Ecuación de lentes delgadas: ejemplos de imágenes reales y virtuales

Coloca un objeto delante de una lente convergente y acércalo poco a poco al vidrio. En algunas posiciones puedes poner una pantalla al otro lado y ver una imagen nítida. Si lo acercas más que la distancia focal, la pantalla deja de recoger una imagen. Sin embargo, al mirar por la lente el objeto puede verse ampliado. La ecuación de lentes delgadas describe ambos casos, siempre que los signos indiquen en qué lado de la lente los rayos se encuentran realmente o parecen hacerlo.

El cálculo es breve. La mayoría de los errores surge antes: falta un dibujo, se asigna una distancia positiva a una imagen virtual o se interpreta el signo del aumento como si indicara tamaño. Usaremos una sola convención explícita de principio a fin y comprobaremos cada resultado con un esquema de rayos.

Dibuja la lente antes de elegir los signos

Dibuja un eje principal horizontal y una línea vertical para la lente. Coloca el objeto a la izquierda. En los casos siguientes, la luz viaja de izquierda a derecha. Marca un foco a una distancia $|f|$ de la lente a cada lado. Este esquema sencillo te permite situar la imagen después de resolver.

En una lente convergente, un rayo que sale de la parte superior del objeto paralelo al eje emerge dirigido hacia el foco del lado opuesto. Un rayo que atraviesa el centro de la lente sigue aproximadamente recto en el modelo de lente delgada. Donde se cruzan esos rayos salientes hay una imagen real. Si los rayos salientes se separan, prolóngalos hacia atrás con líneas discontinuas. Sus prolongaciones se cortan en la imagen virtual: ningún rayo saliente real converge allí. Una lente divergente hace que un rayo incidente paralelo se separe como si hubiera salido del foco cercano.

Estos rayos están idealizados. Una lente tiene grosor y la formación real de imágenes puede apartarse de la aproximación delgada y paraxial. Las ecuaciones y esquemas de aquí suponen rayos próximos al eje principal y ángulos pequeños. La sección de OpenStax sobre lentes delgadas presenta la ecuación, la construcción de rayos y la convención empleada aquí.

La ecuación y una convención de signos

Sea $d_o$ la distancia del objeto a la lente, $d_i$ la distancia de la imagen y $f$ la distancia focal. Entonces

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

Las tres distancias deben usar la misma unidad. Los centímetros sirven si todas están en centímetros; los metros, si todas están en metros. El resultado conserva esa unidad. Para hallar la distancia de imagen, despeja antes de introducir números:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Usamos la convención de que lo real es positivo para un objeto real ordinario del lado por donde llega la luz:

Algunos cursos emplean coordenadas cartesianas con signos distintos para las posiciones. No mezcles convenciones a mitad de un cálculo. Si tu curso escribe otra ecuación, aplica de forma coherente sus definiciones. Las preguntas físicas siguen siendo las mismas: ¿hacia dónde viajan los rayos?, ¿dónde se encuentran? y ¿qué orientación tiene la imagen?

Ejemplo resuelto: imagen real con lente convergente

Coloca un objeto a $30\ \mathrm{cm}$ delante de una lente convergente de $f=+10\ \mathrm{cm}$. El objeto está más lejos que una distancia focal, así que es plausible una imagen real al otro lado. Sustituye $d_o=+30\ \mathrm{cm}$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Por tanto, $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. El signo positivo sitúa la imagen al otro lado de la lente. Compruébalo sustituyendo: $1/10=1/30+1/15$. En tu dibujo, el rayo paralelo se refracta pasando por el foco lejano y el rayo central se cruza con él allí. La imagen es real, así que una pantalla ideal situada en ese plano puede interceptar los rayos convergentes.

La imagen es menor e invertida. Para calcularlo en vez de suponerlo, usa el aumento.

Aumento: separa orientación y tamaño

Con esta misma convención, el aumento transversal con signo es

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

donde $h_o$ y $h_i$ son las alturas del objeto y la imagen medidas desde el eje principal. Un $m$ negativo indica imagen invertida y un $m$ positivo, imagen derecha. El valor absoluto $|m|$ es el factor de escala de la altura de la imagen. No es una longitud y no tiene unidades.

