Errores de física que en realidad son errores de matemáticas y cómo corregirlos

Abre la solución desarrollada después de una respuesta equivocada y busca dónde se separan los dos procedimientos. El diagrama de cuerpo libre es correcto. La ecuación también. Pero una línea más abajo el rozamiento lleva el signo incorrecto, se ha conservado un tiempo negativo o el resultado es exactamente 3.6 veces demasiado grande.

Esos no son errores de física. Son errores de matemáticas dentro de un problema de física. La distinción importa porque la solución es diferente: releer el capítulo de fuerzas no impedirá que escribas $\cos\theta$ donde corresponde $\sin\theta$.

A continuación aparecen los siete fallos matemáticos que vemos con más frecuencia en las soluciones de Physics Zen: cómo se ven en el papel, una comprobación rápida para detectarlos y la habilidad concreta que conviene practicar. Para practicar matemáticas recomendamos nuestra app hermana Math Zen, que genera problemas nuevos para cada habilidad igual que Physics Zen hace con la física.

1. Errores de signo: elige una dirección y mantenla

Lanzas una pelota hacia arriba a $12\ \text{m/s}$. Si tomas hacia arriba como positivo, la aceleración es $-9.8\ \text{m/s}^2$ durante todo el vuelo, también cuando la pelota baja. Su velocidad después de dos segundos es

$$v = 12 + (-9.8)(2) = -7.6\ \text{m/s}$$

El signo negativo aporta información: la pelota se mueve hacia abajo. No quiere decir que esté «frenando» ni es un error que debas corregir quitando el menos.

Los errores de signo aparecen al cambiar el sentido positivo a mitad del problema o al interpretar un número negativo como si fuera uno positivo más pequeño. La comprobación es sencilla: escribe arriba de la página qué sentido has elegido como positivo e interpreta todos los signos respecto a él. Si una magnitud apunta en sentido contrario, es negativa y debe seguir siéndolo en todas las líneas posteriores.

El mismo hábito evita que cambies sin querer los signos del numerador y del denominador en un ejemplo resuelto del efecto Doppler.

La habilidad de fondo es la aritmética con números negativos. La guía de números negativos de Math Zen empieza desde lo básico. Practícala y vuelve después a la caída libre en Cinemática, donde el signo de $g$ importa en cada problema.

2. Despejar mal una fracción o un cuadrado

La aceleración centrípeta es $a = \frac{v^2}{r}$. Cuando se pide la rapidez, sorprende cuántas soluciones escriben $v = ar$ y se detienen ahí. Para despejar correctamente, multiplica por $r$ y después saca la raíz cuadrada:

$$v = \sqrt{ar}$$

Ocurre lo mismo con la energía cinética, $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$, de donde la rapidez es $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. Olvidar el factor dos o la raíz es un fallo de álgebra.

La prueba consiste en sustituir la respuesta en la fórmula original con los datos del problema. Si ambos lados no coinciden, el despeje es incorrecto. Tarda unos veinte segundos y detecta casi todos estos casos.

El despeje se practica en el tema de álgebra de Math Zen, y su guía de álgebra explica por qué se permite cada paso. En física, movimiento circular y trabajo y energía utilizan continuamente esos dos despejes.

3. Intercambiar seno y coseno en una componente

En una pendiente de ángulo $\theta$, la componente del peso a lo largo de la pendiente es $mg\sin\theta$ y la que apunta hacia el interior de la pendiente es $mg\cos\theta$. Si las intercambias, la normal, el rozamiento y la aceleración quedan mal aunque hayas dibujado bien el diagrama de cuerpo libre.

La regla: la componente adyacente al ángulo conocido usa coseno; la opuesta, seno. En un plano inclinado, el ángulo de la base es el mismo que hay entre el vector peso y la dirección normal, por eso la componente normal lleva coseno.

Compruébalo con un caso límite. Fija $\theta = 0$. La superficie es plana, así que no debe haber ninguna componente que tire del bloque a lo largo de ella. $mg\sin 0 = 0$: el seno supera la prueba. Si hubieras escrito $mg\cos\theta$ para esa componente, en el caso plano aparecería una fuerza lateral igual a todo $mg$, lo cual no tiene sentido. Repite la comprobación a $90^\circ$ si aún dudas.

Esto es trigonometría de triángulos rectángulos, nada más avanzado. La guía de trigonometría de Math Zen muestra seno y coseno como coordenadas en una circunferencia, haciendo clara la regla de adyacente y opuesto. El tema de trigonometría permite practicarla. Después vuelve al plano inclinado de Dinámica o lee nuestra guía de las leyes de Newton para recordar la física que lo rodea.

4. Ecuaciones cuadráticas y la raíz que descartas

Se lanza una piedra hacia arriba a $15\ \text{m/s}$ desde un puente a $20\ \text{m}$ sobre el agua. ¿Cuándo llega al agua? Si eliges arriba como positivo y el puente como origen:

$$-20 = 15t - 4.9t^2$$

Es una ecuación cuadrática en $t$. La fórmula da aproximadamente $t = 4.07\ \text{s}$ y $t = -1.00\ \text{s}$. La raíz negativa no es matemáticamente incorrecta: representa el instante en que una piedra de la misma parábola habría pasado por el nivel del agua mientras subía, antes del lanzamiento. La física la descarta, pero el álgebra debe hallar primero ambas.

