Comprendre le travail et l'énergie intuitivement (le raccourci comptable)

La deuxième loi de Newton donne l'accélération à chaque instant. C'est plus que ce dont la plupart des exercices ont besoin. Lâchez une bille en haut d'un toboggan courbe et demandez sa vitesse en bas : la deuxième loi exige la force en chaque point de la courbe, qui change de direction au fil de la pente. Il faudrait intégrer toute la trajectoire.

Le travail et l'énergie forment le raccourci qui contourne la trajectoire. Ils tiennent un registre à deux colonnes, mouvement et position, et affirment qu'entre deux instants quelconques ce registre s'équilibre une fois comptés les dépôts et les retraits effectués en chemin. Vous ne cherchez jamais l'accélération. Vous comparez le solde en haut avec le solde en bas.

Ceci est le troisième article de la série sur la mécanique, après Comprendre la cinématique intuitivement et Comprendre les lois de Newton intuitivement. Il explique ce que le travail compte réellement, d'où viennent l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, pourquoi la conservation relève de la comptabilité plutôt que de la magie, comment le frottement entre dans le registre, ce que mesure la puissance, et la règle pour décider quand utiliser l'énergie et quand revenir à Newton.

L'énergie, un nombre que l'on suit, pas une chose que l'on voit

Personne n'a jamais vu l'énergie. Ce que l'on voit, c'est une bille en mouvement ou une bille posée à une certaine hauteur, et l'énergie est le nombre que la physique attribue à ces situations pour qu'une certaine somme reste constante. C'est toute la raison d'être de cette idée. Au cours du XIXe siècle, les physiciens ont remarqué qu'en définissant correctement une grandeur pour le mouvement et une grandeur pour la position, alors, aussi compliqué que soit le mouvement entre les deux, le total à la fin égale le total au départ, plus ou moins ce que des forces extérieures ont ajouté ou retiré.

Traitez donc l'énergie comme un compte. L'énergie cinétique est le solde détenu sous forme de mouvement. L'énergie potentielle est le solde détenu sous forme de position. Le travail est un dépôt ou un retrait. La conservation de l'énergie, c'est le relevé de compte qui tombe juste.

Le travail, une force multipliée par la distance sur laquelle elle agit

Le travail, c'est ce qu'une force accomplit pendant que l'objet sur lequel elle agit se déplace. Une force qui pousse un objet sur une distance $d$ dans la direction de la poussée effectue un travail

$$W = F d$$

mesuré en joules : un newton agissant sur un mètre. Si la force n'est pas alignée avec le mouvement, seule sa composante le long du mouvement compte :

$$W = F d \cos\theta$$

où $\theta$ est l'angle entre la force et le déplacement. Trois cas couvrent l'essentiel des exercices :

• Force alignée avec le mouvement, $\theta = 0$. La force aide, $\cos 0 = 1$, et le travail est positif. Vous déposez.
• Force opposée au mouvement, $\theta = 180^\circ$. La force résiste, $\cos 180^\circ = -1$, et le travail est négatif. Vous retirez. Le frottement cinétique fait toujours cela.
• Force perpendiculaire au mouvement, $\theta = 90^\circ$. Le travail est nul. La réaction normale sur un sol plat, la tension d'un fil qui fait tourner une bille en cercle, la pesanteur sur un objet qui se déplace horizontalement : aucune d'elles ne travaille, aussi grande soit-elle.

Le cas perpendiculaire surprend, car on a l'impression que la force devrait compter. Ce n'est pas le cas, et la raison tient à la définition. Le travail mesure l'énergie déplacée le long du mouvement. Une force à angle droit change la direction du mouvement mais pas son énergie, ce qui explique qu'un satellite en orbite garde éternellement la même vitesse.

Le travail est un scalaire. Il a un signe mais pas de direction, ce qui rend la comptabilité possible : on additionne les dépôts et les retraits comme de simples nombres.

