Mouvement harmonique simple : comprendre les oscillations

Écartez une masse de la position d'équilibre d'un ressort, puis lâchez-la. Le ressort la ramène, mais elle ne s'arrête pas au centre. Elle y arrive avec une vitesse, le dépasse, comprime le ressort et repart dans l'autre sens.

Cet échange répété est le mouvement harmonique simple, ou MHS. Les équations en sinus et cosinus le décrivent, mais l'idée de départ est une force qui vise toujours le centre et grandit proportionnellement à l'éloignement.

L'équilibre est le centre du mouvement

À l'équilibre, la force résultante est nulle. Pour un ressort horizontal idéal, posons $x=0$ à cet endroit. Un étirement vers la droite est positif, une compression vers la gauche négative.

La loi de Hooke donne :

$$F=-kx$$

La constante $k$ mesure la raideur. Le signe moins signifie que la force s'oppose au déplacement : à droite de l'équilibre, elle vise la gauche, et inversement.

Avec la deuxième loi de Newton :

$$a=-\frac{k}{m}x$$

L'accélération est proportionnelle au déplacement et vise l'équilibre. C'est la signature du MHS. Notre guide des lois de Newton fournit le cadre des forces.

OpenStax University Physics obtient la même relation à partir de la loi de Hooke et en déduit la période. La dérivation montre précisément où commence le modèle idéal.

Tout mouvement répété n'est pas harmonique simple. Une balle qui rebondit répète son mouvement, mais son accélération n'est pas proportionnelle à son déplacement depuis un équilibre central. Un oscillateur réel s'écarte aussi du MHS si sa force de rappel devient non linéaire ou si l'amortissement est fort.

Pourquoi la masse dépasse l'équilibre

Au point droit $x=+A$, où $A$ est l'amplitude, la masse est momentanément immobile. Force et accélération visent la gauche.

En allant vers le centre, elle accélère. À $x=0$, force et accélération sont nulles, mais la vitesse est maximale. Une force nulle à cet instant ne signifie pas une vitesse nulle : l'inertie lui fait dépasser le centre.

Après le centre, le déplacement devient négatif. La force vise alors la droite et ralentit la masse jusqu'à l'arrêt en $-A$, puis le processus s'inverse.

On peut résumer chaque cycle ainsi :

• À $x=\pm A$, la vitesse est nulle et la valeur absolue de l'accélération est maximale.
• À $x=0$, la vitesse est maximale et l'accélération est nulle.
• Entre ces positions, déplacement, vitesse et accélération varient continûment.

L'accélération n'est donc pas toujours opposée à la vitesse. Vers l'équilibre, elles ont le même sens et la masse accélère. Après l'équilibre, elles sont opposées et elle ralentit.

Le cosinus est l'horloge du cycle

Si la masse part de l'élongation positive maximale sans vitesse :

$$x(t)=A\cos(\omega t)$$

Une phase $\phi$ fixe un autre point de départ :

$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$$

La pulsation $\omega$ indique la vitesse à laquelle l'oscillateur parcourt son cycle. La phase $\phi$ choisit l'endroit du cycle correspondant à l'instant zéro, sans changer ni l'amplitude ni le rythme de répétition.

En dérivant :

$$v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$$ $$a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x(t)$$

La dernière égalité ramène à l'idée de départ : l'accélération est proportionnelle au déplacement et pointe dans le sens opposé.

Les valeurs maximales en découlent directement :

$$v_{\max}=A\omega$$ $$a_{\max}=A\omega^2$$

Position, vitesse et accélération ne sont pas trois mouvements séparés, mais trois vues déphasées du même cycle.

Période, fréquence et pulsation

La période $T$ est la durée d'une oscillation complète. La fréquence $f$ compte les oscillations par seconde :

$$f=\frac{1}{T}$$

La pulsation exprime le même rythme en radians par seconde :

$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$

Pour un oscillateur masse-ressort idéal :

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Donc :

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Une masse plus grande allonge la période; un ressort plus raide la raccourcit. Dans le modèle idéal, l'amplitude n'intervient pas. Écarter davantage la masse augmente la force, mais lui impose aussi une plus grande distance à parcourir. Ces effets se compensent dans le modèle idéal.

Exemple calculé avec un ressort

Prenons une masse de $0{,}50\ \mathrm{kg}$ sur une surface sans frottement, reliée à un ressort idéal de raideur $k=200\ \mathrm{N/m}$. Écartons-la de $0{,}080\ \mathrm{m}$ puis lâchons-la sans vitesse.

