Dünne-Linsen-Gleichung: Beispiele für reelle und virtuelle Bilder

Stellen Sie einen Gegenstand vor eine Sammellinse und bewegen Sie ihn zum Glas hin. In manchen Positionen lässt sich auf der anderen Seite ein Schirm aufstellen, auf dem ein scharfes Bild erscheint. Rücken Sie den Gegenstand näher an die Linse als ihre Brennweite, fängt der Schirm kein solches Bild mehr auf. Schauen Sie jedoch durch die Linse, kann der Gegenstand vergrößert wirken. Die Gleichung der dünnen Linse beschreibt beide Fälle, sofern die Vorzeichen ausdrücken, auf welcher Seite der Linse sich die Strahlen tatsächlich treffen oder scheinbar treffen.

Die Rechnung ist kurz. Die meisten Fehler passieren früher: Es fehlt eine Skizze, ein virtuelles Bild erhält eine positive Bildweite, oder das Vorzeichen des Abbildungsmaßstabs wird für eine Größenangabe gehalten. Wir verwenden durchgehend eine ausdrücklich festgelegte Vorzeichenkonvention und prüfen jedes Ergebnis an einem Strahlenbild.

Skizzieren Sie die Linse, bevor Sie Vorzeichen wählen

Zeichnen Sie eine waagerechte optische Achse und eine senkrechte Linie für die Linse. Platzieren Sie den Gegenstand links. In den folgenden Situationen läuft das Licht von links nach rechts. Markieren Sie auf jeder Seite einen Brennpunkt im Abstand $|f|$ von der Linse. So können Sie das berechnete Bild anschließend in der Skizze eintragen.

Bei einer Sammellinse verläuft ein Strahl von der Spitze des Gegenstands zunächst parallel zur Achse und tritt dann in Richtung des fernen Brennpunkts aus. Ein Strahl durch die Linsenmitte läuft im Modell der dünnen Linse annähernd gerade weiter. Dort, wo sich diese austretenden Strahlen schneiden, liegt ein reelles Bild. Laufen die austretenden Strahlen auseinander, verlängern Sie sie mit gestrichelten Linien nach hinten. Ihre rückwärtigen Verlängerungen treffen sich am virtuellen Bild; dort treffen sich keine tatsächlichen austretenden Lichtstrahlen. Eine Zerstreuungslinse lässt einen parallel einfallenden Strahl auseinanderlaufen, als käme er vom nahen Brennpunkt.

Diese Strahlen sind idealisiert. Eine Linse hat eine Dicke, und reale Abbildungen können von der Näherung einer dünnen Linse mit achsennahen Strahlen abweichen. Gleichung und Skizzen hier setzen Strahlen nahe der optischen Achse und kleine Winkel voraus. OpenStax über dünne Linsen erläutert die Gleichung, die Strahlenkonstruktionen und die hier verwendete Konvention.

Die Gleichung und eine Vorzeichenkonvention

Seien $d_o$ der Abstand des Gegenstands von der Linse, $d_i$ die Bildweite und $f$ die Brennweite. Dann gilt

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

In deutschen Schulbüchern heißt sie Linsengleichung oder Abbildungsgleichung und steht mit Gegenstandsweite $g$ und Bildweite $b$ als $\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$; es gilt also $g=d_o$ und $b=d_i$. Alle drei Abstände müssen dieselbe Einheit haben. Zentimeter funktionieren, wenn alle Abstände in Zentimetern angegeben sind; Meter funktionieren, wenn alle Abstände in Metern angegeben sind. Das Ergebnis übernimmt diese Einheit. Stellen Sie die Gleichung vor dem Einsetzen der Zahlen nach der Bildweite um:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Wir verwenden die Konvention reell ist positiv für einen gewöhnlichen reellen Gegenstand auf der Seite des einfallenden Lichts:

Größe	Positiv	Negativ
$d_o$	Reeller Gegenstand, wie in allen Beispielen hier	Virtueller Gegenstand, außerhalb dieser Lektion
$f$	Sammellinse	Zerstreuungslinse
$d_i$	Reelles Bild auf der gegenüberliegenden Seite	Virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite

Manche Kurse verwenden eine kartesische Koordinatenkonvention mit anders vorzeichenbehafteten Positionen. Übertragen Sie nicht mitten in einer Rechnung Vorzeichen von einer Konvention auf die andere. Wenn Ihr Kurs eine andere Gleichung schreibt, verwenden Sie dessen Definitionen konsequent. Die physikalischen Fragen bleiben gleich: In welche Richtung laufen die Strahlen, wo treffen sie sich, und wie ist das Bild orientiert?

Rechenbeispiel: reelles Bild einer Sammellinse

Ein Gegenstand steht $30\ \mathrm{cm}$ vor einer Sammellinse mit $f=+10\ \mathrm{cm}$. Er ist weiter als eine Brennweite entfernt; ein reelles Bild auf der anderen Seite ist daher plausibel. Setzen Sie $d_o=+30\ \mathrm{cm}$ ein:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Somit ist $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. Das positive Vorzeichen setzt das Bild auf die gegenüberliegende Seite der Linse. Probe durch Einsetzen: $1/10=1/30+1/15$. In Ihrer Skizze wird der parallele Strahl durch den fernen Brennpunkt gebrochen und schneidet dort den Mittelpunktsstrahl. Das Bild ist reell; ein idealer Schirm in dieser Ebene kann die zusammenlaufenden Strahlen auffangen.

Das Bild ist verkleinert und umgekehrt. Statt das nur zu vermuten, berechnen Sie den Abbildungsmaßstab.

