Lentilles minces : relation de conjugaison et exemples corrigés

Placez un objet devant une lentille convergente et rapprochez-le du verre. À certaines positions, vous pouvez placer un écran de l'autre côté et voir une image nette. Rapprochez l'objet à une distance inférieure à la focale : l'écran ne capte plus une telle image. Pourtant, en regardant à travers la lentille, l'objet peut paraître agrandi. L'équation des lentilles minces décrit les deux cas, à condition que les signes indiquent de quel côté de la lentille les rayons se rencontrent réellement, ou semblent se rencontrer.

Le calcul est court. La plupart des erreurs apparaissent plus tôt : il manque un schéma, on attribue une distance positive à une image virtuelle, ou on prend le signe du grandissement pour une taille. Nous garderons une convention explicite du début à la fin et vérifierons chaque réponse avec un schéma de rayons.

Dessinez la lentille avant de choisir les signes

Tracez un axe principal horizontal et une ligne verticale pour la lentille. Placez l'objet à gauche. Dans les situations ci-dessous, la lumière se propage de gauche à droite. Marquez un foyer à la distance $|f|$ de la lentille de chaque côté. Ce simple schéma vous donnera un emplacement pour l'image après le calcul.

Pour une lentille convergente, un rayon issu du sommet de l'objet et parallèle à l'axe ressort en direction du foyer éloigné. Un rayon passant par le centre de la lentille continue approximativement tout droit dans le modèle des lentilles minces. Le croisement de ces rayons sortants forme une image réelle. Si les rayons sortants s'écartent, prolongez-les vers l'arrière par des traits pointillés. Leurs prolongements arrière se rencontrent au niveau de l'image virtuelle ; aucun rayon sortant réel ne s'y rencontre. Une lentille divergente fait s'écarter un rayon incident parallèle comme s'il venait du foyer proche.

Ces rayons sont idéalisés. Une lentille a une épaisseur et l'imagerie réelle peut s'écarter de l'approximation des lentilles minces et des rayons paraxiaux. L'équation et les schémas de cet article supposent des rayons proches de l'axe principal et de petits angles. La section d'OpenStax consacrée aux lentilles minces présente l'équation, les constructions des rayons et la convention utilisée ici.

L'équation et une seule convention de signes

Notons $d_o$ la distance de l'objet à la lentille, $d_i$ la distance de l'image et $f$ la distance focale. Alors

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

Les trois distances doivent employer la même unité. Les centimètres conviennent si toutes les distances sont en centimètres ; les mètres conviennent si toutes sont en mètres. Le résultat conserve cette unité. Pour trouver la distance de l'image, réarrangez l'équation avant d'entrer les nombres :

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Nous utilisons la convention réel positif pour un objet réel ordinaire du côté de la lumière incidente :

Grandeur	Positive	Négative
$d_o$	Objet réel, comme dans tous les exemples ici	Objet virtuel, hors du cadre de cette leçon
$f$	Lentille convergente	Lentille divergente
$d_i$	Image réelle du côté opposé	Image virtuelle du côté de l'objet

Certains cours utilisent une convention de coordonnées cartésiennes avec d'autres positions signées. Ne transférez pas les signes d'une convention à l'autre au milieu d'un calcul. Si votre cours emploie une autre équation, appliquez ses définitions de façon cohérente. Les questions physiques restent les mêmes : dans quel sens les rayons se propagent-ils, où se rencontrent-ils et comment l'image est-elle orientée ?

Au lycée et au bac, la même loi s'écrit sous la forme de la relation de conjugaison, avec des distances algébriques mesurées depuis le centre optique $O$ et orientées dans le sens de la lumière : $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}$, et le grandissement s'écrit $\gamma=\overline{OA'}/\overline{OA}$. Le passage d'une notation à l'autre est direct : $\overline{OA}=-d_o$ (un objet réel est avant la lentille, donc $\overline{OA}$ est négatif), $\overline{OA'}=d_i$, $f'=f$ et $\gamma=m$. En remplaçant, la relation de conjugaison redonne exactement l'équation utilisée ici, et $\gamma=d_i/(-d_o)=m$. Les résultats numériques de cet article restent donc valables ; seul le signe affiché pour la position de l'objet change.

