Fórmula del efecto Doppler: signos y ejemplos resueltos con sonido

Una bocina emite siempre a la misma frecuencia. Cuando se acerca el vehículo, oyes un tono más agudo; después de que pasa, uno más grave. La fuente no cambió la frecuencia de la bocina. El movimiento alteró la frecuencia con que los frentes de onda llegan a ti. La fórmula del efecto Doppler cuantifica ese cambio, pero es fácil confundir sus dos signos si solo memorizas un patrón de «más arriba y menos abajo».

Usaremos sonido que viaja por aire en reposo, con la fuente y el oyente moviéndose directamente sobre la línea que los une. Una tabla deja clara la elección de signos. Después resolveremos dos veces el caso de un mismo tono emitido: primero se mueve la fuente y luego el oyente a la misma rapidez. En el último caso se mueven ambos. La comparación es útil porque el sonido necesita un medio: los dos primeros movimientos se parecen, pero no dan exactamente el mismo resultado matemático.

Identifica primero la fuente, el oyente y el medio

Llamemos $f_s$ a la frecuencia emitida y $f_o$ a la frecuencia que oye el oyente. Sea $v$ la rapidez del sonido respecto al aire, $v_s$ la rapidez de la fuente respecto a ese aire y $v_o$ la rapidez del oyente respecto al aire. Las tres rapideces deben usar la misma unidad, normalmente metros por segundo. En los ejemplos tomamos $v=340\ \mathrm{m/s}$ como dato del problema, no como valor universal para cualquier condición del aire.

La diferencia entre fuente y oyente es física. Una fuente en movimiento emite la siguiente cresta desde otra posición. Delante de ella, las crestas quedan más juntas, así que la longitud de onda en el aire es menor. Un oyente en movimiento no cambia esa longitud de onda; atraviesa las crestas existentes con mayor o menor frecuencia. OpenStax deduce ambos casos a partir de estas dos observaciones.

Antes de sustituir valores, dibuja una flecha de la fuente al oyente. Marca hacia dónde se mueve cada objeto a lo largo de esa flecha. Si un automóvil se desplaza de lado respecto a tu campo de visión, no basta con introducir toda su rapidez en esta fórmula unidimensional. Para una trayectoria oblicua importan las componentes sobre la línea de visión en ese instante; en un problema introductorio, sigue la geometría y las convenciones indicadas en tu curso.

Fórmula para el sonido y tabla para elegir los signos

Para un movimiento sobre una misma recta en aire en reposo, escribe la fórmula así:

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

Los signos emparejados son una abreviatura, no una indicación de elegir a la vez los signos superiores. Escoge el numerador según el movimiento del oyente y el denominador según el de la fuente, de forma independiente:

La rapidez de un objeto inmóvil es cero. Si ambos se acercan, ambas elecciones elevan el resultado: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Si se separan, ambas lo reducen: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. La dirección relativa puede invertirse cuando un objeto pasa junto al oyente, así que no sigas usando el signo de acercamiento después de que haya pasado.

Una comprobación rápida del caso límite detecta los peores errores de signo: fija $v_s=v_o=0$. La fórmula debe dar $f_o=f_s$. El acercamiento debe producir un valor mayor que la frecuencia emitida y el alejamiento uno menor. Si tu respuesta no supera estas comprobaciones, revisa el diagrama antes de hacer más cuentas. A rapideces bajas, los cambios son moderados; un factor de diez suele indicar unidades mezcladas o un signo incorrecto en el denominador.

Ejemplo 1: la fuente se acerca a un oyente inmóvil

Una bocina emite $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Un vehículo la lleva hacia un oyente inmóvil a $v_s=34\ \mathrm{m/s}$. Usa $v=340\ \mathrm{m/s}$. El oyente no se mueve, por tanto $v_o=0$. La fuente se acerca, así que resta su rapidez en el denominador:

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

Son unos $75.6\ \mathrm{Hz}$ por encima del tono emitido. Comprueba el factor: $340/306=1.111\ldots$ es mayor que uno, como exige una fuente que se acerca. Las unidades de rapidez se cancelan y quedan hercios. El resultado es una frecuencia instantánea ideal para esta situación sencilla de movimiento constante, no una predicción del volumen del sonido.

¿Qué ocurre si el mismo vehículo ya pasó y ahora se aleja a la misma rapidez? Solo cambia el signo del denominador:

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

Las frecuencias de acercamiento y alejamiento no quedan exactamente a la misma distancia por encima y por debajo de $680\ \mathrm{Hz}$. Los denominadores son $306$ y $374$; sus cambios no producen desplazamientos simétricos. No restes a la frecuencia emitida el aumento calculado durante el acercamiento para adivinar el tono de alejamiento.

