Intensité sonore et distance : exemples de loi en carré inverse

Éloignez-vous deux fois plus d'une petite source sonore en espace ouvert. L'intensité est-elle divisée par deux ? Dans le modèle physique le plus simple, elle tombe à un quart. La puissance n'a pas disparu. Elle se répartit sur une surface sphérique quatre fois plus grande. À une distance quatre fois plus grande, la surface est seize fois plus étendue et chaque mètre carré reçoit un seizième de l'intensité initiale.

C'est la loi en carré inverse de l'intensité sonore. Elle concerne un flux d'énergie par unité de surface, sans garantir qu'une personne percevra le son comme quatre fois moins fort. Ce guide déduit la relation, résout des exemples chiffrés, convertit un rapport d'intensités en différence de décibels, et montre où une salle ou une grande source invalide l'image simple. Notre guide de l'effet Doppler traite une autre variation : la fréquence quand la source et l'auditeur se déplacent l'un par rapport à l'autre.

Commencer par la grandeur mesurée

Une onde sonore transporte de l'énergie. La puissance $P$ est l'énergie transmise par seconde, en watts. L'intensité $I$ est la puissance traversant une unité de surface perpendiculaire au transport d'énergie, en watts par mètre carré :

$$I=\frac{P}{A}.$$

Cette définition ne se limite pas à l'audition. OpenStax University Physics, volume 1, §17.3 l'applique au son puis introduit le modèle sphérique idéal. Vérifiez les unités avant les nombres : watts divisés par mètres carrés donnent $\mathrm{W/m^2}$. Un résultat seulement en watts est une puissance, pas une intensité.

Un haut-parleur peut fournir la même puissance acoustique alors que l'intensité mesurée plus loin diminue. La surface que traverse cette puissance grandit avec la distance. Demander « l'intensité du haut-parleur » sans préciser distance ou surface de mesure est donc incomplet. Deux mesures faites à des distances différentes ne doivent pas être comparées comme si la source elle-même avait changé.

Voir le carré dans la surface d'une sphère

Imaginons une petite source qui rayonne également dans toutes les directions, sans obstacle, réflexion ni perte notable de puissance dans le milieu sur les distances étudiées. À un rayon $r$, la même puissance sortante traverse la surface d'une sphère :

$$A=4\pi r^2.$$

Reportons cette surface dans la définition de l'intensité :

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

Le rayon est au carré parce que l'aire de la surface sphérique croît avec le carré du rayon. Ce n'est pas une loi en cube sous prétexte que le son voyage dans un espace à trois dimensions. On divise par une surface, pas par le volume qu'elle enferme. Si le rayon double, $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. La même puissance se répartit sur quatre fois plus d'aire : chaque mètre carré n'en reçoit qu'un quart.

La formule n'est utile que si ses hypothèses conviennent. Un haut-parleur directionnel ne rayonne pas partout également. Un mur renvoie une partie de l'énergie. Une source grande par rapport à la distance ne ressemble plus à un point. Gardez ce calcul sphérique comme modèle idéal, et non comme prévision universelle pour un microphone.

Utiliser le rapport avant la calculatrice

Si la puissance de la source reste la même, divisons les deux formules sphériques. $P$ et $4\pi$ s'annulent :

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Supposons une intensité mesurée de $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$ à $2.0\ \mathrm m$ dans le modèle idéal. À $4.0\ \mathrm m$, le rapport vaut $(2.0/4.0)^2=1/4$, d'où une intensité attendue de $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. À $6.0\ \mathrm m$, le rapport devient $(2.0/6.0)^2=1/9$, soit environ $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

Le changement de distance est un rapport de distances depuis la source. Ne mettez pas au carré les mètres supplémentaires. Passer de 2 à 4 m double la distance; passer de 4 à 6 m la multiplie par 1,5. Ces deux déplacements ne peuvent donc pas produire le même rapport d'intensités. « Deux fois plus loin, intensité divisée par deux » est la réponse linéaire tentante, mais elle oublie l'aire grandissante.

