Capacité thermique massique : exemples avec Q = mcΔT

Deux récipients peuvent recevoir la même énergie et se réchauffer différemment. Une petite quantité d'eau gagne plus de degrés qu'une grande ; du cuivre et la même masse d'eau réagissent encore autrement. La capacité thermique massique traduit la part liée au matériau. L'équation $Q=mc\Delta T$ est courte, mais on se trompe souvent en confondant chaleur et température, en utilisant des grammes avec une valeur donnée par kilogramme, ou en oubliant le signe négatif d'un refroidissement.

Nous allons calculer une chauffe, une masse inconnue, une température finale, un refroidissement et un mélange isolé. Un tableau d'erreurs d'unités et un bilan d'énergie rendent ces exemples réutilisables. Les valeurs de l'eau, du cuivre et de l'aluminium viennent de la table de chaleur massique d'OpenStax. Ce sont des valeurs représentatives pour des exercices, pas des constantes exactes à toute température.

Chaleur, température et capacité : trois grandeurs

La température décrit l'état thermique d'un matériau. Le transfert thermique $Q$ est de l'énergie qui franchit une frontière du fait d'une différence de température ; son unité est le joule. Un objet chaud ne « contient » pas de la chaleur comme une matière stockée. Il possède de l'énergie interne, et un transfert thermique peut l'augmenter ou la diminuer. Notre guide du travail et de l'énergie présente le bilan plus général qui rend cette distinction utile.

La capacité thermique massique $c$ dépend du matériau et de sa phase. En SI, elle représente des joules par kilogramme et par kelvin : $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Pour l'eau liquide, les exercices introductifs utilisent souvent $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ; pour le cuivre, $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ; pour l'aluminium, $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Ces nombres donnent l'énergie nécessaire pour élever d'un kelvin un kilogramme d'une substance restée dans la même phase. Comme $c$ peut varier avec la température, nos calculs le supposent approximativement constant sur l'intervalle étudié.

La capacité thermique d'un échantillon particulier est $C=mc$, en $\mathrm{J/K}$. Si vous doublez la masse du même matériau, $C$ double tandis que $c$ ne change pas. Pour $0{,}250\ \mathrm{kg}$ d'eau, $C=0{,}250(4186)=1046{,}5\ \mathrm{J/K}$. Il lui faut environ $1047\ \mathrm{J}$ pour gagner un kelvin dans ce modèle. Distinguer $c$ de $C$ évite une erreur fréquente dans les mélanges.

Lire Q = mcΔT avec des unités cohérentes

La variation de température est finale moins initiale :

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

Ici $m$ est la masse et $Q$ l'énergie transférée vers l'objet considéré. Un $\Delta T$ positif donne un $Q$ positif lors de la chauffe. Un $\Delta T$ négatif donne un $Q$ négatif lors du refroidissement. L'équation décrit une variation de température dans une seule phase, si $c$ peut être considéré constant sur cet intervalle.

Lorsque $c$ est en $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$, la masse doit être en kilogrammes et la différence de température en kelvins. Une différence en degrés Celsius a la même valeur numérique : de $20^\circ\mathrm{C}$ à $60^\circ\mathrm{C}$, la variation est $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$. On n'ajoute pas 273,15 à une différence. Vous pouvez aussi employer $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ avec une différence en degrés Celsius, mais ne combinez pas une masse en grammes avec une valeur de $c$ donnée par kilogramme.

Vérifiez les grandeurs et les unités dans ce tableau avant de remplacer les variables par des valeurs. Chaque ligne relie la lecture physique de l'énoncé à une substitution valable dans la formule. Si un résultat paraît étrange, vérifiez d'abord ces conversions. Ce réflexe apparaît aussi dans nos erreurs de physique qui sont des erreurs de maths.

Exemple 1 : énergie pour chauffer de l'eau

Chauffons $0{,}250\ \mathrm{kg}$ d'eau liquide de $20^\circ\mathrm{C}$ à $60^\circ\mathrm{C}$. Prenons $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. L'eau reste liquide ; nous négligeons l'énergie absorbée par le récipient et l'air. La variation est $\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$. Donc

$$Q=(0{,}250)(4186)(40)=41\,860\ \mathrm{J}=41{,}86\ \mathrm{kJ}.$$

Contrôle sans refaire toute la multiplication : la capacité thermique de l'échantillon vaut $1046{,}5\ \mathrm{J/K}$. Une hausse de $40\ \mathrm{K}$ demande $40(1046{,}5)=41\,860\ \mathrm{J}$. Les unités sont cohérentes : $\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$. Le signe positif convient à une énergie reçue par l'eau.

Si un appareil de chauffage fournit davantage, une part peut aller au récipient et à l'air ambiant. $Q=mc\Delta T$ a calculé l'énergie reçue par l'eau, pas nécessairement l'énergie électrique prise à la prise.

Exemple 2 : trouver une masse ou une variation de température

Supposons que $12\,558\ \mathrm{J}$ soient transmis à de l'eau liquide et que sa température augmente de $20\ \mathrm{K}$. Réarrangeons avant de remplacer les valeurs :

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12\,558}{4186(20)} =0{,}150\ \mathrm{kg}.$$

Cela fait $150\ \mathrm{g}$. La substitution inverse donne $0{,}150(4186)(20)=12\,558\ \mathrm{J}$. Si l'on trouvait $150\ \mathrm{kg}$, il faudrait d'abord rechercher un oubli de conversion des grammes.

