Movimiento armónico simple: por qué se repiten las oscilaciones

Aparta una masa del punto de equilibrio de un muelle y suéltala. El muelle tira de ella hacia atrás, pero la masa no se detiene en el centro. Llega con rapidez, lo atraviesa, comprime el muelle y vuelve a recibir un empuje en sentido contrario.

Ese intercambio repetido es el movimiento armónico simple, o MAS. Las ecuaciones con senos y cosenos lo describen, pero no son la idea de partida. La idea es una fuerza que siempre apunta hacia el equilibrio y crece en proporción directa a la distancia que el objeto se aleja de él.

El equilibrio es el centro del movimiento

El equilibrio es la posición donde la fuerza neta vale cero. Para un muelle horizontal ideal, llamemos $x = 0$ a esa posición. Estirarlo a la derecha produce un desplazamiento positivo; comprimirlo a la izquierda, uno negativo.

La ley de Hooke es:

$$F = -kx$$

La constante del muelle $k$ mide su rigidez. El signo menos indica que la fuerza apunta en sentido opuesto al desplazamiento. Si la masa está a la derecha del equilibrio, la fuerza apunta a la izquierda; si está a la izquierda, apunta a la derecha.

La segunda ley de Newton da entonces:

$$a = -\frac{k}{m}x$$

Esta relación define el patrón. La aceleración es proporcional al desplazamiento y se dirige hacia el equilibrio. Nuestra guía de las leyes de Newton explica el marco de fuerzas; el MAS es lo que predice ese marco para una fuerza restauradora lineal.

OpenStax University Physics deduce la misma relación a partir de la ley de Hooke y la usa para hallar el período del sistema masa-muelle. La deducción importa porque muestra exactamente dónde empieza el modelo ideal.

No todo movimiento repetitivo es armónico simple. Una pelota que rebota repite su movimiento, pero su aceleración no es proporcional al desplazamiento respecto a un equilibrio central. Un oscilador real también puede apartarse del MAS si su fuerza restauradora deja de ser lineal o si el amortiguamiento es intenso.

Por qué la masa sobrepasa el equilibrio

En el extremo derecho, el desplazamiento es $+A$, donde $A$ es la amplitud. La fuerza del muelle y la aceleración apuntan a la izquierda, y la masa está momentáneamente en reposo.

Al dirigirse al centro, gana rapidez. En el equilibrio, la fuerza del muelle y la aceleración son cero, pero la rapidez es máxima. Fuerza cero en un instante no significa velocidad cero. La inercia lleva la masa más allá del centro.

Al pasar el centro, el desplazamiento se vuelve negativo. Ahora la fuerza restauradora apunta a la derecha y frena la masa hasta detenerla en $-A$. Entonces el proceso se invierte.

Esto da un mapa útil:

• En $x = \pm A$: la rapidez es cero y la magnitud de la aceleración es máxima.
• En $x = 0$: la rapidez es máxima y la aceleración es cero.
• Entre esos puntos: desplazamiento, velocidad y aceleración cambian continuamente.

La aceleración no suele ser opuesta a la velocidad. Cuando la masa va hacia el equilibrio, ambas apuntan en el mismo sentido y gana rapidez. Después de atravesarlo, apuntan en sentidos contrarios y pierde rapidez.

La ecuación con coseno funciona como reloj del ciclo

Si el oscilador parte del desplazamiento positivo máximo y se libera desde el reposo, su posición puede escribirse:

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

La frecuencia angular $\omega$ indica con qué rapidez avanza por el ciclo. Una condición inicial más general requiere una constante de fase:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

La fase $\phi$ determina en qué punto del ciclo empieza a contar el tiempo. No cambia la amplitud ni el ritmo de repetición.

Al derivar la posición se obtienen la velocidad y la aceleración:

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ $$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2x(t)$$

La última igualdad recupera la idea que define el movimiento: la aceleración es proporcional al desplazamiento y apunta en sentido contrario.

Las magnitudes máximas se obtienen directamente:

$$v_{\max} = A\omega$$ $$a_{\max} = A\omega^2$$

Posición, velocidad y aceleración no son tres movimientos distintos, sino tres formas de ver el mismo ciclo, desplazadas entre sí.

Período, frecuencia y frecuencia angular

El período $T$ es el tiempo de una oscilación completa. La frecuencia $f$ cuenta las oscilaciones por segundo:

$$f = \frac{1}{T}$$

La frecuencia angular mide el mismo ritmo en radianes por segundo:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

Para un oscilador ideal masa-muelle:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Por tanto:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Una masa mayor oscila más lentamente; un muelle más rígido, más deprisa. En el modelo ideal, la amplitud no aparece en la fórmula del período. Al apartar más la masa, aumenta la fuerza, pero también la distancia que debe recorrer. Ambos efectos se compensan y el tiempo del ciclo no cambia.

