Reihen- und Parallelschaltungen: Strom und Spannung verstehen

Zwei Widerstände können in einer Schaltskizze direkt nebeneinander liegen, ohne parallel geschaltet zu sein. Sie können auf gegenüberliegenden Seiten der Zeichnung liegen und trotzdem in Reihe geschaltet sein. Die Form der Zeichnung lenkt ab. Entscheidend ist, welche Punkte miteinander verbunden sind und ob sich der Strom aufteilen kann.

Verfolge zuerst die Strompfade. Sobald du weißt, welche Bauteile denselben Strom führen und an welchen dieselbe Spannung anliegt, ergeben sich die Widerstandsformeln ganz natürlich. Dieser Leitfaden setzt ideale Leitungen, eine ideale Konstantspannungsquelle und feste positive Widerstände in einem stationären Gleichstromkreis voraus.

Strom fließt durch ein Bauteil, Spannung wird zwischen zwei Punkten gemessen

Der Strom $I$ gibt in Ampere an, wie viel Ladung pro Zeit einen Punkt passiert. Die Spannung $V$ ist die Energiedifferenz pro Ladungseinheit zwischen zwei Punkten und wird in Volt angegeben. Ein Widerstand mit dem Widerstandswert $R$ in Ohm folgt im hier verwendeten Modell dem Ohmschen Gesetz:

$$V=IR$$

Die Spannung in dieser Gleichung muss die Spannung über diesem Widerstand sein. Der Strom muss der Strom sein, der durch diesen Widerstand fließt. Wer die Spannung der gesamten Schaltung mit dem Strom eines einzelnen Zweigs kombiniert, erhält leicht ein plausibel wirkendes, aber falsches Ergebnis.

Ladung verschwindet nicht in einem Widerstand. Elektrische Energie wird meist in Wärme umgewandelt, während im stationären Betrieb pro Sekunde genauso viel Ladung hinein- wie herausfließt. Die Unterscheidung zwischen Energie und ihrer Übertragung ist auch in unserem Leitfaden zu Arbeit und Energie hilfreich.

Reihenschaltung bedeutet einen einzigen unverzweigten Pfad

Stell dir eine Batterie vor, die mit einem Widerstand, dann mit einem zweiten Widerstand und schließlich wieder mit der Batterie verbunden ist. Zwischen den Widerständen gibt es keinen Knoten, an dem der Strom über einen anderen Pfad abfließen könnte. Daher führen beide denselben Strom.

Die Spannungsabfälle ergeben zusammen die Versorgungsspannung. Mit dem Ohmschen Gesetz für jeden Widerstand gilt:

$$V=V_1+V_2=IR_1+IR_2=I(R_1+R_2)$$

Damit beträgt der Ersatzwiderstand der Reihenschaltung:

$$R_{\mathrm{s}}=R_1+R_2$$

Mehr Widerstände im selben Pfad bedeuten einen größeren Widerstand. Bei fester Versorgungsspannung sinkt der Strom. Die Spannung teilt sich nicht unbedingt gleichmäßig auf: Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab, weil beide Widerstände denselben Strom führen.

Ein überprüftes Beispiel zur Reihenschaltung

Schalte einen 4-Ohm- und einen 8-Ohm-Widerstand in Reihe an eine 12-Volt-Quelle. Der Gesamtwiderstand beträgt 12 Ohm. Damit ergibt sich:

$$I=\frac{12}{4+8}=1\ \mathrm{A}$$

Die einzelnen Spannungsabfälle sind:

$$V_1=1\times4=4\ \mathrm{V},\qquad V_2=1\times8=8\ \mathrm{V}$$

Kontrolliere die Masche: 4 Volt plus 8 Volt ergeben die Versorgungsspannung von 12 Volt. Kontrolliere den Strom: Durch beide Widerstände fließt 1 Ampere. An keinem liegt einzeln die volle Spannung von 12 Volt an, und der Strom wird nach dem ersten Widerstand nicht kleiner.

Parallelschaltung bedeutet dieselben zwei Knoten

Ein Knoten ist eine Gruppe von Punkten, die ohne dazwischenliegendes Bauteil durch ideale Leitungen miteinander verbunden sind. Diese Punkte haben dasselbe Potenzial. Zwei Widerstände sind parallel geschaltet, wenn ihre beiden Enden jeweils mit demselben Knotenpaar verbunden sind.

Da sie zwischen denselben zwei Potenzialen liegen, liegt an beiden dieselbe Spannung an. Der Strom kann sich auf die Pfade aufteilen. An einem Knoten ist der gesamte hineinfließende Strom gleich dem gesamten herausfließenden Strom:

$$I=I_1+I_2=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}$$

Division durch die gemeinsame Spannung liefert die Regel für den Parallelwiderstand:

$$\frac{1}{R_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

Für genau zwei Widerstände lässt sie sich auch so schreiben:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$

Ein zusätzlicher Pfad ermöglicht bei gleicher Spannung einen größeren Gesamtstrom. Deshalb ist der Ersatzwiderstand kleiner als der kleinste Zweigwiderstand. Der Strom nimmt nicht nur den einfachsten Weg. Er fließt durch jeden leitenden Zweig, wobei durch den kleineren Widerstand mehr Strom fließt.