La explicación mediante la longitud de onda también puede verse con números. El período entre dos crestas emitidas es $1/680\ \mathrm{s}$. Durante ese período, la fuente avanza $34/680=0.050\ \mathrm{m}$ y un frente de onda avanza $340/680=0.500\ \mathrm{m}$ por el aire. Delante de la fuente móvil, las crestas consecutivas están separadas $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$. Un oyente inmóvil las recibe a $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$, el mismo resultado obtenido por otra vía.

Ejemplo 2: ahora se mueve el oyente

Deja ahora la bocina inmóvil respecto al aire, emitiendo todavía $680\ \mathrm{Hz}$. El oyente se acerca a ella a $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. La longitud de onda en el aire sigue siendo $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$. El oyente encuentra las crestas a una rapidez relativa de $340+34=374\ \mathrm{m/s}$:

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

Compara $748.0\ \mathrm{Hz}$ con los $755.6\ \mathrm{Hz}$ del ejemplo 1. Ambas frecuencias son mayores que $680\ \mathrm{Hz}$, pero a esta rapidez la fuente móvil produce un cambio ligeramente mayor. Sustituir los dos casos por una única «rapidez relativa» genérica ocultaría esa diferencia para el sonido en un medio. La fuente cambia la longitud de onda; el oyente cambia la frecuencia con la que la atraviesa.

Si el oyente se aleja, usa $v-v_o$ en el numerador: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. Es menor que los $618.2\ \mathrm{Hz}$ del caso en que se aleja la fuente. La comparación a igual rapidez funciona a ambos lados del instante en que pasa.

Esta tabla es la comprobación numérica original de la guía. En cada columna se mantienen el mismo tono emitido, la rapidez del sonido y la rapidez del objeto móvil: solo cambia qué objeto se mueve. Úsala para comprobar por tu cuenta cualquier cálculo del efecto Doppler.

Ejemplo 3: ambos se acercan

Usa la misma bocina de $680\ \mathrm{Hz}$ y la misma rapidez del sonido de $340\ \mathrm{m/s}$. Ahora la fuente se acerca al oyente a $20\ \mathrm{m/s}$, mientras que el oyente se acerca a la fuente a $10\ \mathrm{m/s}$. Ambas elecciones deben elevar la frecuencia observada. La rapidez del oyente se suma en el numerador y la de la fuente se resta en el denominador:

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

El factor $350/320=1.09375$ es mayor que uno. Para hacer otra comprobación, elimina el movimiento del oyente: $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$. Si añades un oyente que se acerca, la frecuencia sube a $743.75\ \mathrm{Hz}$, justo como predice el diagrama. Si el oyente se alejara a $10\ \mathrm{m/s}$ mientras la fuente aún se acerca, los dos efectos competirían: $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$. Debes elegir los dos signos por separado, en vez de etiquetar toda la situación simplemente como «acercamiento».

Límites de validez del resultado

Estos son ejemplos de sonido clásico. Las rapideces se miden respecto a un medio definido, aquí el aire en reposo, y la fórmula rectilínea utiliza el movimiento a lo largo de la trayectoria del sonido. El viento cambia las velocidades respecto al aire; una trayectoria lateral exige componentes. Mantenemos la fuente por debajo de la rapidez del sonido. Cuando la fuente que se acerca se aproxima a $v_s=v$, el denominador tiende a cero. Eso indica que falla el modelo de frentes de onda separados que utiliza esta fórmula; no significa que el oyente perciba una frecuencia infinita. Los estampidos sónicos y los frentes de choque necesitan otro modelo.

La luz también presenta cambios Doppler, pero viaja en el vacío sin un medio comparable al aire. No introduzcas la rapidez de la luz en esta fracción para el sonido ni uses velocidades independientes de fuente y oyente respecto a un aire estacionario imaginario. El capítulo de OpenStax sobre la luz presenta la relación relativista en términos de movimiento relativo. La idea física de que el acercamiento eleva la frecuencia sigue siendo válida, pero cambia el cálculo.

Ante un problema nuevo de sonido, escribe $f_s$, $v$, $v_s$ y $v_o$ con sus unidades, dibuja el movimiento y consulta la tabla de signos. Comprueba la respuesta según haya acercamiento o alejamiento, y con el límite de velocidad cero. Si lo difícil es fijar los sentidos del movimiento, la guía de cinemática ayuda a mantener coherentes los signos de la velocidad. El tema de ondas y sonido de Physics Zen incluye ejercicios Doppler con valores nuevos, corrección inmediata y soluciones paso a paso. Un diagrama claro y dos comprobaciones te ayudarán más que memorizar una fila de signos.