Effet Doppler : formule, signes et exemples sonores résolus

Un avertisseur émet à une fréquence fixe. Quand son véhicule approche, vous percevez un son plus aigu ; après son passage, plus grave. L'avertisseur n'a pas changé de note. Le mouvement change le nombre de fronts d'onde qui vous atteignent chaque seconde. La formule de l'effet Doppler chiffre ce changement, mais il est facile d'inverser ses deux signes si l'on n'a appris qu'un motif « plus sur moins ».

Nous prendrons un son se propageant dans un air immobile, avec source et auditeur se déplaçant directement sur la droite qui les relie. Un tableau rend le choix des signes explicite. Nous calculerons ensuite la même tonalité deux fois, en déplaçant d'abord la source, puis l'auditeur à la même vitesse. Un dernier cas fait bouger les deux. Cette comparaison par paires est utile parce que le son se propage dans un milieu : les deux premiers mouvements se ressemblent, mais ne donnent pas tout à fait le même calcul.

Nommer d'abord source, auditeur et milieu

Notons $f_s$ la fréquence émise et $f_o$ la fréquence entendue. $v$ est la vitesse du son par rapport à l'air, $v_s$ la vitesse de la source par rapport à l'air et $v_o$ celle de l'auditeur par rapport à l'air. Ces trois vitesses doivent partager la même unité, généralement le mètre par seconde. Dans nos exemples, $v=340\ \mathrm{m/s}$ est une donnée de l'exercice, pas une vitesse universelle dans toutes les conditions atmosphériques.

La distinction entre source et auditeur est physique. Une source mobile émet la crête suivante depuis une nouvelle position. Devant elle, les crêtes se rapprochent et la longueur d'onde dans l'air raccourcit. Un auditeur mobile ne change pas cette longueur d'onde : il croise les crêtes déjà présentes plus ou moins souvent. OpenStax dérive les deux cas à partir de ces observations.

Avant de remplacer les nombres, dessinez une flèche de la source vers l'auditeur. Indiquez comment chaque objet se déplace le long de cette droite. Pour une voiture qui traverse votre champ de vision, sa vitesse totale ne se place pas simplement dans cette formule à une dimension. Sur une trajectoire oblique, ce sont les composantes selon la ligne de visée, à l'instant considéré, qui comptent. Dans un exercice introductif, suivez la géométrie et la convention indiquées par le cours.

Formule du son et tableau des signes

Pour un mouvement sur une droite dans l'air immobile :

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

Les symboles jumelés abrègent plusieurs cas. Ils ne disent pas de prendre automatiquement les deux signes du haut ensemble. Choisissez le numérateur selon le mouvement de l'auditeur, et le dénominateur selon celui de la source, indépendamment :

La vitesse d'un objet immobile vaut zéro. Si les deux se rapprochent, les deux choix augmentent le résultat : $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. S'ils s'éloignent, les deux le diminuent : $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. Un objet peut changer de direction relative en passant devant l'auditeur ; le signe de l'approche ne s'applique plus après ce passage.

Un contrôle à la limite repère les erreurs les plus graves : posez $v_s=v_o=0$. Il faut retrouver $f_o=f_s$. Une approche doit donner une fréquence supérieure à celle émise, un éloignement une fréquence inférieure. Si ce n'est pas le cas, revoyez le schéma avant l'arithmétique. Quand le mouvement est lent, le décalage reste modéré ; un facteur dix suggère souvent des unités mélangées ou un mauvais signe au dénominateur.

Exemple 1 : la source approche un auditeur immobile

Un avertisseur émet $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Son véhicule approche un auditeur immobile à $v_s=34\ \mathrm{m/s}$. Prenons $v=340\ \mathrm{m/s}$. L'auditeur ne bouge pas, donc $v_o=0$. La source approche : on retranche sa vitesse au dénominateur.

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755{,}6\ \mathrm{Hz}.$$

Le son est environ $75{,}6\ \mathrm{Hz}$ au-dessus de la fréquence émise. Vérification : $340/306=1{,}111\ldots$ dépasse un, comme l'exige une source en approche. Les unités de vitesse se simplifient et il reste le hertz. C'est une fréquence instantanée idéale dans cette situation simplifiée à vitesse constante, pas un calcul du volume sonore.

Supposons maintenant que le véhicule ait dépassé l'auditeur et s'éloigne à la même vitesse. Seul le signe du dénominateur change :

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618{,}2\ \mathrm{Hz}.$$

Les deux fréquences ne se trouvent pas exactement à la même distance de part et d'autre de $680\ \mathrm{Hz}$. Les dénominateurs sont $306$ et $374$, pas des variations réciproques égales. Ne retranchez pas simplement le premier décalage de la fréquence source pour deviner le son à l'éloignement.