Ejemplo resuelto con un muelle

Toma una masa de $0.50\ \mathrm{kg}$ en un muelle ideal con $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Apártala $0.080\ \mathrm{m}$ del equilibrio y suéltala desde el reposo sobre una superficie sin rozamiento.

Primero halla la frecuencia angular:

$$\omega = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

El período es:

$$T = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Como la liberación ocurre desde el desplazamiento positivo máximo, $\phi = 0$ y:

$$x(t) = 0.080\cos(20t)\ \mathrm{m}$$

La rapidez máxima es:

$$v_{\max} = A\omega = 0.080(20) = 1.6\ \mathrm{m/s}$$

La magnitud máxima de la aceleración es:

$$a_{\max} = A\omega^2 = 0.080(20)^2 = 32\ \mathrm{m/s^2}$$

Los máximos se alcanzan en posiciones diferentes. La rapidez llega a 1.6 m/s en el equilibrio; la magnitud de la aceleración llega a 32 m/s² en los extremos.

La energía explica el mismo movimiento sin mirar el reloj

Un oscilador ideal intercambia continuamente energía potencial elástica por energía cinética:

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2$$

En los extremos, la masa está en reposo y toda la energía mecánica es potencial elástica. En el equilibrio, la energía potencial del muelle es cero respecto a ese punto y la cinética alcanza su máximo. El total permanece en:

$$E = \frac{1}{2}kA^2$$

Para el ejemplo resuelto:

$$E = \frac{1}{2}(200)(0.080)^2 = 0.64\ \mathrm{J}$$

En cualquier posición, la conservación de la energía permite hallar la rapidez sin resolver el tiempo:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Esta es la conexión con nuestra guía de trabajo y energía. Usa las ecuaciones sinusoidales cuando importen el tiempo y la fase. Usa energía cuando la pregunta relacione rapidez y posición sin pedir cuándo pasa el oscilador por allí.

Un péndulo solo sigue el MAS en el modelo de ángulos pequeños

En un péndulo simple, una componente de la gravedad actúa como fuerza restauradora. Su ecuación angular exacta contiene $\sin\theta$, así que no es exactamente lineal. Para ángulos pequeños medidos en radianes, $\sin\theta \approx \theta$ y el movimiento es aproximadamente armónico simple.

El período para ángulos pequeños es:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

La masa no aparece. En el modelo ideal de ángulos pequeños, un péndulo con una pesa más pesada tiene el mismo período que otro más ligero con la misma longitud y en el mismo lugar. Aumentar la longitud aumenta el período; una gravedad más intensa lo reduce.

Para $L = 0.90\ \mathrm{m}$ y $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.90}{9.81}} \approx 1.90\ \mathrm{s}$$

A mayor amplitud, la aproximación de ángulos pequeños empeora y el período real supera el calculado con esta fórmula. Indica la aproximación en lugar de tratar cualquier oscilación de un péndulo como MAS exacto.

Los osciladores reales pierden energía

El MAS ideal continúa indefinidamente porque no sale energía del sistema. Los osciladores reales sufren rozamiento, resistencia del aire o pérdidas internas. Su amplitud disminuye con el tiempo: esto es el amortiguamiento.

Una fuerza externa periódica puede reponer la energía perdida y mantener la oscilación. Si su frecuencia se acerca a la frecuencia natural del sistema, la respuesta puede volverse grande. Es la resonancia. El amortiguamiento limita el crecimiento y cambia lo pronunciado de esa respuesta.

Para otro uso de la frecuencia, nuestra guía de la fórmula del efecto Doppler compara lo que oyen una fuente y un oyente en movimiento.

Estos efectos amplían el modelo básico, sin borrarlo. Primero identifica el equilibrio, la fuerza restauradora, la frecuencia natural y el intercambio de energía. Después añade amortiguamiento o fuerza externa periódica si el problema los incluye.

Una secuencia fiable para resolver problemas

Empieza por definir el equilibrio y el sentido positivo. Mide el desplazamiento desde el equilibrio, no automáticamente desde la longitud natural de un muelle. En un muelle vertical, la gravedad desplaza la posición de equilibrio; las oscilaciones alrededor de ese punto siguen el mismo período masa-muelle en el modelo ideal.

Después decide qué pide la pregunta. Para hallar el ritmo de repetición, usa la relación del período. Para hallar la posición en un instante, elige la fase correcta según las condiciones iniciales. Para hallar la rapidez en una posición, la energía suele ser el camino más corto.

Por último, comprueba el patrón físico. La aceleración debe apuntar al equilibrio. La rapidez debe ser cero en los extremos y máxima en el centro. Un muelle más rígido debe acortar el período; una masa mayor debe alargarlo.

Practica estas ideas en el tema de Movimiento armónico simple de Physics Zen, que abarca muelles, péndulos y energía en el MAS. Mantén la imagen física por delante de la fórmula: el desplazamiento crea una fuerza restauradora, el objeto sobrepasa el equilibrio y la energía pasa de una forma a otra mientras el ciclo se repite.