Ecuaciones del movimiento de proyectiles: ejemplos desde el suelo y un acantilado

Una pelota sale del suelo a 20 m/s, 30 grados sobre la horizontal, y cae a unos 35 m. Lanza la misma pelota de la misma manera desde un acantilado de 15 m y cae a unos 53 m. Muchos estudiantes obtienen también 35 m para el acantilado porque usan la fórmula del alcance sin comprobar sus supuestos. Las ecuaciones de los proyectiles no son difíciles. La verdadera habilidad está en saber cuáles corresponden al lanzamiento que tienes delante.

Esta guía establece una convención de signos, reúne cada ecuación y su condición de uso en una tabla y resuelve el mismo lanzamiento desde el suelo y desde un acantilado, además de un lanzamiento horizontal desde una mesa. Todos los cálculos usan $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ y desprecian la resistencia del aire.

Divide el lanzamiento en dos movimientos

Empieza por un dibujo. Marca el punto de lanzamiento, el suelo y una flecha para la velocidad inicial $v_0$ con un ángulo $\theta$ sobre la horizontal. Coloca el origen en el punto de lanzamiento; toma arriba como positivo y hacia delante como positivo. Después, descompón la velocidad inicial:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

A partir de aquí tienes dos problemas unidimensionales que comparten un reloj. Horizontalmente, nada empuja la pelota después de soltarla, así que $a_x=0$ y $v_x$ permanece en $v_{0x}$. Verticalmente, la gravedad proporciona una aceleración constante $a_y=-g$. La sección de OpenStax sobre movimiento de proyectiles se basa precisamente en la independencia de los movimientos perpendiculares, sin resistencia del aire. El programa de AP Physics 1 dice lo mismo de forma breve: el movimiento de proyectiles es bidimensional, con aceleración cero en una dirección y constante, distinta de cero, en la otra (College Board, descripción del curso y examen AP Physics 1, tema 1.5).

Si aún cuesta separar los ejes, nuestra guía de cinemática repasa los métodos unidimensionales de aceleración constante que se usan en cada uno.

¿Qué ecuación sirve en este caso?

Cuatro ecuaciones describen cualquier proyectil en este modelo. Otras tres son atajos deducidos de ellas, cada uno con una condición fácil de olvidar.

OpenStax indica directamente ambos límites: la fórmula del tiempo de vuelo no sirve si el proyectil cae a otra elevación, y la del alcance solo vale si lanzamiento e impacto ocurren sobre una superficie horizontal al mismo nivel. La fórmula de la altura máxima sigue siendo válida desde un acantilado porque solo usa el movimiento vertical hasta lo alto de la trayectoria, donde $v_y=0$. Indica cuánto sube la pelota por encima de su punto de partida, no cuánto está por encima del suelo inferior.

Si eliminas $t$ de las dos primeras filas, obtienes la trayectoria, una parábola:

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Sirve como comprobación independiente, como veremos en el ejemplo del acantilado.

Ejemplo 1: suelo plano, 20 m/s y 30°

Primero las componentes: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ y $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Tiempo de vuelo. La altura de llegada coincide con la de partida, así que podemos usar el atajo:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Compruébalo por otra vía: la pelota llega al punto más alto cuando $v_y=0$, en $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. En terreno plano, el descenso reproduce el ascenso, así que el total es el doble: 2.04 s.

Altura máxima.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Comprueba sustituyendo el tiempo hasta el punto más alto en la ecuación de la altura: $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Alcance.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Comprueba sin el atajo: $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Dos métodos dan la misma respuesta, como conviene verificar antes de seguir. Si tu curso usa $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$, como la práctica de AP Physics 1 en Physics Zen, los resultados solo cambian en la tercera cifra: 2.04 s, 5.10 m y 35.3 m se redondean igual.