L'énergie cinétique, le travail rendu visible

Poussez un bloc de masse $m$, initialement au repos, avec une force résultante constante $F$ sur une distance $d$. Newton donne l'accélération, $a = F/m$, et la cinématique donne la vitesse finale grâce à $v^2 = 2ad$. Substituez et réarrangez :

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

Le membre de gauche est le travail effectué. Le membre de droite est ce que le bloc possède désormais, et cela mérite un nom : l'énergie cinétique,

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

La même algèbre avec une vitesse de départ non nulle donne le théorème de l'énergie cinétique :

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

Lisez-y une définition de l'utilité de l'énergie cinétique. Le travail résultant effectué sur un objet, par toutes les forces additionnées avec leurs signes, est égal à la variation de son énergie cinétique. Un travail résultant positif l'accélère. Un travail résultant négatif le ralentit. Un travail résultant nul, aussi violentes que soient les forces, laisse la vitesse inchangée.

Deux choses à remarquer. L'énergie cinétique dépend de $v^2$, donc doubler la vitesse quadruple l'énergie, ce qui explique qu'une voiture à 100 km/h a besoin d'une distance de freinage quatre fois plus longue qu'une voiture à 50 km/h. Et elle n'est jamais négative. Un objet qui recule a la même énergie cinétique qu'un objet qui avance à la même vitesse.

L'énergie potentielle, un travail que l'on peut récupérer

Soulevez un livre de masse $m$ sur une hauteur $h$ à vitesse constante. Vous effectuez un travail $mgh$ contre la pesanteur, mais l'énergie cinétique du livre est la même à la fin qu'au début : où est donc passé ce travail ?

Il est passé dans la position. Lâchez le livre, et la pesanteur effectue un travail $mgh$ pendant la descente, et le livre arrive avec exactement $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$ d'énergie cinétique. Le travail que vous avez fourni n'a pas été perdu ; il a été stocké, et ce stockage est l'énergie potentielle de pesanteur :

$$U_g = m g h$$

avec $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$ sur le parcours AP et $9.81\,\mathrm{m/s^2}$ sur le parcours A-Level. Utilisez la valeur indiquée par l'énoncé.

La même histoire avec un ressort donne l'énergie potentielle élastique. Comprimez ou étirez un ressort de raideur $k$ sur une distance $x$ par rapport à sa longueur naturelle, et l'énergie stockée vaut

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

Le facteur un demi vient du fait que la force du ressort croît de zéro jusqu'à $kx$ au fur et à mesure de la compression, si bien que la force moyenne est la moitié de la force finale.

L'énergie potentielle n'existe que pour les forces dotées d'une propriété particulière : le travail qu'elles effectuent ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée, pas du chemin suivi. La pesanteur la possède. Un ressort la possède. Le frottement ne la possède pas, car un chemin plus long coûte plus de frottement, si bien que le frottement n'a pas d'énergie potentielle et doit être traité différemment. Les forces dotées de cette propriété sont dites conservatives, et chacune d'elles peut devenir une colonne du registre.

Une liberté qui vaut la peine d'être exploitée : vous choisissez où placer $h = 0$. Seules les variations d'énergie potentielle comptent, donc placez le zéro au point le plus bas de l'exercice et toutes les hauteurs deviennent positives.

Conservation : le registre s'équilibre

Rassemblez les colonnes. Si les seules forces qui travaillent sont conservatives, la pesanteur et les ressorts, alors l'énergie mécanique totale ne change pas :

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

C'est l'équation qui contourne la trajectoire. Une bille qui dévale un toboggan courbe depuis une hauteur $h$ arrive en bas avec $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, donc $v = \sqrt{2gh}$, et la forme du toboggan n'est jamais entrée dans le calcul. Un pendule lâché depuis une hauteur $h$ au-dessus de son point le plus bas atteint le bas à $\sqrt{2gh}$, quelle que soit la longueur du fil. Des montagnes russes au sommet d'une seconde colline, plus basse que la première de $\Delta h$, se déplacent à $\sqrt{2 g \Delta h}$ si elles sont parties du repos.

La masse se simplifie souvent. Ce n'est pas une coïncidence ; c'est le même fait que la chute de tous les corps à la même vitesse, vu à travers le prisme de l'énergie.

Le frottement rompt l'égalité de façon contrôlée. Le frottement cinétique effectue un travail négatif $-f d$ sur l'objet qui glisse, où $f$ est la force de frottement et $d$ la distance réellement parcourue en glissant. Ajoutez-le au registre :

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

Le terme $f d$ est l'énergie qui a quitté les comptes mécaniques pour devenir de la chaleur. Elle n'est pas perdue pour l'univers, mais elle est perdue pour l'exercice. Un bloc qui glisse le long d'un plan incliné rugueux de longueur $d$ arrive avec moins de $mgh$ d'énergie cinétique, et le manque est exactement $f d$, avec $f = \mu N$ tiré de la section sur le frottement de l'article sur Newton.