Dieselben Widerstände, jetzt parallel geschaltet

Schalte dieselben 4-Ohm- und 8-Ohm-Widerstände an dieselbe 12-Volt-Quelle, diesmal parallel. An jedem Widerstand liegen nun 12 Volt an:

$$I_1=\frac{12}{4}=3\ \mathrm{A},\qquad I_2=\frac{12}{8}=1.5\ \mathrm{A}$$

Die Quelle liefert die Summe:

$$I=3+1.5=4.5\ \mathrm{A}$$

Der Ersatzwiderstand beträgt:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{4\times8}{4+8}=\frac{8}{3}\ \Omega$$

Kontrolliere das Ergebnis mit der gesamten Schaltung: 12 Volt geteilt durch 8/3 Ohm ergeben 4,5 Ampere. Der Ersatzwiderstand ist wie erwartet kleiner als 4 Ohm. Die gleiche Spannung an den Zweigen bedeutet nicht, dass auch die Zweigströme gleich sind.

Eine gemischte Schaltung vereinfachen und dann rückwärts rechnen

Angenommen, ein 2-Ohm-Widerstand ist mit einer Parallelschaltung aus einem 6-Ohm- und einem 3-Ohm-Widerstand in Reihe geschaltet. Die gesamte Schaltung wird mit 12 Volt versorgt. Addiere nicht alle drei Widerstände als Reihenschaltung. Bestimme zuerst den Ersatzwiderstand der inneren Parallelschaltung:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{6\times3}{6+3}=2\ \Omega$$

Dieser Ersatzwiderstand ist mit dem ersten 2-Ohm-Widerstand in Reihe geschaltet. Der Gesamtwiderstand beträgt 4 Ohm, daher liefert die Quelle 3 Ampere. Der Spannungsabfall am ersten Widerstand ist:

$$V_{\mathrm{s}}=3\times2=6\ \mathrm{V}$$

An der Parallelschaltung liegt die verbleibende Spannung von 6 Volt an. Ihre Zweigströme sind daher:

$$I_6=\frac{6}{6}=1\ \mathrm{A},\qquad I_3=\frac{6}{3}=2\ \mathrm{A}$$

Zusammen ergeben sie die 3 Ampere, die in den Knoten hineinfließen. Die Reihenfolge ist wichtig: Vereinfache die Schaltung von innen nach außen, um den Quellenstrom zu bestimmen. Rechne dann wieder nach außen zurück, um Spannung und Strom an jedem Bauteil zu ermitteln.

Manche Netzwerke lassen sich nicht durch einfache Reihen- und Parallelschaltungen vereinfachen. Bei einer Brückenschaltung kann es nötig sein, die Kirchhoffschen Regeln direkt anzuwenden. Wende die Formel für zwei Widerstände nicht auf Bauteile an, die nicht beide Knoten gemeinsam haben.

Die Leistung als unabhängige Kontrolle verwenden

Für einen Widerstand in diesem Modell lässt sich die Leistung auf drei gleichwertige Arten schreiben:

$$P=VI=I^2R=\frac{V^2}{R}$$

Im Beispiel zur Reihenschaltung setzen die beiden Widerstände 4 Watt beziehungsweise 8 Watt um. Zusammen sind das 12 Watt. Dies entspricht der Quellenleistung von 12 Volt mal 1 Ampere.

Im Beispiel zur Parallelschaltung setzen sie 36 Watt beziehungsweise 18 Watt um. Zusammen sind das 54 Watt. Dies entspricht 12 Volt mal 4,5 Ampere. Eine andere Anordnung derselben Widerstände verändert den von der Quelle gelieferten Strom und die Leistung in jedem Bauteil.

Das erklärt auch einen nützlichen Vergleich. Bei gleichem Strom setzt der größere Widerstand mehr Leistung um. Bei gleicher Spannung setzt der kleinere Widerstand mehr Leistung um. Bevor du entscheidest, welcher Widerstand heißer wird, musst du bestimmen, welche Größe für beide gleich ist. Die reale Temperatur hängt außerdem von der Kühlung und der Bauweise ab.

Eine kurze Methode für unbekannte Schaltbilder

1. Markiere Knoten, die ohne Unterbrechung durch ideale Leitungen verbunden sind.
2. Bestimme, welche Bauteile auf einem einzigen unverzweigten Pfad liegen oder dasselbe Knotenpaar gemeinsam haben.
3. Bestimme den Ersatzwiderstand und beginne mit der einfachsten Gruppe.
4. Berechne den Quellenstrom mit dem Ohmschen Gesetz.
5. Rechne zurück, um jeden Spannungsabfall und jeden Zweigstrom zu ermitteln.
6. Kontrolliere die Ströme an den Knoten, die Spannungen entlang geschlossener Maschen und die Gesamtleistung.

Schreibe die Einheiten mit. 500 Milliampere entsprechen 0,5 Ampere. Bei einem Widerstand in Kiloohm musst du die passende Umrechnung vornehmen. Unser Leitfaden zu Physikfehlern, die eigentlich Mathefehler sind zeigt, warum solche kleinen Umrechnungen wichtig sind.

OpenStax erklärt Widerstandskombinationen anhand derselben Beziehungen für ideale Stromkreise. Reale Batterien haben einen Innenwiderstand und Strombegrenzungen, reale Bauteile eine Nennleistung. Diese Zahlenbeispiele sind Rechenübungen. Sie sind keine Anleitung zum Aufbau einer Schaltung mit hohen Strömen oder zum Arbeiten an der Netzspannung.

Aus dem Schaltbild wird Übung

Das Thema Schaltungen in Physics Zen umfasst das Ohmsche Gesetz, Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen, elektrische Leistung und die Kirchhoffschen Regeln. Es gehört auf iPhone und Android zu Premium. Beginne damit, Knoten zu erkennen, bevor du die Rechnungen schwieriger machst.

Wenn ein Ergebnis falsch aussieht, zeichne die Verbindungen neu, statt eine andere Formel zu suchen. Ein gemeinsamer Strom kennzeichnet die Reihenschaltung, gemeinsame Endpunkte kennzeichnen die Parallelschaltung. Diese beiden Beobachtungen leisten den größten Teil der Arbeit.