Demi-vie : formule et exercices corrigés de décroissance radioactive

Un échantillon affiche une activité de 1200 becquerels à midi. L'isotope a une demi-vie de 6,0 heures. Que lira le détecteur à 6 h le lendemain matin ? La réponse n'est pas 1200 moins trois pas égaux. Chaque demi-vie retire la moitié de ce qui reste, si bien que les mesures valent successivement 1200, 600, 300, 150. Ce schéma multiplicatif est tout le contenu de la formule de la demi-vie.

Ce guide fait travailler la formule du cas simple avec un nombre entier de demi-vies jusqu'aux situations qui piègent souvent aux examens : un nombre fractionnaire de demi-vies, la demi-vie déduite de deux mesures, le passage à la constante radioactive, l'activité calculée à partir d'un nombre de noyaux et la datation d'un échantillon par le carbone 14 restant. Le thème Physique nucléaire liste les compétences de désintégration que ces exemples entraînent.

Deux écritures de la même loi de décroissance

La désintégration radioactive est aléatoire pour un noyau isolé, mais très régulière pour un grand nombre de noyaux. Si $N_0$ noyaux non désintégrés sont présents au départ et que la demi-vie vaut $T_{1/2}$, le nombre restant après une durée $t$ est

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

L'exposant $t/T_{1/2}$ est simplement le nombre de demi-vies écoulées. Il n'a pas besoin d'être entier.

Les manuels écrivent aussi la loi avec la constante radioactive $\lambda$. OpenStax University Physics, volume 3, §10.3 donne

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

Les deux écritures concordent, car $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Utilisez la forme en demi-vies quand l'énoncé raisonne en demi-vies, et la forme exponentielle quand il donne ou demande $\lambda$. La même relation vaut pour la masse de l'isotope père et pour son activité, puisque chacune est proportionnelle à $N$.

Avant tout calcul, exprimez $t$ et $T_{1/2}$ dans la même unité. Des heures divisées par des jours donnent un nombre qui paraît raisonnable et qui est faux.

Exemple 1 : un nombre entier de demi-vies

Reprenons l'échantillon du début : $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ et $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. De midi à 6 h du matin, il s'écoule 18 h, soit $18/6.0=3$ demi-vies.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Un petit tableau rend le schéma visible et repère les erreurs de calcul :

La mauvaise réponse tentante retire 600 Bq toutes les 6 h et arrive à zéro au bout de 12 h. La désintégration est proportionnelle à ce qui reste, donc les pas rétrécissent.

Exemple 2 : un nombre fractionnaire de demi-vies

Un isotope hypothétique a une demi-vie de 8,0 jours, et une source en contient initialement 40 mg. Quelle masse de cet isotope reste-t-il après 20 jours ?

Le nombre de demi-vies vaut $20/8.0=2.5$. La formule le traite directement :

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Vérifiez l'ordre de grandeur : après 2 demi-vies, il resterait 10 mg, après 3 demi-vies 5 mg. Un résultat entre 5 et 10 mg est correct, et il est plus proche de 5 que de 10, car la courbe descend le plus vite au début de chaque intervalle. Le milieu entre 10 et 5, soit 7,5 mg, serait une estimation linéaire, pas la loi de décroissance.

Les 7,1 mg correspondent à l'isotope père restant. L'échantillon ne perd pas 33 mg de masse totale : la plupart des atomes désintégrés sont toujours là, sous forme de noyaux fils.

Exemple 3 : trouver la demi-vie à partir de deux mesures

Un détecteur indique 800 Bq pour une source pure, puis 500 Bq 3,0 h plus tard, bruit de fond déjà soustrait. Quelle est la demi-vie ?

Résolvez la forme en demi-vies pour obtenir le nombre de demi-vies :

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Alors

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Contrôle de vraisemblance : l'activité a baissé de moins de moitié en 3,0 h, donc la demi-vie doit être supérieure à 3,0 h. Si vous obtenez une demi-vie négative, ou plus courte que la durée écoulée alors que la mesure n'a pas encore été divisée par deux, le rapport a été inversé.

