg}$ Wasser ist $C=0{,}250(4186)=1046{,}5\ \mathrm{J/K}$. In unserem Modell braucht die Probe ungefähr $1047\ \mathrm{J}$ pro Kelvin Temperaturanstieg. Die Trennung zwischen $c$ und $C$ verhindert einen typischen Fehler beim Mischen mehrerer Körper.

Q = mcΔT mit passenden Einheiten lesen

Schreibe die Temperaturänderung als Endwert minus Anfangswert:

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

$m$ ist die Masse; $Q$ ist die in den betrachteten Körper übertragene Energie. Positives $\Delta T$ bedeutet positives $Q$ beim Erwärmen. Negatives $\Delta T$ bedeutet negatives $Q$ beim Abkühlen. Die Gleichung beschreibt eine Temperaturänderung innerhalb einer Phase, wenn $c$ über den Bereich als konstant gelten darf.

Steht $c$ in $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$, muss die Masse in Kilogramm und die Temperaturdifferenz in Kelvin eingesetzt werden. Eine Celsius-Differenz ist numerisch gleich groß: von $20^\circ\mathrm{C}$ auf $60^\circ\mathrm{C}$ ergibt $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$ Änderung. Zu einer Differenz addierst du keine 273,15. Stattdessen kann auch $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ zusammen mit einer Celsius-Differenz verwendet werden. Eine Masse in Gramm darf aber nie unbemerkt zu einer Wärmekapazität pro Kilogramm kommen.

Prüfe mit dieser Tabelle Größen und Einheiten, bevor du Zahlen einsetzt. Jede Zeile verbindet die physikalische Aussage der Aufgabe mit einer passenden Einsetzung. Wenn ein Ergebnis unplausibel aussieht, prüfe erst diese Umrechnungen. Das allgemeinere Muster findest du in Physikfehlern, die eigentlich Mathefehler sind.

Beispiel 1: Energie zum Erwärmen von Wasser

Erwärme $0{,}250\ \mathrm{kg}$ flüssiges Wasser von $20^\circ\mathrm{C}$ auf $60^\circ\mathrm{C}$. Nimm $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Das Wasser bleibt flüssig; Energie für Gefäß und Umgebung vernachlässigen wir. Es gilt $\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$. Somit

$$Q=(0{,}250)(4186)(40)=41\,860\ \mathrm{J}=41{,}86\ \mathrm{kJ}.$$

Kontrolle ohne die ganze Multiplikation zu wiederholen: Die Wärmekapazität der Probe beträgt $1046{,}5\ \mathrm{J/K}$. Ein Anstieg um $40\ \mathrm{K}$ braucht $40(1046{,}5)=41\,860\ \mathrm{J}$. Auch die Einheiten stimmen: $\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$. Das positive Vorzeichen passt zur Energiezufuhr.

Wenn ein Heizgerät mehr Energie liefert, kann der Unterschied im Gefäß oder in der Umgebung landen. $Q=mc\Delta T$ berechnet hier die vom Wasser aufgenommene Energie, nicht zwingend die elektrische Energie aus der Steckdose.

Beispiel 2: Masse oder Temperaturänderung berechnen

Nimmt flüssiges Wasser $12\,558\ \mathrm{J}$ auf und steigt seine Temperatur um $20\ \mathrm{K}$, stelle vor dem Einsetzen um:

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12\,558}{4186(20)} =0{,}150\ \mathrm{kg}.$$

Das sind $150\ \mathrm{g}$. Rückeinsetzen liefert $0{,}150(4186)(20)=12\,558\ \mathrm{J}$. Kämen $150\ \mathrm{kg}$ heraus, läge der Verdacht auf einen Gramm-Kilogramm-Fehler nahe.

Für eine andere Unbekannte erhalten $0{,}500\ \mathrm{kg}$ Aluminium $9000\ \mathrm{J}$. Mit $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ steigt die Temperatur um

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0{,}500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

Beginnt die Probe bei $20^\circ\mathrm{C}$, endet sie bei $40^\circ\mathrm{C}$. Der Anstieg beträgt $20\ \mathrm{K}$, Anfangs- und Endtemperatur stehen in Celsius. Das passt zusammen, weil Kelvin- und Celsius-Schritte gleich groß sind, auch wenn ihre Nullpunkte verschieden sind.

