Leyes de Kirchhoff: nodos y mallas con ejemplos resueltos

Dos baterías, tres resistores y una pregunta: ¿en qué dirección circula la corriente por la batería más pequeña? Muchos estudiantes dibujan una flecha que sale de su terminal positivo, porque eso es lo que suelen hacer las baterías. En el circuito siguiente, esa suposición es incorrecta y el álgebra lo revela con un número negativo. Interpretar bien ese signo menos es gran parte del trabajo con las leyes de Kirchhoff.

Esta guía presenta las dos leyes, una tabla de signos al atravesar componentes y un circuito de dos mallas en el que suponemos deliberadamente una corriente en sentido equivocado. Termina con un circuito de puente, el caso clásico en que no se puede empezar reduciendo serie y paralelo. Todo se basa en cables ideales, baterías ideales sin resistencia interna y corriente continua estacionaria.

La ley de los nodos lleva la cuenta de la carga

Un nodo es un punto donde se unen tres o más cables. La primera ley de Kirchhoff, ley de los nodos o ley de corrientes, dice que la corriente total que entra en un nodo es igual a la que sale:

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

El capítulo de OpenStax sobre las leyes de Kirchhoff la fundamenta en la conservación de la carga: la corriente es un flujo de carga, esta no se acumula en un cable y todo lo que llega al nodo debe salir. Si entran 3 A por un cable y salen 2 A por otro, el tercero lleva 1 A hacia fuera.

Puedes aplicar la ley a cada nodo, pero en un circuito con $n$ nodos solo $n-1$ ecuaciones son independientes. La última repite información ya disponible.

La ley de las mallas lleva la cuenta del potencial

La segunda ley de Kirchhoff, ley de las mallas o ley de voltajes, dice que la suma de todos los cambios de potencial al recorrer cualquier lazo cerrado es cero:

$$\sum \Delta V=0$$

Terminas en el mismo punto donde empezaste, y un punto tiene un único potencial. OpenStax relaciona esta ley con la energía: lo que una fuente aporta a la carga que recorre la malla, los dispositivos de esa malla lo transfieren después.

La ley es sencilla. Los signos son donde más puntos se pierden, así que fíjalos de una vez:

Son las mismas cuatro reglas que da OpenStax. Observa dos cosas. El signo de un resistor depende de la flecha de corriente que dibujaste, no de la corriente verdadera, que aún desconoces. El signo de una batería depende solo de qué terminal encuentras primero, nunca de la corriente que la atraviesa.

Un circuito de dos mallas con una suposición equivocada

Imagina dos cables horizontales: el superior se une en el nodo A y el inferior en el nodo B. Tres ramas verticales los conectan:

Las flechas de $I_1$ y $I_3$ salen de los terminales positivos. Es una suposición natural y, para la batería de 3 V, incorrecta. No intentes evitarla: el método lo resuelve.

Nodo A. Entran dos corrientes y sale una:

$$I_1+I_3=I_2$$

Malla izquierda. Parte de B, sube por la rama izquierda, cruza la parte superior hasta A y baja por la rama central hasta B. Al atravesar la batería de 12 V del terminal − al +, el cambio es $+12$. Al atravesar el resistor de 2 Ω en el sentido de $I_1$, es $-2I_1$. Al bajar por la rama central en el sentido de $I_2$, es $-3I_2$:

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Malla derecha. Parte de B, sube por la rama derecha hasta A y baja por la central:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Tres incógnitas y tres ecuaciones independientes. Ahora resuelve.

Resuelve y después interpreta el signo

La ecuación de la malla derecha se simplifica a $I_2+I_3=1$, de modo que $I_3=1-I_2$. Introduce la ecuación del nodo en la malla izquierda, sustituyendo $I_1$ por $I_2-I_3$:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Sustituye $I_3=1-I_2$:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Entonces $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ y $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

El signo menos de $I_3$ es toda la lección. Su magnitud, 1 A, es correcta. La dirección es opuesta a la flecha: la corriente circula hacia abajo por la rama derecha y entra en la batería de 3 V por su terminal positivo. OpenStax señala exactamente esto: una corriente supuesta en el sentido equivocado da un resultado negativo y la respuesta sigue siendo correcta.

Dos hábitos evitan errores con el signo:

• No inviertas la flecha para empezar de nuevo. Las ecuaciones se construyeron con tus flechas y son coherentes con ellas.
• Conserva el signo negativo en todos los pasos posteriores. $I_1=I_2-I_3$ da 3 A solo si introduces $I_3$ como $-1$. Si omites el signo, obtienes 1 A y propagas el error.

Físicamente, la batería de 12 V impulsa corriente en sentido contrario a través de la de 3 V. Una celda recargable colocada allí se estaría cargando. Si resolver el sistema de ecuaciones te cuesta, nuestra guía sobre errores de física que en realidad son errores de matemáticas incluye una sección sobre dos incógnitas y ecuaciones simultáneas.