L'explication par la longueur d'onde se vérifie numériquement. Deux crêtes sont émises à $1/680\ \mathrm{s}$ d'intervalle. Dans ce temps, la source avance de $34/680=0{,}050\ \mathrm{m}$ ; un front se propage de $340/680=0{,}500\ \mathrm{m}$ dans l'air. Devant la source, deux crêtes successives sont donc espacées de $0{,}500-0{,}050=0{,}450\ \mathrm{m}$. L'auditeur immobile les reçoit à $340/0{,}450=755{,}6\ \mathrm{Hz}$, le même résultat par une deuxième voie.

Exemple 2 : déplacer l'auditeur à la place

Remettons l'avertisseur à l'arrêt dans l'air. Il émet toujours $680\ \mathrm{Hz}$. Cette fois l'auditeur avance vers lui à $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. La longueur d'onde dans l'air reste $v/f_s=340/680=0{,}500\ \mathrm{m}$. L'auditeur rencontre les crêtes à la vitesse relative $340+34=374\ \mathrm{m/s}$ :

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748{,}0\ \mathrm{Hz}.$$

Comparez $748{,}0\ \mathrm{Hz}$ aux $755{,}6\ \mathrm{Hz}$ de l'exemple 1. Les deux valeurs dépassent $680\ \mathrm{Hz}$, mais la source mobile produit un décalage un peu plus grand à cette vitesse. Une unique « vitesse relative » générique cacherait cette différence pour le son dans un milieu. La source modifie la longueur d'onde ; l'auditeur modifie le rythme auquel il la traverse.

Si l'auditeur s'éloigne, on place $v-v_o$ au numérateur : $680(340-34)/340=612{,}0\ \mathrm{Hz}$. Cette fréquence est inférieure aux $618{,}2\ \mathrm{Hz}$ de la source qui s'éloigne. La comparaison à vitesse égale fonctionne de chaque côté du passage.

Ce tableau constitue la vérification originale de ce guide. La fréquence émise, la vitesse du son et celle de l'objet mobile ne changent pas. Seul l'objet qui bouge change. Servez-vous-en comme test après un calcul Doppler.

Exemple 3 : les deux se rapprochent

Gardons l'avertisseur à $680\ \mathrm{Hz}$ et le son à $340\ \mathrm{m/s}$. La source va vers l'auditeur à $20\ \mathrm{m/s}$ et l'auditeur vers la source à $10\ \mathrm{m/s}$. Les deux mouvements doivent relever la fréquence perçue. La vitesse de l'auditeur s'ajoute au numérateur ; celle de la source se retranche au dénominateur :

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743{,}75\ \mathrm{Hz}.$$

Le facteur $350/320=1{,}09375$ est supérieur à un. Autre vérification : sans le mouvement de l'auditeur, on aurait $680(340/320)=722{,}5\ \mathrm{Hz}$. En approchant, il porte ce nombre à $743{,}75\ \mathrm{Hz}$, comme le prédit le dessin. S'il s'éloignait plutôt à $10\ \mathrm{m/s}$ alors que la source continuait d'approcher, les effets s'opposeraient : $680(330/320)=701{,}25\ \mathrm{Hz}$. Il faut choisir les deux signes séparément au lieu d'appeler toute la situation simplement « approche ».

Les limites à ne pas oublier

Ces exemples concernent le son classique. Les vitesses se rapportent à un milieu précisé, ici l'air immobile, et la formule sur une droite ne prend que le mouvement selon le trajet du son. Le vent change les vitesses par rapport à l'air ; une trajectoire oblique exige des composantes. La source reste sous la vitesse du son. Lorsque la source qui approche tend vers $v_s=v$, le dénominateur tend vers zéro. Cela marque l'échec du modèle de fronts d'onde séparés employé ici ; l'auditeur n'entend pas une fréquence infinie. Un bang supersonique et une onde de choc demandent une autre description.

La lumière présente aussi un effet Doppler, mais elle se propage dans le vide sans milieu comparable à l'air. Ne remplacez pas le son par la vitesse de la lumière dans cette fraction en imaginant un air immobile pour les vitesses de source et d'auditeur. Le chapitre d'OpenStax sur la lumière présente la relation relativiste fondée sur le mouvement relatif. L'idée qu'une approche augmente la fréquence demeure ; le calcul change.

Devant un nouveau problème de son, notez $f_s$, $v$, $v_s$ et $v_o$ avec leurs unités, dessinez les mouvements, puis consultez le tableau des signes. Confrontez le résultat à l'approche ou à l'éloignement, puis au cas sans mouvement. Si choisir les directions pose problème, notre guide de cinématique aide à garder des signes de vitesse cohérents. Le thème Ondes et son de Physics Zen propose des exercices Doppler avec de nouveaux nombres, une vérification immédiate et des solutions détaillées. Un schéma clair et deux contrôles valent mieux qu'une suite de signes apprise par cœur.