Quand la baisse est une puissance de deux exacte, inutile de passer par le logarithme. Une chute de 960 Bq à 240 Bq en 10 h correspond à un facteur 4, soit 2 demi-vies, donc $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Exemple 4 : constante radioactive et activité à partir d'un nombre de noyaux

Une source contient $N=2.0\times10^{15}$ noyaux d'un isotope de demi-vie $T_{1/2}=8.0$ jours. Quelle est son activité en becquerels ?

L'activité se compte en désintégrations par seconde, donc convertissez d'abord la demi-vie en secondes : $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Ensuite

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Si vous aviez gardé la demi-vie en jours, le résultat serait sorti en désintégrations par jour, environ 86 400 fois plus grand que la valeur en becquerels. L'unité de $\lambda$ fixe l'unité de $A$.

Exemple 5 : datation au carbone 14 avec un résultat non arrondi

OpenStax donne au carbone 14 une demi-vie de 5730 ans. Un objet en bois présente, par gramme, 30 % de l'activité en carbone 14 d'un bois vivant comparable. En supposant ce rapport de départ, quel est son âge en années ?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

L'objet a environ 10 000 ans. Vérifiez l'encadrement : 25 % restants correspondraient exactement à 2 demi-vies, soit 11 460 ans. Trente pour cent, c'est un peu plus que 25 %, donc l'âge doit être un peu inférieur, et c'est bien le cas.

La réponse repose sur l'hypothèse que le rapport initial correspondait à celui de la matière vivante. Les vrais laboratoires de radiocarbone calibrent pour tenir compte des variations du carbone 14 atmosphérique : prenez ce calcul comme un exercice de physique, pas comme une datation de laboratoire.

Les erreurs qui coûtent des points

• Retirer des quantités égales. Chaque demi-vie divise par deux la quantité actuelle. Des pas linéaires atteignent zéro, la loi de décroissance jamais.
• Unités de temps mélangées. $t$ et $T_{1/2}$ doivent être dans la même unité, et $\lambda$ doit être en $\mathrm{s^{-1}}$ si vous voulez une activité en becquerels.
• Confondre log et ln. $\ln 2\approx0.693$, alors que $\log_{10}2\approx0.301$. Si vous prenez le $\log_{10}$ du rapport, divisez par $\log_{10}2$, pas par 0,693. Notre article sur les erreurs de physique qui sont en fait des erreurs de maths en présente d'autres.
• Confondre isotope père et échantillon. La formule suit les noyaux pères non désintégrés, pas la masse totale de l'échantillon.
• Oublier le bruit de fond. Les taux de comptage mesurés en laboratoire incluent le rayonnement ambiant. Soustrayez-le avant de calculer des rapports.

Trois exercices corrigés

Exercice 1. Un isotope de demi-vie $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ démarre à 6400 Bq. Quelle est l'activité après 60 h ? Quatre demi-vies : $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Exercice 2. Quelle fraction d'un échantillon reste-t-il après 1,5 demi-vie ? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, soit environ 35 %, et non 25 %.

Exercice 3. Un taux de comptage passe de 1000 à 125 coups par minute en 36 min, bruit de fond déjà retiré. Quelle est la demi-vie ? Le rapport 8 correspond à 3 demi-vies, donc $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Les questions de demi-vie figurent dans presque tous les programmes de physique du secondaire ; notre guide de l'A-level Physics montre la place de la désintégration radioactive parmi les autres compétences de physique moderne. Quel que soit le programme, la routine reste la même : harmoniser les unités, compter les demi-vies comme $t/T_{1/2}$, laisser l'exposant fractionnaire quand il doit l'être et vérifier que le résultat tombe entre les valeurs des demi-vies entières qui l'encadrent.