Compruébalo dos veces: voltaje del nodo y balance de potencia

Voltaje del nodo. Cada rama conecta A con B, así que todas deben dar la misma diferencia de potencial $V_A-V_B$. Rama central: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Izquierda: la batería eleva el potencial 12 V y el resistor lo reduce en $2\times3=6\ \mathrm{V}$, quedando 6 V. Derecha: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Tres ramas, una respuesta.

Balance de potencia. OpenStax recomienda comprobar una solución de Kirchhoff comparando la potencia suministrada por las fuentes con la que absorben los demás componentes. Aquí:

Potencia suministrada: 36 W. Potencia absorbida: 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. El balance solo cuadra si cuentas la batería de 3 V como receptora de potencia. Es la corriente negativa de antes, ahora expresada en términos de energía. Si hubieras interpretado $I_3$ como +1 A, habría una diferencia de 6 W.

Cuándo basta con reducir serie y paralelo

Nuestra guía de circuitos en serie y paralelo reduce una red paso a paso: busca dos resistores que compartan un único camino sin bifurcaciones o los mismos dos nodos, combínalos y repite. Cuando eso funciona, úsalo. Es una aplicación ya hecha de las leyes de Kirchhoff.

Deja de funcionar en dos situaciones. La primera es el circuito anterior: con una batería en dos ramas distintas, ningún par de ramas puede convertirse en un solo resistor. La segunda es un puente. Conecta una fuente de 12 V entre A y B. La rama izquierda va de A por un resistor de 1 Ω hasta C y luego por otro de 4 Ω hasta B. La derecha va de A por 4 Ω hasta D y después por 1 Ω hasta B. Un resistor de puente de 2 Ω une C y D.

Aquí no hay dos resistores que compartan ambos extremos ni uno solo en un camino sin bifurcaciones, así que la reducción no tiene por dónde empezar. OpenStax señala que ocurre en muchos circuitos. En cambio, escribe la ley de los nodos en C y D, tomando B como 0 V:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

La solución es $V_C=8\ \mathrm{V}$ y $V_D=4\ \mathrm{V}$. Por tanto, circulan 2 A por el puente de C a D, la fuente entrega 6 A y la red equivale a 2 Ω. Comprueba C: entran 4 A por el resistor de 1 Ω, salen 2 A por el de 4 Ω y 2 A por el puente.

La tentación es ignorar el puente y tratar las ramas como dos caminos de 5 Ω en paralelo. Eso da 2,5 Ω y 4,8 A, un 20 por ciento por debajo de los 6 A reales. El atajo solo es válido si el puente está equilibrado: las ramas dividen el voltaje en la misma proporción, C y D tienen el mismo potencial y no circula corriente entre ellos. Aquí la rama izquierda tiene 1 Ω arriba y la derecha 4 Ω arriba; las proporciones están invertidas y sí circula corriente por el puente.

Dos circuitos para practicar, con respuestas

1. Ambas baterías suministran corriente. Usa la disposición de dos mallas anterior, con batería de 12 V y resistor de 3 Ω en la rama izquierda, resistor de 2 Ω en la central y batería de 9 V con resistor de 3 Ω en la derecha; ambos terminales + están arriba. Halla las tres corrientes y comprueba la potencia. Respuestas: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$ e $I_3=1\ \mathrm{A}$, todas en el sentido de las flechas originales, y $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Potencia: se suministran $24+9=33\ \mathrm{W}$ y se disipan $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ en los resistores.

2. Un puente equilibrado. La misma estructura de puente con 12 V, rama izquierda de 1 Ω seguida de 2 Ω, rama derecha de 2 Ω seguida de 4 Ω y cualquier resistor en el puente. Halla la corriente del puente y la de la fuente. Respuestas: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, así que por el puente pasan 0 A; las ramas son de 3 y 6 Ω en paralelo, con equivalente de 2 Ω, y la fuente suministra 6 A. Aquí, y solo aquí, puedes omitir el puente.

Practica hasta que los signos salgan sin dudar

El método no cambia entre circuitos: dibuja primero las flechas, aplica la ley de los nodos, escribe las ecuaciones de malla con la tabla de signos, resuelve, interpreta los signos y comprueba la potencia. Lo que cambia es la facilidad con que lo haces sin vacilar ante un signo menos. Kirchhoff aparece en la unidad de electricidad de nuestro plan de estudio de física A-Level. Los mismos hábitos sirven para redes de condensadores: nuestra guía de condensadores en serie y paralelo usa de manera similar la conservación de la carga en un nodo.

En Physics Zen, el tema de Circuitos avanza de la ley de Ohm y las conexiones en serie y paralelo a la potencia eléctrica y una habilidad de leyes de Kirchhoff con circuitos de dos fuentes. Esa habilidad forma parte de Premium en iPhone y Android. Cada problema presenta valores nuevos, corrección inmediata y una solución paso a paso para practicar cómo interpretar una corriente negativa hasta que deje de parecer un error.