Ejemplo 2: el mismo lanzamiento desde un acantilado de 15 m

Ahora lanza a los mismos 20 m/s y 30°, pero desde el borde de un acantilado situado 15 m sobre un suelo plano. Con el origen en el punto de lanzamiento, la llegada ocurre en $y=-15\ \mathrm{m}$. Ya no puedes usar el atajo del alcance porque la pelota cae a menor altura. Usa la ecuación general de posición vertical:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Al ordenar, $4.905t^2-10.0t-15=0$. La fórmula cuadrática da

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

así que $t=3.04\ \mathrm{s}$ o $t=-1.00\ \mathrm{s}$. La raíz negativa corresponde a un instante anterior al lanzamiento, cuando una pelota que siguiera la misma parábola habría pasado por el nivel del suelo durante el ascenso. Es una solución algebraica válida, pero no sirve físicamente en este problema, así que descártala. Sustituye la raíz positiva para comprobarla: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. Elegir la raíz adecuada es uno de los errores matemáticos que explicamos en errores de física que en realidad son errores de matemáticas.

Alcance desde el acantilado.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Segunda comprobación con la ecuación de la trayectoria: en $x=52.7\ \mathrm{m}$, $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. La pelota está justo al nivel del suelo.

El error de usar el atajo. Si aplicas aquí $R=v_0^2\sin 2\theta/g$, obtienes 35.3 m, el resultado para suelo al mismo nivel. El alcance real es 52.7 m. El atajo se queda 17.4 m corto, alrededor del 33 por ciento de la distancia real, y la fórmula no te advierte. La altura máxima sigue siendo 5.10 m por encima del punto de lanzamiento, es decir, 20.1 m por encima del suelo inferior.

Velocidad al impactar. Al llegar, $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$ y $v_x$ sigue siendo 17.32 m/s. Por tanto,

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

con una dirección $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ por debajo de la horizontal. La energía da la rapidez de forma independiente: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Nuestra guía de trabajo y energía explica por qué funciona ese atajo.

¿Sigue siendo 45° el mejor ángulo? No desde un acantilado. Manteniendo los 20 m/s y la caída de 15 m, resolvimos la misma ecuación cuadrática con varios ángulos:

De esos ángulos, el mejor es 37°, y a 45° el alcance es incluso menor que a 30°. Un punto de partida elevado ya añade tiempo de vuelo, así que conviene un lanzamiento más horizontal y con mayor velocidad en esa dirección.

Ejemplo 3: una pelota que cae desde una mesa

Una pelota rueda hasta salir de una mesa de 0.90 m de altura a 3.0 m/s. Aquí $\theta=0$, así que $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ y $v_{0y}=0$. De nuevo, la altura de llegada difiere de la de partida y solo sirven las ecuaciones generales.

Tiempo de caída. Como $v_{0y}=0$, la ecuación de la altura queda $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

Es el mismo tiempo de caída que tendría una pelota soltada verticalmente desde el borde de la mesa. La velocidad horizontal no retrasa la caída.

Dónde cae. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ desde la base de la mesa. La página de LibreTexts sobre movimiento de proyectiles trata igual el lanzamiento horizontal desde cierta altura, con tiempo de caída $\sqrt{2H/g}$.

Rapidez y ángulo al impactar. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, de modo que

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

por debajo de la horizontal. La energía coincide: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Dos problemas para practicar, con respuestas

1. Suelo plano. Una pelota sale a 15 m/s y 60° sobre un terreno plano. Halla tiempo de vuelo, altura máxima y alcance. Respuestas: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Aquí sirven los tres atajos; comprueba el alcance con $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Lanzamiento horizontal. Una piedra sale horizontalmente a 12 m/s desde un saliente situado 20 m sobre el agua. ¿Cuánto tiempo permanece en el aire, a qué distancia cae y con qué rapidez impacta? Respuestas: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ a $58.8^\circ$ por debajo de la horizontal. No sirven los atajos para terreno al mismo nivel.

Practica la separación de ejes hasta hacerla automática

Los proyectiles aparecen pronto en todos los programas principales: AP Physics 1 los incluye en la Unidad 1, y nuestra guía de AP Physics 1 muestra dónde encaja la cinemática en un plan de estudio completo. El método anterior no cambia entre exámenes; solo cambian $g$ y los valores numéricos.

El tema de Cinemática de Physics Zen es gratuito de principio a fin en iPhone y Android. Incluye una habilidad de movimiento de proyectiles con nuevas rapideces, ángulos y alturas en cada problema, corrección inmediata y una solución desarrollada tras cada respuesta. Resuelve varios y, antes de cada uno, hazte la pregunta de la tabla: ¿cae esta pelota a la misma altura desde la que salió? Si no es así, descarta los atajos y despeja el tiempo.