Exemple corrigé : image réelle avec une lentille convergente

Placez un objet à $30\ \mathrm{cm}$ devant une lentille convergente de focale $f=+10\ \mathrm{cm}$. L'objet se trouve au-delà d'une distance focale ; une image réelle du côté opposé est donc plausible. Prenez $d_o=+30\ \mathrm{cm}$ :

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

On obtient donc $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. Le signe positif place l'image de l'autre côté de la lentille. Vérification par substitution : $1/10=1/30+1/15$. Sur votre schéma, le rayon parallèle est réfracté par le foyer éloigné et le rayon central le coupe à cet endroit. L'image est réelle : un écran idéal placé dans ce plan peut intercepter les rayons convergents.

L'image est plus petite et renversée. Pour le calculer au lieu de le deviner, utilisez le grandissement.

Grandissement : distinguer orientation et taille

Avec la même convention, le grandissement transversal signé est

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

où $h_o$ et $h_i$ sont les hauteurs de l'objet et de l'image mesurées depuis l'axe principal. Un $m$ négatif signifie que l'image est renversée ; un $m$ positif signifie qu'elle est droite. La valeur absolue $|m|$ est le facteur d'échelle de sa hauteur. Ce n'est pas une longueur et elle n'a pas d'unité.

Pour la première lentille, $m=-15/30=-0.50$. Un objet de hauteur $4.0\ \mathrm{cm}$ aurait $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. Le signe indique que son sommet apparaît sous l'axe, tandis que la valeur absolue de sa hauteur est $2.0\ \mathrm{cm}$. Ne décrivez pas une hauteur négative comme une taille physiquement négative.

Exemple corrigé : image virtuelle agrandie

Gardez une lentille convergente de focale $f=+12\ \mathrm{cm}$, mais placez l'objet à seulement $8.0\ \mathrm{cm}$. Comme $d_o<f$, les rayons sortants divergent. Leurs prolongements arrière se rencontrent du côté de l'objet. Prévoyez $d_i<0$ avant de calculer :

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

L'image virtuelle est située à $24\ \mathrm{cm}$ de la lentille, du côté de l'objet. Le grandissement vaut

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

Dans ce modèle idéal, l'image est donc droite et trois fois plus haute que l'objet. Aucun écran placé à l'emplacement de l'image virtuelle ne peut y capter un faisceau de rayons qui forme cette image ; sa position provient du prolongement arrière des rayons sortants. C'est la différence essentielle entre voir une image virtuelle et projeter une image réelle sur un écran.

Exemple corrigé : lentille divergente

Prenez maintenant une lentille divergente de focale $f=-15\ \mathrm{cm}$. Placez un objet réel à $30\ \mathrm{cm}$ devant elle. La focale négative est essentielle : $+15\ \mathrm{cm}$ décrirait une autre lentille.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Ainsi, $d_i=-10\ \mathrm{cm}$ : l'image est virtuelle et du côté de l'objet. Le grandissement est $m=-(-10)/30=+1/3$ : l'image est droite et mesure un tiers de la hauteur de l'objet. Sur le schéma, les rayons sortant de la lentille s'écartent. Leurs prolongements arrière se croisent entre la lentille et son foyer proche. Vérifiez l'équation sans perdre les signes : $-1/15=1/30-1/10$.

Pour un objet réel et une simple lentille divergente dans ce modèle, attendez-vous à une image virtuelle, droite et réduite. Le calcul précédent montre ce comportement pour un choix de distances ; c'est le $f$ négatif qui l'explique.

Que se passe-t-il au plan focal ?

Dans l'équation réarrangée $d_i=fd_o/(d_o-f)$, le dénominateur tend vers zéro quand un objet réel approche la distance focale d'une lentille convergente. Juste au-delà de $f$, $d_i$ devient grand et positif. Juste en deçà, il devient grand et négatif. Exactement pour $d_o=f$, on a $1/d_i=0$ : les rayons sortants sont parallèles dans le modèle idéal et il n'y a aucune distance d'image finie à indiquer.

Ne saisissez pas $d_o=f$ dans la fraction pour appeler le message de division par zéro de votre calculatrice un résultat physique. