Ondes stationnaires sur cordes et dans les tubes : exemples

Une onde stationnaire paraît immobile sur un point : ses nœuds restent en place. Pourtant, entre eux, la corde ou l'air continuent de bouger. Pour calculer une fréquence, commencez par les extrémités. Elles déterminent les formes possibles ; la vitesse de propagation transforme ensuite chaque longueur d'onde autorisée en fréquence.

Nous résolvons trois exemples et contrôlons chaque résultat par le dessin, les unités et le mode suivant. Le cadre est celui de cordes et de colonnes d'air idéales. Les ouvertures réelles, les variations de température et l'amortissement demandent plus de précautions ; la dernière section marque les limites des équations simples.

D'une onde progressive à une forme stationnaire

Une onde qui parcourt une corde se réfléchit à son extrémité. Si l'onde incidente et l'onde réfléchie ont la même fréquence, leurs déplacements s'additionnent en certains endroits et s'annulent en d'autres. Un nœud garde un déplacement nul. Un ventre atteint le plus grand déplacement de ce mode. La forme ne se déplace pas comme une bosse unique de gauche à droite, même si un système réel entretenu reçoit et perd de l'énergie.

OpenStax présente les ondes stationnaires à partir des conditions aux limites. Au lieu de mémoriser d'abord une formule, dessinez ce que la matière peut faire à chaque extrémité. Comptez ensuite les fractions de longueur d'onde qui tiennent entre elles.

Fréquence, longueur d'onde et vitesse vérifient toujours

$$v=f\lambda.$$

Ici, $v$ est la vitesse d'une perturbation progressive dans le milieu, $f$ le nombre de cycles par seconde et $\lambda$ la distance en mètres par cycle. La forme stationnaire naît de deux telles ondes sans changer cette relation. C'est autre chose qu'une masse sur un ressort dans notre guide du mouvement harmonique simple : un point de la corde peut osciller approximativement ainsi, mais la corde possède de nombreux points et modes possibles.

Corde fixée : deux extrémités nodales

Une corde solidement attachée aux deux bouts ne peut y bouger. Tracez un nœud de déplacement à chaque bout. La forme la plus courte contient un ventre entre eux : une demi-longueur d'onde tient dans la longueur $L$. Chaque mode supérieur ajoute une demi-longueur d'onde :

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

Le premier mode est la fondamentale $f_1=v/(2L)$. Le deuxième vaut $2f_1$ et possède un nœud intérieur supplémentaire. Le troisième vaut $3f_1$. Parler d'harmoniques n'a de sens qu'après avoir confirmé que les deux extrémités sont vraiment fixes. Une extrémité libre imposerait une autre condition de déplacement.

Pour une corde idéale tendue, la tension $T$ et la masse linéique $\mu$ déterminent la vitesse :

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

Exprimez $T$ en newtons et $\mu$ en kilogrammes par mètre. La racine donne alors des mètres par seconde. Ce modèle suppose une corde souple, une tension presque constante et de faibles déplacements transversaux. Une corde réelle épaisse, raide ou fortement excitée ne suit pas nécessairement chaque harmonique idéale à la perfection.

Exemple 1 : une corde de tension connue

Une corde de 1,20 m a une tension de $48\ \mathrm{N}$ et une masse linéique de $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Cherchons ses première et troisième fréquences autorisées. Calculons d'abord la vitesse :

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Ainsi $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ et $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Pour le troisième mode, $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Vérification : $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Le schéma doit porter des nœuds aux deux bouts et deux nœuds intérieurs. Deux fois la fondamentale correspondrait au deuxième mode, pas au troisième.

Modifier la tension change $v$ et toutes les fréquences. Doubler la tension ne double pas la fréquence : la racine donne un facteur $\sqrt{2}$. Modifier la longueur à vitesse inchangée produit un autre effet : la fréquence varie comme l'inverse de $L$. Dans une comparaison, précisez toujours ce qui reste constant.

Extrémités d'un tube : déplacement ou pression ?

Le son dans un tube est une perturbation longitudinale. L'air va et vient le long du tube, tandis que la pression monte et descend. « Nœud » reste ambigu tant que vous ne dites pas quelle grandeur est représentée. À une extrémité approximativement fermée, le déplacement de l'air est contraint : nœud de déplacement, ventre de pression. À une extrémité approximativement ouverte, l'air bouge plus librement et sa pression reste proche de la pression atmosphérique : ventre de déplacement, nœud de pression.

Les notes de l’université du Tennessee mettent explicitement en regard pression et déplacement aux extrémités. Les deux colonnes sont complémentaires. Un schéma qui place un nœud de pression au bout fermé puis utilise une formule de déplacement mélange deux descriptions. Les modes sonores d'OpenStax présentent les formes en termes de déplacement. Écrivez « déplacement de l'air » au-dessus du croquis avant d'y placer nœuds et ventres. Ajoutez la pression en dessous pour contrôler.

Un tube ouvert aux deux bouts a un ventre de déplacement à chaque bout. Sa forme la plus simple contient une demi-longueur d'onde sur $L$, comme la corde fixée pour le nombre de longueurs d'onde, mais avec des ventres au lieu de nœuds aux extrémités. Le tube ouvert idéal a donc $f_n=nv/(2L)$ pour $n=1,2,3,\ldots$. Un tube fermé aux deux bouts a également des conditions symétriques et la même suite de fréquences dans le modèle simple, avec des nœuds de déplacement aux bouts.

Exemple 2 : un tube ouvert

Prenons un tube idéal de 0,85 m ouvert aux deux extrémités et supposons pour cet exercice une vitesse du son de $340\ \mathrm{m/s}$. La fondamentale contient une demi-longueur d'onde : $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. Sa fréquence est $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. Le mode autorisé suivant vaut $f_2=400\ \mathrm{Hz}$ avec $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Vérifiez la géométrie avant d'accepter les chiffres : les deux ouvertures sont des ventres de déplacement, et le deuxième mode ajoute une demi-longueur d'onde dans le tube. Vérifiez aussi les unités : des mètres par seconde divisés par des mètres donnent des hertz. Les 340 m/s sont une valeur donnée pour l'exercice, pas une vitesse du son universelle ; température et milieu peuvent la modifier.

Tube fermé d'un côté : harmoniques impaires

Fermons maintenant un bout du tube et laissons l'autre ouvert. Le déplacement doit avoir un nœud d'un côté et un ventre de l'autre. La forme la plus courte n'occupe qu'un quart de longueur d'onde sur $L$, d'où $\lambda_1=4L$ et $f_1=v/(4L)$. La forme suivante qui respecte les mêmes bouts occupe trois quarts de longueur d'onde ; la suivante, cinq :

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

Les fréquences sont $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. « Seulement les harmoniques impaires » décrit cette condition idéale. Le deuxième mode autorisé est la troisième harmonique, pas la deuxième harmonique. Pour une « deuxième résonance », il faut donc $3f_1$ dans ce modèle, et non $2f_1$.

Exemple 3 : un tube fermé d'un côté

Utilisons un tube fermé-ouvert de 0,50 m et la valeur d'exercice $v=340\ \mathrm{m/s}$. Première résonance : $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$, donc $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Deuxième résonance autorisée : $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$, avec $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Trois quarts de cette longueur d'onde donnent environ 0,50 m, ce qui tient dans le tube. En revanche, $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ demanderait une forme de déplacement qui manque une condition au bord.

Contrôle des conditions aux limites : bout fermé égale nœud de déplacement et ventre de pression ; bout ouvert égale ventre de déplacement et nœud de pression. Contrôlez ensuite unités, numérotation impaire et $v=f\lambda$. Les quatre vérifications doivent concorder.

Les modes stationnaires déterminent les fréquences possibles ; ces exemples d’intensité sonore calculent la puissance par surface selon la distance.

Où s'arrête le modèle idéal

L'air ne s'immobilise pas exactement au bord physique d'une bouche ouverte. La longueur acoustique effective peut donc différer légèrement de la longueur mesurée : c'est la correction d'extrémité ; les notes de l’université du Connecticut expliquent pourquoi longueur acoustique et longueur physique diffèrent. Son ampleur dépend de l'ouverture et de ce qui l'entoure ; la formule du tube parfaitement idéalisé ne prédit pas chaque résonance réelle au hertz près. Les exemples ci-dessus utilisent explicitement les conditions simples et traitent le $L$ fourni comme longueur effective.

La température influe aussi sur la vitesse du son ; les parois rigides et les pertes comptent. La raideur et l'amortissement d'une corde peuvent décaler ou brouiller ses modes. Lisez donc les hypothèses de l'énoncé. Le dessin des nœuds reste utile : il indique par quelle famille idéale commencer et quelle correction un exercice plus avancé pourrait demander.

N'appliquez pas la règle des harmoniques impaires à toute source sonore. Elle appartient à un bout approximativement fermé et à un autre approximativement ouvert. Un tube ouvert des deux côtés présente toute la suite entière dans la même idéalisation. Une corde vibrante a ses propres conditions. Ce sont les extrémités, non le nom de l'instrument, qui choisissent la formule.

S'entraîner au montage avant de calculer

Pour un nouvel exercice, dessinez les extrémités, précisez si les nœuds sont ceux du déplacement ou de la pression, comptez la fraction autorisée de $\lambda$, puis insérez $v$ et $L$. Terminez en recalculant avec $v=f\lambda$. Cette dernière ligne repère bien des erreurs d'un facteur deux.

Les exercices Ondes et son de Physics Zen comprennent la compétence consacrée aux ondes stationnaires sur cordes et dans les tubes, avec de nouvelles valeurs et des solutions vérifiées. Réutilisez les trois modèles : vitesse d'une corde à partir de sa tension et de sa masse linéique, tube ouvert à partir d'une demi-longueur d'onde, tube fermé-ouvert à partir de quarts impairs.

Questions fréquentes

Pourquoi pas de deuxième harmonique dans un tube fermé-ouvert ? Une demi-longueur d'onde ne peut pas placer un nœud de déplacement d'un côté et un ventre de l'autre. Seuls un, trois, cinq et les autres nombres impairs de quarts respectent les deux bouts dans le modèle idéal.

Une extrémité ouverte est-elle un nœud ou un ventre ? Pour le déplacement de l'air, c'est approximativement un ventre ; pour la variation de pression, approximativement un nœud. Nommez la grandeur avant d'employer ces mots.

Puis-je utiliser directement la longueur mesurée ? Utilisez la longueur prescrite dans un problème scolaire avec ses hypothèses idéales. Une mesure réelle peut demander une correction d'extrémité ; vérifiez si la longueur indiquée est physique ou effective.