Beispiel 3: Abkühlen und negatives Q

Ein $0{,}200\ \mathrm{kg}$ schweres Kupferstück kühlt von $80^\circ\mathrm{C}$ auf $30^\circ\mathrm{C}$ ab. Mit $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ist $\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$:

$$Q_{Cu}=(0{,}200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

Das Minuszeichen sagt unter unserer Konvention „Energie in den Körper“, dass Energie das Kupfer verlassen hat. Der Betrag der Abgabe ist $3870\ \mathrm{J}$. Es bedeutet nicht, dass Kupfer „negative Wärme enthält“. In einem isolierten Aufbau kann ein anderer Körper die gesamten $3870\ \mathrm{J}$ als positives $Q$ aufnehmen. In einem offenen Aufbau kann ein Teil an die Umgebung gehen. Ohne weitere Daten darf der ganze Betrag nicht einfach einem einzigen Empfänger zugeteilt werden.

Die Größenordnung stimmt: Das Kupferstück hat $0{,}200(387)=77{,}4\ \mathrm{J/K}$ Wärmekapazität. Multipliziert mit einer Abkühlung um $50\ \mathrm{K}$ ergibt das $3870\ \mathrm{J}$, mit negativem Vorzeichen für die Abgabe.

Beispiel 4: Heißes Kupfer und kühles Wasser mischen

Lege $0{,}200\ \mathrm{kg}$ Kupfer bei anfangs $90^\circ\mathrm{C}$ in $0{,}300\ \mathrm{kg}$ flüssiges Wasser bei anfangs $20^\circ\mathrm{C}$. Denke dir ein isoliertes Gefäß mit vernachlässigbarer Wärmekapazität und ohne Phasenwechsel. Beide erreichen dieselbe Endtemperatur $T_f$. Die vom Kupfer abgegebene Energie entspricht der vom Wasser aufgenommenen:

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0{,}200)(387)(T_f-90) +(0{,}300)(4186)(T_f-20)=0.$$

Die Wärmekapazitäten betragen $77{,}4\ \mathrm{J/K}$ für Kupfer und $1255{,}8\ \mathrm{J/K}$ für Wasser. Umstellen ergibt

$$T_f=\frac{77{,}4(90)+1255{,}8(20)}{77{,}4+1255{,}8} =24{,}06^\circ\mathrm{C}.$$

Das liegt zwischen $20^\circ\mathrm{C}$ und $90^\circ\mathrm{C}$ und näher am Anfangswert des Wassers, dessen Wärmekapazität als Probe viel größer ist. Ein Wert über $90^\circ\mathrm{C}$ oder unter $20^\circ\mathrm{C}$ würde die Annahme fehlender äußerer Energie verletzen.

Prüfe mit dem ungerundeten Ergebnis: Kupfer hat $Q_{Cu}=77{,}4(24{,}0639-90)=-5103{,}45\ \mathrm{J}$, Wasser $Q_w=1255{,}8(24{,}0639-20)=+5103{,}45\ \mathrm{J}$. Bis auf Rundung ist die Summe null. OpenStax zur Kalorimetrie verwendet dieselbe Bilanz aus Verlust und Gewinn. Ein reales Gefäß nähme ebenfalls Energie auf und gehörte in eine genauere Bilanz.

Wann die Gleichung das falsche Modell ist

Die Gleichung setzt eine Temperaturänderung innerhalb einer Phase voraus. Beim Schmelzen oder Sieden kann Energie hineinfließen, während die Temperatur am Übergang etwa gleich bleibt. $\Delta T=0$ in $mc\Delta T$ einzusetzen und daraus "keine Energie nötig" zu folgern, wäre das falsche Modell. Zerlege eine mehrstufige Aufgabe in Temperaturänderungen mit $mc\Delta T$ und Phasenwechsel mit $mL$, wenn die benötigte latente Wärme angegeben ist. OpenStax behandelt Phasenwechsel getrennt.

Außerdem ist die spezifische Wärmekapazität nicht bei jeder Temperatur und in jeder Phase exakt konstant. Ein offenes System hält nicht die gesamte übertragene Energie in der genannten Probe. Einführungsaufgaben nennen meist $c$ und sagen, welche Verluste du ignorieren sollst. Schreibe diese Annahmen neben die Gleichung. Bei einem Experiment oder Gerät müssen Gefäß, Umgebung und Temperaturabhängigkeit gemessen oder modelliert werden, statt einen einzigen Lehrbuchwert zu erzwingen.

Für eine neue Aufgabe notierst du den Körper, seine Masse in Kilogramm, Stoff und Phase, $c$ mit Einheit und $T_f-T_i$. Entscheide, ob $Q$ in diesen Körper hinein oder aus ihm heraus geht. Bei einer Mischung bekommt jeder Körper ein vorzeichenbehaftetes $Q$. Setze die Summe nur dann auf null, wenn das System als isoliert gilt. Im Thema Wärme und Temperatur von Physics Zen kannst du diese Aufstellung mit neuen Zahlen und Lösungswegen üben. Einheiten- und Energiekontrolle gehören zur Rechnung, nicht erst zum Nachtrag.