Comment tracer un bilan des forces : une méthode pas à pas qui évite les erreurs

La plupart des mauvaises réponses en mécanique de base se jouent avant même d'écrire une équation. Les forces ont été mal dessinées, une force manquait, ou une flèche représentait quelque chose qui n'est pas une force. Corrigez le schéma, et l'algèbre suit généralement.

Un bilan des forces est un outil simple : un seul objet, isolé, avec chaque force qui agit sur lui représentée par une flèche. Sa force vient de la rigueur qu'il impose. Vous devez décider ce qu'est l'objet, nommer chaque force et ce qui l'exerce, et fixer une direction avant même de toucher à la deuxième loi de Newton.

Ce guide propose une méthode en cinq étapes, traite les cas classiques, et liste les erreurs les plus fréquemment observées par les correcteurs. Il suppose que vous connaissez l'énoncé de la deuxième loi ; si ce n'est pas le cas, lisez d'abord notre guide sur les lois de Newton, qui introduit ces schémas en contexte.

Étape 1 : choisir l'objet et le dessiner seul

Déterminez précisément ce qu'est « l'objet ». Une caisse sur une rampe, l'ensemble caisse plus rampe, ou la personne qui pousse la caisse sont trois systèmes différents, avec trois schémas différents. Notez votre choix.

Dessinez ensuite l'objet seul. Un point ou un petit rectangle suffit. Retirez le sol, la corde, le mur et tout ce qui le touche. Ces éléments n'apparaîtront que sous la forme des forces qu'ils exercent.

C'est de cette étape que vient l'idée de « corps libre » : le corps est libéré de son environnement, de sorte que chaque interaction doit être représentée explicitement. Un schéma qui montre encore la rampe sous la caisse invite à oublier que la rampe pousse sur la caisse.

Étape 2 : lister chaque force réelle et ce qui l'exerce

Passez en revue les contacts et les forces à distance dans un ordre fixe, pour ne rien oublier.

Le poids. Tout objet massif au voisinage de la Terre subit un poids $mg$ dirigé vers le bas, exercé par la Terre. Il agit même si l'objet est immobile.

Les réactions normales. Chaque surface que touche l'objet le pousse, perpendiculairement à cette surface et vers l'extérieur. Un sol pousse vers le haut. Un mur pousse latéralement. Une pente pousse perpendiculairement à la pente.

Le frottement. Chaque surface rugueuse que touche l'objet peut aussi exercer une force parallèle à la surface, qui s'oppose au glissement ou à la tendance à glisser. Le frottement cinétique s'oppose au mouvement ; le frottement statique s'oppose à ce qui se produirait en son absence.

La tension. Chaque corde, fil ou câble attaché à l'objet tire le long de lui-même, en s'éloignant de l'objet. Une corde ne pousse jamais.

Les forces appliquées. Toute poussée ou traction mentionnée dans l'énoncé, selon l'angle indiqué.

Ressorts, traînée, portance, poussée d'Archimède, forces électriques ou magnétiques, selon ce qu'exige l'énoncé.

Pour chaque force, nommez ce qui l'exerce : « réaction normale du sol », « tension du fil de gauche ». Si vous ne pouvez pas nommer la source, la force n'a pas sa place sur le schéma. Ce seul test élimine la plupart des forces inventées.

Étape 3 : dessiner chaque force à partir de l'objet, dans sa direction réelle

Faites partir chaque flèche du point représentant l'objet, dans la direction où agit la force. Des flèches plus longues pour les forces plus grandes sont utiles mais pas obligatoires ; c'est la direction qui compte.

Étiquetez chaque flèche avec un symbole que vous réutiliserez dans les équations : $W$ ou $mg$, $N$, $f$, $T$, $F$. S'il existe deux forces du même type, distinguez-les : $T_1$ et $T_2$, $N_{\text{floor}}$ et $N_{\text{wall}}$.

Ne dessinez pas les forces que l'objet exerce sur d'autres choses. La caisse pousse vers le bas sur le sol, mais cette force s'exerce sur le sol : elle apparaît donc sur le bilan des forces du sol, pas sur celui de la caisse. Les paires action-réaction de la troisième loi de Newton n'apparaissent jamais sur le même bilan des forces, puisqu'elles s'exercent sur des objets différents.

Étape 4 : choisir des axes adaptés au mouvement

Dessinez un petit repère à côté du schéma. Alignez un axe avec la direction de l'accélération, ou avec la surface si l'objet se déplace le long d'une surface. Sur un sol plat, ce sont les axes horizontal et vertical habituels. Sur un plan incliné, ce sont les axes le long de la pente et perpendiculaire à elle.

La raison est pratique. Avec des axes alignés sur la pente, la réaction normale et le frottement sont exactement sur les axes, et seul le poids doit être décomposé en composantes. Avec des axes horizontal et vertical sur une pente, trois forces doivent être projetées au lieu d'une, et l'algèbre triple.

Si l'objet n'accélère pas, n'importe quelle orientation fonctionne, mais la même règle continue de minimiser le nombre de composantes.

Étape 5 : écrire la deuxième loi sur chaque axe

Lisez le schéma axe par axe. Sommez les composantes le long du premier axe et égalez-les à $ma$ sur cet axe ; faites de même pour le second axe. Les forces dirigées dans le sens négatif reçoivent un signe moins. Un axe sans accélération a un zéro au second membre.

Le schéma a maintenant fait son travail. Les équations sont une simple transcription du dessin, pas un nouveau raisonnement, et si le dessin était juste, les équations le sont aussi.

Résolvez, puis vérifiez le résultat par rapport au schéma. Une force de frottement négative signifie qu'elle pointe dans le sens opposé à votre flèche. Une réaction normale négative signifierait que la surface devrait tirer, ce qu'elle ne peut pas faire : l'objet a alors quitté la surface et le modèle a changé.

Cas résolu : une caisse poussée sur un sol rugueux

Une caisse de 10 kg est poussée par une force horizontale de 40 N sur un sol dont le coefficient de frottement cinétique vaut 0,3. Déterminer l'accélération.

Objet : la caisse. Forces : poids $mg$ vers le bas (la Terre), réaction normale $N$ vers le haut (le sol), frottement $f$ opposé au mouvement (le sol), force appliquée $F$ vers l'avant (la poussée). Quatre flèches.

Axes : $x$ le long de la poussée, $y$ vers le haut. Verticalement, rien n'accélère, donc

$$N - mg = 0$$

d'où $N = 98\ \text{N}$. Horizontalement,

$$F - f = ma$$

avec $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$, donc $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$.

Remarquez que le frottement dépend de la réaction normale, et que celle-ci vient de l'équation verticale. Le schéma rend cette dépendance visible : le frottement et la réaction normale sont deux flèches issues de la même surface.

Cas résolu : un solide sur un plan incliné

Un solide repose sur une pente d'angle $\theta$. Forces : poids $mg$ vers le bas, réaction normale $N$ perpendiculaire à la pente, frottement $f$ le long de la pente. Trois flèches.

Axes le long de la pente et perpendiculaire à elle. Le poids se décompose en $mg\sin\theta$ le long de la pente et $mg\cos\theta$ perpendiculairement à la pente. Perpendiculairement :

$$N - mg\cos\theta = 0$$

Le long de la pente, pour un solide qui glisse vers le bas avec un frottement cinétique,

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

d'où $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$.

L'erreur la plus fréquente ici consiste à dessiner la réaction normale à la verticale. Elle est perpendiculaire à la surface, qui sur une pente n'est pas verticale, et c'est exactement pourquoi $N$ est plus petite que $mg$. La deuxième erreur la plus fréquente est d'inverser sinus et cosinus dans les composantes, ce qui relève de la géométrie et non de la physique ; notre article sur les erreurs de calcul en physique montre comment trancher à chaque fois.

Cas résolu : une masse suspendue à un fil

Une masse est suspendue à un fil et tirée vers le haut, avec une accélération $a$. Forces : poids $mg$ vers le bas, tension $T$ vers le haut. Deux flèches. Axe vertical, positif vers le haut :

$$T - mg = ma$$

donc $T = m(g + a)$. Si la masse accélérait vers le bas, $a$ serait négatif et $T$ plus petite que $mg$. Si le fil devenait mou, $T$ serait nulle et le schéma n'aurait plus qu'une flèche.

Deux forces, une seule ligne de calcul, et pourtant ce schéma piège une erreur tenace : ajouter une « force du mouvement » vers le bas quand la masse descend. Le mouvement n'est pas une force. La masse descend parce que le poids dépasse la tension, et le schéma contient déjà les deux.

Les cinq erreurs les plus vues par les correcteurs

1. Ajouter la résultante comme une flèche. La résultante est la somme des flèches déjà dessinées, pas une flèche supplémentaire. La dessiner revient à compter deux fois.
2. Ajouter la force centripète comme une flèche. Dans un mouvement circulaire, la force dirigée vers l'intérieur est fournie par des forces réelles déjà présentes sur le schéma, comme la tension ou le frottement. Notre guide sur le mouvement circulaire montre comment les lire. N'ajoutez pas de flèche « centripète » séparée.
3. Dessiner le vecteur vitesse ou l'accélération comme des forces. Ni l'un ni l'autre n'est une force. Si vous voulez faire figurer l'accélération, placez-la à côté du schéma, dans un style différent.
4. Oublier un contact. Chaque surface, corde ou main qui touche l'objet exerce une force. Faites mentalement le tour de l'objet et listez les contacts avant de dessiner.
5. Dessiner la réaction normale à la verticale sur une pente, ou le frottement perpendiculaire à la surface. La réaction normale est perpendiculaire à la surface ; le frottement lui est parallèle. Dites ces deux phrases à voix haute avant de tracer l'une ou l'autre flèche.

Une vérification de trente secondes

• Un seul objet, dessiné seul, nommé.
• Le poids, exercé par la Terre, vers le bas.
• Une réaction normale par surface, perpendiculaire à cette surface.
• Un frottement parallèle à chaque surface rugueuse, opposé au glissement.
• Une tension le long de chaque corde, dirigée vers l'extérieur.
• Toute force appliquée selon l'angle indiqué.
• Pas de résultante, pas de force centripète, pas de vecteur vitesse, pas d'accélération parmi les flèches.
• Des axes alignés sur l'accélération ou sur la surface.
• Une équation issue de la deuxième loi par axe, avec un signe moins pour les sens négatifs.

Entraînez-vous dans le thème Dynamique de Physics Zen, où les notions Lois de Newton, Frottements et Plan incliné vous proposent chaque fois une nouvelle situation et vérifient vos équations de forces, puis transposez la même méthode au thème Mouvement circulaire & gravitation, où seul le schéma garantit l'honnêteté de la force dirigée vers l'intérieur.

Un bilan des forces n'est pas une formalité avant le vrai travail. C'est le vrai travail. Dessinez-le correctement, et le problème de physique devient un problème d'algèbre, une catégorie de problème bien plus facile à avoir.