Abbildungsmaßstab: Orientierung und Größe trennen

Bei derselben Konvention lautet der vorzeichenbehaftete transversale Abbildungsmaßstab

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

wobei $h_o$ und $h_i$ die Gegenstands- und Bildhöhen sind, jeweils von der optischen Achse aus gemessen. Ein negatives $m$ bedeutet umgekehrt, ein positives $m$ bedeutet aufrecht. Der Betrag $|m|$ ist der Skalierungsfaktor für die Bildhöhe. Er ist keine Länge und hat keine Einheit.

Für die erste Linse ergibt sich $m=-15/30=-0.50$. Ein Gegenstand von $4.0\ \mathrm{cm}$ Höhe hätte $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. Das Vorzeichen zeigt, dass seine Spitze unterhalb der Achse liegt; der Betrag seiner Höhe ist $2.0\ \mathrm{cm}$. Beschreiben Sie eine negative Bildhöhe nicht als physikalisch negative Größe.

Rechenbeispiel: virtuelles, vergrößertes Bild

Bleiben Sie bei einer Sammellinse mit $f=+12\ \mathrm{cm}$, stellen Sie den Gegenstand aber nur $8.0\ \mathrm{cm}$ entfernt auf. Weil $d_o<f$, laufen die austretenden Strahlen auseinander. Ihre rückwärtigen Verlängerungen treffen sich auf der Gegenstandsseite. Sagen Sie vor der Rechnung $d_i<0$ voraus:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

Das virtuelle Bild liegt $24\ \mathrm{cm}$ von der Linse entfernt auf der Gegenstandsseite. Der Abbildungsmaßstab ist

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

Das Bild ist in diesem idealen Modell also aufrecht und dreimal so hoch wie der Gegenstand. Kein Schirm am Ort des virtuellen Bildes kann dort ein Strahlenbündel auffangen, das dieses Bild erzeugt; seine Lage ergibt sich aus den rückwärtigen Verlängerungen der austretenden Strahlen. Das ist der entscheidende Unterschied zwischen dem Sehen eines virtuellen Bildes und dem Projizieren eines reellen Bildes auf einen Schirm.

Rechenbeispiel: Zerstreuungslinse

Verwenden Sie nun eine Zerstreuungslinse mit $f=-15\ \mathrm{cm}$. Ein reeller Gegenstand steht $30\ \mathrm{cm}$ davor. Die negative Brennweite ist entscheidend; mit $+15\ \mathrm{cm}$ würden Sie eine andere Linse beschreiben.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Somit ist $d_i=-10\ \mathrm{cm}$: ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite. Der Abbildungsmaßstab beträgt $m=-(-10)/30=+1/3$; das Bild ist aufrecht und ein Drittel so hoch. In der Skizze laufen die Strahlen nach der Linse auseinander. Ihre rückwärtigen Verlängerungen schneiden sich zwischen Linse und nahem Brennpunkt. Prüfen Sie die Gleichung mit den Vorzeichen: $-1/15=1/30-1/10$.

Bei einem reellen Gegenstand und einer einfachen Zerstreuungslinse lässt dieses Modell ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild erwarten. Die Rechnung oben zeigt dieses Muster für einen bestimmten Satz von Abständen; das negative $f$ ist dafür ausschlaggebend.

Was geschieht in der Brennebene?

In der umgestellten Gleichung $d_i=fd_o/(d_o-f)$ nähert sich der Nenner null, wenn sich ein reeller Gegenstand dem Brennweitenabstand einer Sammellinse nähert. Von knapp außerhalb von $f$ wird $d_i$ groß und positiv. Von knapp innerhalb wird es groß und negativ. Genau bei $d_o=f$ ist $1/d_i=0$: Die austretenden Strahlen sind im idealen Modell parallel, und es gibt keine endliche Bildweite anzugeben.

Tippen Sie $d_o=f$ nicht einfach in den Bruch ein und deuten Sie die Fehlermeldung wegen Division durch null als physikalisches Ergebnis. Zeichnen Sie die parallelen Strahlen und sagen Sie, dass das Bild im idealen Modell im Unendlichen liegt.

Drei Aufgaben zum Selbstlösen mit Kontrolle

1. Reelles Bild und Höhe. Eine Sammellinse hat $f=+20\ \mathrm{cm}$. Ein reeller Gegenstand von $3.0\ \mathrm{cm}$ Höhe steht $60\ \mathrm{cm}$ entfernt. Gesucht sind Bildweite und Bildhöhe. Rechnung: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, also $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Dann sind $m=-30/60=-0.50$ und $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. Das reelle Bild ist umgekehrt und halb so hoch.

2. Innerhalb der Brennweite. Eine Sammellinse hat $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ und einen reellen Gegenstand bei $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Bestimmen Sie Bild und Abbildungsmaßstab. Rechnung: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, also $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Dann ist $m=-(-18)/6.0=+3.0$. Das Bild ist virtuell, aufrecht und vergrößert.

3. Zerstreuungslinse. Ein reeller Gegenstand steht $24\ \mathrm{cm}$ von einer Linse mit $f=-12\ \mathrm{cm}$ entfernt. Bestimmen Sie Bildweite und Bildart. Rechnung: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, also $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Weil das Bild auf der Gegenstandsseite liegt, ist es virtuell. Außerdem ist $m=-(-8)/24=+1/3$; es ist also aufrecht und verkleinert.

Das Verhalten einer Linse beginnt damit, dass Licht seine Richtung ändert. Unser Leitfaden zum snelliusschen Brechungsgesetz erklärt die Brechung an einer Grenzfläche. Für Linsenrechnungen und Aufgaben zur Bildart nutzen Sie das Optikthema von Physics Zen. Wer sich auf das Abitur vorbereitet, findet im Leitfaden zum Physik-Abitur den Platz von Optik und Wellenoptik im Lernplan; die Leitfäden zur A-Level-Physik und zum Bac Physique tun dasselbe für diese Prüfungen.