Para la primera lente, $m=-15/30=-0.50$. Un objeto de $4.0\ \mathrm{cm}$ de altura tendría $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. El signo indica que su parte superior aparece bajo el eje y la magnitud de su altura es $2.0\ \mathrm{cm}$. No describas una altura con signo negativo como si el tamaño físico fuera negativo.

Ejemplo resuelto: imagen virtual ampliada

Conserva una lente convergente con $f=+12\ \mathrm{cm}$, pero coloca el objeto a solo $8.0\ \mathrm{cm}$. Como $d_o<f$, los rayos salientes divergen. Sus prolongaciones hacia atrás se cruzan del lado del objeto. Predice $d_i<0$ antes de calcular:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

La imagen virtual está a $24\ \mathrm{cm}$ de la lente del lado del objeto. Su aumento es

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

Así, en este modelo ideal, la imagen es derecha y mide tres veces la altura del objeto. Ninguna pantalla colocada en la posición de la imagen virtual puede recoger allí un haz de rayos que forme esa imagen; su posición se obtiene prolongando hacia atrás los rayos salientes. Esa es la diferencia entre ver una imagen virtual y proyectar una real sobre una pantalla.

Ejemplo resuelto: una lente divergente

Ahora usa una lente divergente con $f=-15\ \mathrm{cm}$ y sitúa un objeto real a $30\ \mathrm{cm}$ delante. La distancia focal negativa es esencial: usar $+15\ \mathrm{cm}$ describiría otra lente.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Así, $d_i=-10\ \mathrm{cm}$ y la imagen virtual se encuentra del lado del objeto. El aumento es $m=-(-10)/30=+1/3$: derecha y de un tercio de la altura del objeto. En el dibujo, los rayos salen de la lente separándose. Sus prolongaciones hacia atrás se cruzan entre la lente y el foco cercano. Comprueba la ecuación conservando los signos: $-1/15=1/30-1/10$.

Con un objeto real y una lente divergente sencilla en este modelo, puedes esperar una imagen virtual, derecha y reducida. El cálculo muestra ese patrón para un conjunto de distancias; es el $f$ negativo lo que lo determina.

¿Qué ocurre en el plano focal?

En la ecuación despejada $d_i=fd_o/(d_o-f)$, el denominador se acerca a cero cuando un objeto real se aproxima a la distancia focal de una lente convergente. Desde un poco más lejos que $f$, $d_i$ crece hacia valores positivos grandes. Desde un poco más cerca, crece en magnitud con signo negativo. Exactamente en $d_o=f$, $1/d_i=0$: los rayos salientes son paralelos en el modelo ideal y no hay una distancia de imagen finita.

No introduzcas $d_o=f$ en la fracción para interpretar el error de división de la calculadora como un resultado físico. Dibuja los rayos paralelos y di que, en el modelo ideal, la imagen está en el infinito.

Tres problemas para resolver y comprobar

1. Imagen real y altura. Una lente convergente tiene $f=+20\ \mathrm{cm}$. Un objeto real de $3.0\ \mathrm{cm}$ de alto está a $60\ \mathrm{cm}$. Halla la distancia y la altura de la imagen. Cálculo: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, así que $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Después $m=-30/60=-0.50$ y $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. La imagen real está invertida y mide la mitad.

2. Dentro de la distancia focal. Una lente convergente tiene $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ y un objeto real en $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Halla la imagen y el aumento. Cálculo: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, así que $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Después $m=-(-18)/6.0=+3.0$. La imagen es virtual, derecha y ampliada.

3. Lente divergente. Un objeto real está a $24\ \mathrm{cm}$ de una lente con $f=-12\ \mathrm{cm}$. Halla la distancia y el tipo de imagen. Cálculo: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, así que $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Como está del lado del objeto, es virtual. También $m=-(-8)/24=+1/3$, por lo que es derecha y reducida.

El comportamiento de las lentes comienza con el cambio de dirección de la luz. Nuestra guía de la ley de Snell explica la refracción en una sola frontera. Para practicar cálculos con lentes y tipos de imágenes, visita el tema de Óptica de Physics Zen. Las guías de física A-Level, física del Abitur y física del Bac sitúan la óptica en un plan de repaso más amplio.