Changeons d'inconnue : $0{,}500\ \mathrm{kg}$ d'aluminium reçoivent $9000\ \mathrm{J}$. Avec $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, l'élévation de température vaut

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0{,}500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

Si l'échantillon commence à $20^\circ\mathrm{C}$, il termine à $40^\circ\mathrm{C}$. La hausse est de $20\ \mathrm{K}$ ; les températures initiale et finale sont exprimées en Celsius. C'est compatible parce que les incréments des deux échelles sont égaux, même si leurs zéros diffèrent.

Exemple 3 : refroidissement et Q négatif

Un morceau de cuivre de $0{,}200\ \mathrm{kg}$ refroidit de $80^\circ\mathrm{C}$ à $30^\circ\mathrm{C}$. Avec $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, $\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$ :

$$Q_{Cu}=(0{,}200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

Le signe moins indique que de l'énergie a quitté le cuivre, puisque nous comptons $Q$ positif vers l'objet. Le cuivre a cédé $3870\ \mathrm{J}$ en valeur absolue. Cela ne signifie pas qu'il « contient une chaleur négative ». Si un autre objet reçoit toute cette énergie dans un dispositif isolé, son $Q$ est $+3870\ \mathrm{J}$. Dans un dispositif ouvert, une part peut aller à l'environnement ; sans autre donnée, on ne peut pas attribuer tout le transfert à un seul destinataire.

L'ordre de grandeur se vérifie : le morceau de cuivre a une capacité thermique de $0{,}200(387)=77{,}4\ \mathrm{J/K}$. Multipliez par une baisse de $50\ \mathrm{K}$ pour obtenir $3870\ \mathrm{J}$, puis mettez le signe moins pour l'énergie sortante.

Exemple 4 : mélanger du cuivre chaud et de l'eau froide

Plongeons $0{,}200\ \mathrm{kg}$ de cuivre initialement à $90^\circ\mathrm{C}$ dans $0{,}300\ \mathrm{kg}$ d'eau liquide initialement à $20^\circ\mathrm{C}$. Imaginons un récipient isolé de capacité thermique négligeable, sans changement d'état. Les deux atteignent une température finale commune $T_f$. L'énergie cédée par le cuivre égale celle gagnée par l'eau :

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0{,}200)(387)(T_f-90) +(0{,}300)(4186)(T_f-20)=0.$$

Les capacités thermiques sont $77{,}4\ \mathrm{J/K}$ pour le cuivre et $1255{,}8\ \mathrm{J/K}$ pour l'eau. En réarrangeant :

$$T_f=\frac{77{,}4(90)+1255{,}8(20)}{77{,}4+1255{,}8} =24{,}06^\circ\mathrm{C}.$$

Cette température est entre $20^\circ\mathrm{C}$ et $90^\circ\mathrm{C}$ et plus proche de celle de départ de l'eau, dont la capacité thermique de l'échantillon est bien plus grande. Un résultat supérieur à $90^\circ\mathrm{C}$ ou inférieur à $20^\circ\mathrm{C}$ contredirait l'hypothèse d'absence d'énergie extérieure.

Vérifions avec la valeur non arrondie : pour le cuivre, $Q_{Cu}=77{,}4(24{,}0639-90)=-5103{,}45\ \mathrm{J}$ ; pour l'eau, $Q_w=1255{,}8(24{,}0639-20)=+5103{,}45\ \mathrm{J}$. Leur somme est nulle à l'arrondi près. La section calorimétrie d'OpenStax utilise le même bilan pertes plus gains. Un vrai récipient absorberait aussi de l'énergie ; sa capacité devrait entrer dans un bilan plus précis.

Quand l'équation ne convient plus

L'équation suppose une variation de température dans une seule phase. Pendant la fusion ou l'ébullition, de l'énergie peut entrer alors que la température reste presque constante pendant la transition. Poser $\Delta T=0$ dans $mc\Delta T$ et conclure qu'aucune énergie n'est nécessaire emploierait le mauvais modèle. Découpez le processus en étapes de chauffe avec $mc\Delta T$ et étapes de changement d'état avec $mL$, lorsque l'énoncé fournit la chaleur latente adaptée. OpenStax traite ces changements à part.

La capacité thermique massique n'est pas non plus parfaitement constante à toute température ou dans tout état. Un système ouvert ne retient pas toute l'énergie transférée dans le seul échantillon nommé. Un exercice introductif fournit en général $c$ et précise quelles pertes négliger. Notez ces hypothèses à côté de la formule. Pour une expérience ou un appareil réel, il faut mesurer ou modéliser le récipient, l'environnement et la dépendance à la température plutôt que forcer une seule valeur de manuel.

Pour un nouveau problème, inscrivez l'objet, sa masse en kilogrammes, son matériau et sa phase, $c$ avec unité et $T_f-T_i$. Décidez si $Q$ entre dans l'objet ou en sort. Dans un mélange, écrivez un $Q$ signé pour chaque objet, et annulez leur somme seulement si le système est supposé isolé. Le thème Chaleur et température de Physics Zen vous entraîne sur cette mise en place avec des valeurs renouvelées et des solutions détaillées. Le contrôle des unités et du bilan doit faire partie du calcul, pas venir après.