Aquí aparecen errores de signo dentro de la fórmula cuadrática, usar $b$ en vez de $-b$ y equivocarse en las operaciones bajo la raíz. Comprueba la raíz elegida sustituyéndola en la ecuación; debe dar $-20$ dentro del margen de redondeo.

La guía de ecuaciones cuadráticas de Math Zen explica de dónde sale la fórmula, y la habilidad correspondiente de su tema de álgebra genera ejercicios nuevos. Los problemas de proyectiles en Cinemática, tema gratuito de Physics Zen, recurren a ella siempre que la incógnita es el tiempo, como en el lanzamiento desde un acantilado de nuestros ejemplos resueltos de proyectiles.

5. Unidades, prefijos y potencias de diez

Un automóvil a $72\ \text{km/h}$ frena hasta detenerse en $4\ \text{s}$. Si usas la rapidez como $72$, obtienes una desaceleración de $18\ \text{m/s}^2$, capaz de lanzar al conductor contra el parabrisas. Si la conviertes a $20\ \text{m/s}$, la respuesta razonable es $5\ \text{m/s}^2$.

Dividir entre $3.6$ no es un dato de física. Sale de $1000$ metros por kilómetro divididos entre $3600$ segundos por hora: es un problema de proporciones. En la misma familia de errores están convertir centímetros a metros sin elevar al cuadrado el factor para un área e interpretar $6.67 \times 10^{-11}$ como un número grande porque el exponente parece grande.

La prueba es comprobar si el resultado tiene sentido: una aceleración mayor que $g$ para un automóvil corriente, una rapidez mayor que la del sonido para una pelota lanzada o millones de julios de energía para una pelota de tenis indican un fallo de unidades. Busca el factor antes de buscar un fallo de física.

La guía de razones y proporciones y la guía de exponentes de Math Zen cubren ambos aspectos. Su tema de aritmética permite practicarlos. En Physics Zen, la primera habilidad gratuita de movimiento uniforme pide convertir km/h en la mayoría de los problemas.

6. Gráficas: la pendiente no es la altura

En una gráfica velocidad-tiempo, la pendiente es la aceleración y el área entre la línea y el eje es el desplazamiento. Una respuesta frecuente a «¿cuándo es mayor la aceleración?» señala el punto más alto de la gráfica. Ese punto representa la velocidad mayor. La aceleración es mayor donde la línea tiene la pendiente más pronunciada.

Otro error frecuente es ignorar el signo de un área. El área por debajo del eje temporal representa desplazamiento negativo. Una gráfica que sube por encima del eje y después baja por debajo puede describir una gran distancia recorrida y un desplazamiento nulo.

La prueba: antes de responder, di en voz alta si la pregunta pide pendiente, altura o área. Después busca esa magnitud. Parece demasiado sencillo para ser útil, pero funciona.

Leer pendientes y áreas sin añadir física es exactamente lo que se practica en el tema de análisis de gráficas de Math Zen. Nuestra guía de cinemática explica luego por qué pendiente y área tienen esos significados físicos.

7. Dos incógnitas, una ecuación

Un choque elástico conserva momento lineal y energía cinética, así que proporciona dos ecuaciones para las dos velocidades finales. Un circuito con dos baterías necesita escribir dos veces la ley de las mallas; nuestra guía de las leyes de nodos y mallas de Kirchhoff resuelve uno. Un problema de proyectiles tiene una ecuación horizontal y otra vertical que comparten el tiempo de vuelo.

El error es intentar resolver una sola ecuación con dos incógnitas o sustituir en la misma ecuación que acabas de usar. Cuenta las incógnitas y las ecuaciones independientes, y no empieces a resolver hasta que los números coincidan.

Son sistemas de ecuaciones, que puedes practicar en sistemas lineales del tema de álgebra de Math Zen. En Physics Zen esta estructura aparece en momento lineal y choques y en circuitos, y nuestra guía de momento lineal muestra por qué los choques necesitan ambas ecuaciones.

La solución: un desvío breve a las matemáticas y vuelta a la física

Cada fila muestra un error, la habilidad matemática que lo causa y el tema de física al que volver una vez dominada.

La rutina que funciona es breve. Cuando la solución desarrollada muestre un paso matemático que hiciste mal, dedica diez minutos a esa habilidad con problemas generados y vuelve después a resolver otros tres problemas de física del mismo tema. No releas teoría que ya entendiste.

Math Zen es obra del mismo equipo que Physics Zen y sigue el mismo proceso: problema generado, corrección inmediata y solución desarrollada. Está disponible para iPhone y Android. El blog de Math Zen tiene el reflejo de este artículo, las matemáticas que necesitas para física, organizado por tema de física en vez de por tipo de error.

Un signo perdido no demuestra que no entiendas las fuerzas. Indica que una habilidad pequeña necesita cinco minutos propios. Después, la física que ya comprendes te dará el punto.