Calculons d'abord la pulsation :

$$\omega=\sqrt{\frac{200}{0{,}50}}=20\ \mathrm{rad/s}$$

La période est :

$$T=\frac{2\pi}{20}\approx0{,}314\ \mathrm{s}$$

Comme la masse est lâchée depuis l'élongation positive maximale, $\phi=0$ et :

$$x(t)=0{,}080\cos(20t)\ \mathrm{m}$$

La vitesse maximale est :

$$v_{\max}=A\omega=0{,}080(20)=1{,}6\ \mathrm{m/s}$$

La valeur maximale de l'accélération est :

$$a_{\max}=A\omega^2=0{,}080(20)^2=32\ \mathrm{m/s^2}$$

Ces maxima ne sont pas atteints au même endroit. La vitesse maximale se trouve à l'équilibre; l'accélération maximale, aux extrémités.

L'énergie décrit le même mouvement sans horloge

L'oscillateur idéal échange continuellement énergie potentielle élastique et énergie cinétique :

$$U=\frac12kx^2$$ $$K=\frac12mv^2$$

Aux extrémités, la masse est immobile et toute l'énergie mécanique est élastique. À l'équilibre, l'énergie élastique relative à ce point est nulle et l'énergie cinétique maximale. Le total reste :

$$E=\frac12kA^2$$

Dans l'exemple :

$$E=\frac12(200)(0{,}080)^2=0{,}64\ \mathrm{J}$$

À toute position, la conservation de l'énergie permet de trouver la vitesse sans résoudre le temps :

$$\frac12mv^2+\frac12kx^2=\frac12kA^2$$

C'est le lien avec notre guide du travail et de l'énergie. Utilisez les équations sinusoïdales lorsque temps et phase comptent; utilisez l'énergie lorsque la question relie vitesse et position sans demander quand l'objet y arrive.

Le pendule n'est harmonique qu'aux petits angles

Un pendule simple possède une composante de pesanteur qui le ramène vers l'équilibre. Son équation exacte contient $\sin\theta$ et n'est donc pas linéaire. Pour un petit angle en radians, $\sin\theta\approx\theta$ et le mouvement devient approximativement harmonique.

La période dans l'approximation des petits angles est :

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

La masse n'apparaît pas. Dans le modèle idéal aux petits angles, un pendule lourd et un pendule léger ont donc la même période s'ils ont même longueur et même pesanteur. Allonger le pendule augmente la période; augmenter la pesanteur la réduit.

Avec $L=0{,}90\ \mathrm{m}$ et $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ :

$$T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}90}{9{,}81}}\approx1{,}90\ \mathrm{s}$$

À grande amplitude, la période réelle dépasse la prédiction. Il faut annoncer l'approximation plutôt que de traiter tout pendule comme un MHS exact.

Les oscillateurs réels perdent de l'énergie

Le MHS idéal continue indéfiniment parce qu'aucune énergie ne quitte le système. Dans un système réel, frottements, résistance de l'air et pertes internes réduisent l'amplitude : c'est l'amortissement.

Une force extérieure périodique peut rendre de l'énergie. Près de la fréquence propre, la réponse peut devenir grande : c'est la résonance. L'amortissement limite cette croissance et modifie la netteté de la réponse.

Ces effets prolongent le modèle de base. Identifiez d'abord équilibre, force de rappel, fréquence propre et échanges d'énergie, puis ajoutez amortissement ou forçage si l'énoncé les mentionne.

Une méthode de résolution fiable

Définissez d'abord l'équilibre et le sens positif. Mesurez le déplacement depuis l'équilibre, pas automatiquement depuis la longueur non étirée du ressort. Pour un ressort vertical idéal, le poids décale l'équilibre, mais les oscillations autour de cette nouvelle position gardent la même formule de période.

Choisissez ensuite l'outil selon la question : relation de période pour le rythme, phase correcte pour la position à un instant, énergie pour la vitesse à une position.

Vérifiez enfin le comportement physique. L'accélération doit viser l'équilibre, la vitesse être nulle aux extrémités et maximale au centre. Une masse plus grande doit allonger la période et une raideur plus forte la raccourcir.

Entraînez-vous dans le thème Mouvement harmonique simple de Physics Zen, consacré aux ressorts, pendules et à l'énergie. Gardez l'image avant la formule : le déplacement crée une force de rappel, la masse dépasse l'équilibre et l'énergie alterne entre deux formes.