Aller de la puissance à l'intensité par l'aire

Partons maintenant sans intensité connue. Une source ponctuelle hypothétique rayonne une puissance acoustique $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ dans toutes les directions à parts égales. À $r=1.0\ \mathrm m$, l'aire sphérique vaut $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Donc

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

À 2,0 m, l'aire est $16\pi\ \mathrm{m^2}$ et l'intensité $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. À 4,0 m, l'aire est $64\pi\ \mathrm{m^2}$ et l'intensité $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. La puissance au numérateur ne change jamais. Dans ce modèle, la baisse locale de l'intensité est un étalement géométrique, pas une baisse de puissance de la source.

Les nombres de cet exemple sont inventés pour le calcul. Ils ne décrivent aucun haut-parleur réel, aucune salle de mesure, ni une durée d'exposition sûre. Vérifiez seulement la géométrie : doubler le rayon de 2 à 4 m divise encore l'intensité par quatre. Si votre tableau ne double que l'aire, le carré a disparu.

Convertir correctement un rapport en décibels

Le niveau d'intensité sonore utilise une échelle logarithmique. Pour une intensité $I$ et une intensité de référence $I_0$, OpenStax écrit

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Avec la référence habituelle $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$, la valeur à 1 m est $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. À 2 m, elle vaut $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$. À 4 m, elle est proche de $68\ \mathrm{dB}$. Chaque doublement de distance correspond à une baisse d'environ 6 dB dans ce cas idéal.

La différence se calcule même sans les niveaux absolus :

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Ne soustrayez pas un quart de 80 dB et ne concluez pas à 20 dB parce que l'intensité a été divisée par quatre. Les décibels sont des logarithmes de rapports : multiplier l'intensité revient à additionner ou soustraire des niveaux. En outre, le niveau d'intensité est une grandeur physique; la sensation de force sonore dépend de la fréquence, de l'audition et du contexte. Cet exemple ne dit pas que la personne entend le son comme quatre fois moins fort. OpenStax distingue intensité, niveau d'intensité et sonie.

Savoir quand le modèle simple cesse de convenir

Le carré inverse suppose une source presque ponctuelle et un champ libre. Dans une salle, le son réfléchi revient des murs, du plafond et du sol. Le niveau total à l'oreille ne baisse donc pas nécessairement de 6 dB chaque fois que la distance double. L'explication d'Auditory Neuroscience signale précisément cette limite due aux réflexions. À l'extérieur aussi, obstacles, sol, direction de la source et absorption peuvent modifier le résultat. La géométrie reste correcte, mais l'installation réelle ne satisfait plus les hypothèses simples.

Près d'un grand haut-parleur ou d'une autre source étendue, l'image d'un petit point qui rayonne partout est également peu adaptée. Ne posez pas la formule sphérique à une distance comparable à la taille de la source sans vérifier le modèle. Dans un exercice, « source ponctuelle isotrope », « onde sphérique » et « absorption négligeable » vous autorisent à l'utiliser. Sinon, nommez l'hypothèse que vous faites.

Un sonomètre ou une application de téléphone peut afficher un chiffre en dB. Ce chiffre seul ne donne ni la puissance acoustique de la source ni une preuve de la loi en carré inverse. Il faudrait connaître le montage et son étalonnage. Ici, nous prédisons une intensité idéale à partir d'une puissance et d'une distance données; ce n'est pas une méthode pour juger la sécurité auditive à partir du téléphone.

Deux problèmes courts pour tester le modèle

Problème 1. Une source ponctuelle dans un champ libre idéal produit $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$ à 3 m. Quelle est l'intensité à 9 m ? La distance triple, l'intensité devient un neuvième : $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. La différence de niveau vaut $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Vous n'avez pas besoin de l'intensité de référence pour cette différence.

Problème 2. Deux auditeurs se trouvent à 1 m et 2 m d'une source dans une petite pièce réfléchissante. Peut-on leur promettre 6 dB d'écart ? Non. Pour la composante sphérique directe, le modèle idéal donne environ 6 dB, mais les réflexions changent potentiellement le son total aux deux endroits. Précisez la grandeur décrite par votre réponse. Cette limite fait partie de la résolution.

Pour d'autres calculs sonores, les ondes stationnaires déterminent les fréquences possibles dans une corde ou un tube, et l'effet Doppler décrit un changement apparent de fréquence. L'intensité pose une autre question : quelle puissance traverse ici chaque mètre carré ? Une fois la grandeur et les hypothèses nommées, le carré et le logarithme ont chacun leur rôle précis.