Principio de Arquímedes: el empuje explicado con ejemplos

Empuja una botella vacía y cerrada bajo la superficie de una piscina. La mano nota que la botella empuja hacia arriba. Si la sueltas, sube hasta que solo una parte queda bajo el agua. Ahora deja caer una llave de metal en la misma piscina. Se hunde, pero el agua también la empuja hacia arriba. La diferencia está en si ese empuje puede equilibrar el peso del objeto.

El principio de Arquímedes da la magnitud del empuje: la fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Se aplica tanto a objetos que flotan como a los que se hunden o se mantienen sumergidos. Lo que cambia en las cuentas es qué parte del objeto está dentro del fluido. Muchos errores aparecen por usar todo el volumen del objeto cuando solo una parte desplaza líquido.

En los ejemplos usaremos agua de densidad $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ y aceleración gravitatoria $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Son valores redondeados para el modelo. Suponemos que la densidad del agua es uniforme, que los objetos no la absorben ni cambian de volumen y que están en reposo salvo cuando se hable explícitamente de soltarlos.

Por qué la fuerza apunta hacia arriba

El agua presiona todas las caras de un objeto sumergido. La presión aumenta con la profundidad, de modo que el agua empuja con más fuerza la cara inferior que la superior. En una situación sencilla y simétrica, los empujes horizontales se equilibran y queda una fuerza neta hacia arriba. La sección de OpenStax sobre el empuje desarrolla esta explicación por presiones y presenta el principio de Arquímedes para objetos parcial o totalmente sumergidos.

Hay otra forma de imaginarlo. Retira mentalmente el objeto y vuelve a colocar en su sitio el agua desplazada. La presión del agua circundante sostendría esa porción de agua. Sustitúyela otra vez por el objeto: el agua circundante sigue proporcionando el mismo sostén hacia arriba para ese volumen ocupado. Por tanto, la fuerza hacia arriba equivale al peso del agua desplazada. El peso propio del objeto determina si el sostén basta para mantenerlo a flote, no si existe o no el empuje.

En un fluido de densidad uniforme, el fluido desplazado tiene una masa de $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Multiplícala por $g$ para obtener su peso:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Las unidades permiten comprobar la fórmula: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. El empuje es una fuerza medida en newtons, no una masa en kilogramos. La demostración de Arquímedes de UC Santa Barbara muestra la fórmula y compara la disminución de la lectura de una balanza con el agua recogida al sumergir una esfera.

¿Qué volumen corresponde a la fórmula?

Usa el volumen del fluido desplazado. Coincide exactamente con el volumen de la parte del objeto situada dentro del fluido, siempre que el fluido no pueda atravesarlo.

• Para un objeto sólido completamente bajo el agua, el volumen desplazado es todo su volumen exterior.
• Para un objeto que flota con una parte fuera del agua, el volumen desplazado es solo el de su parte sumergida.
• Para un objeto que se introduce poco a poco en el agua, el volumen desplazado aumenta a medida que entra, hasta quedar totalmente sumergido.

La fórmula no necesita la masa ni la densidad del objeto para calcular directamente el empuje. Esas magnitudes importan al compararlo con el peso o al hallar la posición en que flota. Dibuja la línea del agua y utiliza únicamente el volumen que queda debajo.

Ejemplo resuelto: un objeto que se hundiría sostenido bajo el agua

Toma un objeto compacto de masa $1.0\ \mathrm{kg}$ y volumen exterior $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Sumérgelo por completo en agua sujeto a un gancho fino de una balanza. Mantenlo suspendido sin que toque el fondo. Al llamar $mg$ a su peso en el aire, desprecia el pequeño empuje del aire.

Su peso es:

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

Como está totalmente sumergido, desplaza $0.0005\ \mathrm{m^3}$ de agua. La fuerza de empuje es:

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

La gravedad sigue tirando hacia abajo con $9.81\ \mathrm{N}$. El agua empuja hacia arriba con $4.905\ \mathrm{N}$. La balanza aporta la fuerza ascendente restante, así que marca:

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Esa lectura es el peso aparente del objeto mientras está suspendido bajo el agua. La lección de la NASA sobre flotación utiliza la misma resta de fuerzas con otras unidades. El objeto no perdió masa: el agua sostiene una parte de su peso. Si lo desenganchas, su peso supera al empuje y acelera hacia abajo. Si llega al fondo, este añade una fuerza de contacto y la ecuación de la balanza suspendida ya no describe todo el equilibrio de fuerzas.

Dibuja las fuerzas antes de decidir si flota

El método del diagrama de cuerpo libre es especialmente útil aquí. Dibuja solo las fuerzas que actúan sobre el objeto. Para el objeto suspendido, dibuja el peso $W$ hacia abajo, el empuje $F_{\mathrm{b}}$ hacia arriba y la tensión de la balanza $T$ hacia arriba. En reposo, $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Si la balanza lo libera, borra $T$ y aplica la segunda ley de Newton a la fuerza neta restante.