Le même terme explique le bloc qui glisse sur un sol rugueux et s'arrête. Toute son énergie cinétique est devenue $f d$, donc la distance d'arrêt est $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$, qui ne dépend absolument pas de la masse.

La puissance, un taux

Le travail indique combien d'énergie a été déplacée. La puissance indique à quelle vitesse :

$$P = \frac{W}{t}$$

en watts, qui sont des joules par seconde. Une ampoule de 60 W déplace 60 joules d'énergie chaque seconde. Une bouilloire de 1 kW en déplace mille.

Pour une force qui pousse un objet à vitesse constante, il existe une forme plus utile. Le travail vaut $F d$, la distance parcourue pendant la durée $t$ vaut $v t$, donc

$$P = F v$$

C'est l'équation derrière chaque exercice sur les voitures. Une voiture qui roule à vitesse constante a une force résultante nulle, donc la force motrice vers l'avant égale la résistance totale, et la puissance du moteur est cette résistance multipliée par la vitesse. Doublez la vitesse sur l'autoroute et, comme la résistance de l'air croît à peu près comme $v^2$, la puissance nécessaire croît à peu près comme $v^3$.

Un piège d'unités : le kilowattheure est une énergie, pas une puissance. Ce sont 1000 W maintenus pendant 3600 s, soit $3.6 \times 10^6$ joules. Les factures d'électricité comptent de l'énergie ; le chiffre inscrit sur la bouilloire est une puissance.

Quand utiliser l'énergie et quand utiliser Newton

Les deux méthodes répondent à des questions différentes, et choisir la mauvaise est la source la plus fréquente de temps perdu en mécanique.

Tournez-vous vers l'énergie quand :

• Vous connaissez la situation en deux points et voulez la vitesse ou la hauteur en l'un d'eux.
• La trajectoire est courbe, ou la force change de direction le long de celle-ci.
• Personne n'a demandé le temps, l'accélération ou la force.
• La seule force non conservative est le frottement sur une distance connue.

Tournez-vous vers Newton quand :

• La question demande une force, une tension, une réaction normale ou une accélération.
• Vous avez besoin du temps, car l'énergie n'intègre aucune horloge.
• Une force non conservative varie le long de la trajectoire d'une façon que vous ne pouvez pas résumer par $f d$.
• Le mouvement est circulaire et vous avez besoin de la condition centripète.

Beaucoup d'exercices utilisent les deux. L'énergie donne la vitesse en bas de la boucle ; Newton donne ensuite la réaction normale à cet endroit. Le relais peut se faire dans les deux sens, et la compétence consiste à repérer quelle grandeur la question demande réellement.

À quoi servent le travail et l'énergie

La cinématique décrit le mouvement. Les lois de Newton l'expliquent. Le travail et l'énergie permettent de sauter l'étape intermédiaire, en comparant le début et la fin sans suivre chaque pas entre les deux. Le prix à payer, c'est l'information : l'énergie ne peut pas dire combien de temps quelque chose a pris, ni quelle force agissait à un instant donné. Le gain, c'est que la forme de la trajectoire cesse de compter, exactement le problème que les lois de Newton rendaient difficile.

Tout ce qui suit en mécanique réutilise ce registre. La quantité de mouvement est un second compte conservé, tenu dans le même esprit. Les oscillations harmoniques sont de l'énergie qui bascule entre les colonnes cinétique et élastique. La thermodynamique est la même comptabilité, la chaleur obtenant enfin sa propre colonne.

Pour que cela devienne un réflexe, appliquez la boucle décrite dans Comment étudier la physique efficacement : identifier les deux instants, écrire les bilans, ajouter le travail de chaque force non conservative, résoudre, puis vérifier les unités et les cas limites. Le thème Travail & énergie de Physics Zen fait tourner cette boucle avec de nouvelles valeurs sur le travail à un angle, l'énergie cinétique et potentielle, et la conservation avec ou sans frottement, la puissance figurant dans la dernière compétence, sur Premium, pour que ce soit le registre qui reste en mémoire, pas une réponse en particulier.