Para un objeto que flota libremente en reposo, no hay balanza que lo sostenga ni contacto con el fondo. Solo se equilibran el peso y el empuje:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Esta igualdad es consecuencia del equilibrio. No significa que el agua «sepa» de antemano cuánto pesa el objeto. Este se mueve hasta sumergirse lo suficiente para desplazar un peso de agua igual al suyo. Una carga adicional lo hunde un poco más; quitar carga le permite subir. Nuestra guía de las leyes de Newton explica por qué una fuerza neta cero describe el reposo o un movimiento constante, mientras que una fuerza desequilibrada cambia el movimiento.

Ejemplo resuelto: ¿qué parte de un bloque queda sumergida?

Considera un bloque cerrado de volumen total $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ y densidad media $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Su masa es $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$, así que su peso es:

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Déjalo flotar libremente. En reposo, el agua desplazada debe pesar $5.886\ \mathrm{N}$. Despeja su volumen:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Por tanto, $0.6/1.0=0.60$, es decir, el 60 por ciento del volumen del bloque queda sumergido. El 40 por ciento restante sobresale del agua en este modelo ideal. Se obtiene también directamente con la relación de densidades:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Este atajo supone un objeto que flota libremente en equilibrio, un fluido uniforme y una densidad media del objeto calculada con su volumen exterior. No permite hallar la fracción sumergida de un objeto que se hunde y está sujeto por una cuerda o apoyado en el fondo. En esta situación sencilla, la relación tampoco puede superar uno si el objeto flota libremente en equilibrio: cuando su densidad media supera la del fluido, no puede desplazar suficiente fluido para sostenerse a flote.

Ahora empuja el mismo bloque hasta sumergirlo por completo y mantenlo allí. Desplaza todo su volumen de $1.0\ \mathrm{L}$, por lo que el empuje pasa a $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. Su peso sigue siendo $5.886\ \mathrm{N}$. Antes de aplicar la fuerza que lo sujeta, la fuerza neta sería $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ hacia arriba. Por eso debes empujar hacia abajo para mantenerlo sumergido. No uses $9.81\ \mathrm{N}$ como empuje cuando flota libremente: en ese caso vale $5.886\ \mathrm{N}$ porque solo hay $0.6\ \mathrm{L}$ bajo el agua.

El tema de fluidos de Physics Zen dedica una parte del curso al volumen desplazado y al equilibrio de fuerzas. Calcula primero el volumen en metros cúbicos y luego compara las fuerzas en newtons.

Prueba dos problemas breves

Problema 1. Un objeto rígido totalmente sumergido desplaza $0.002\ \mathrm{m^3}$ de agua. Con los valores del modelo anterior, halla el empuje. La respuesta es $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ hacia arriba. Para este paso no necesitas su masa. Sí la necesitarías para decidir si sube al soltarlo.

Problema 2. Un objeto cerrado que flota libremente tiene densidad media $750\ \mathrm{kg/m^3}$ en el agua del modelo. ¿Qué fracción de su volumen queda sumergida? La respuesta es $750/1000=0.75$, o 75 por ciento. Si su volumen exterior fuera $2.0\ \mathrm{L}$, el volumen sumergido sería $1.5\ \mathrm{L}$. Compruébalo con la masa: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, igual a la masa de $1.5\ \mathrm{L}$ del agua modelada.

Errores frecuentes que conviene detectar

Usar todo el volumen de un objeto que flota parcialmente. Solo la parte sumergida desplaza líquido. Despeja esa parte a partir del equilibrio en vez de suponer que es todo el bloque.

Creer que hundirse significa que no hay empuje. La fuerza ascendente sobre el objeto que se hunde puede ser considerable; simplemente no iguala su peso cuando se libera.

Tratar el peso aparente como si hubiera cambiado la gravedad. El peso del objeto sigue siendo $mg$. La balanza marca menos porque el agua aporta otra fuerza hacia arriba.

Mezclar litros y metros cúbicos. Un litro equivale a $0.001\ \mathrm{m^3}$. Convierte antes de multiplicar por una densidad expresada por metro cúbico.

Usar la relación de densidades fuera de las condiciones de flotación. Si el objeto está sujeto bajo el agua, apoyado en el fondo o dentro de un fluido cuya densidad cambia, necesitas su equilibrio real de fuerzas. Dibuja el diagrama y vuelve al volumen desplazado.

Preguntas frecuentes

¿Aumenta el empuje con la profundidad?

En este modelo de densidad constante, desplazar a más profundidad un objeto rígido ya completamente sumergido no cambia el volumen desplazado, así que $\rho gV$ permanece igual. Mientras el objeto va entrando en el agua, el empuje aumenta porque crece su volumen sumergido. Otras condiciones, como un objeto compresible o un fluido cuya densidad varía con la profundidad, requieren otro análisis.

¿Por qué flota un barco pesado y se hunde una llave pequeña de metal?

El peso por sí solo no decide el resultado. El casco de un barco encierra espacio y tiene una densidad media lo suficientemente baja, contando ese volumen, para desplazar un peso de agua igual al suyo antes de que la línea de flotación alcance la parte superior. La densidad media de una llave compacta supera a la del agua, así que sumergirla por completo no proporciona suficiente empuje para equilibrar su peso.

¿El agua desplazada es la misma que se derrama?

El volumen desplazado es el volumen del que el objeto excluye el agua. En un recipiente de rebose puede derramarse una cantidad igual. En una piscina, en cambio, sube el nivel del agua. El empuje depende del peso del fluido desplazado, no de si recoges el agua derramada.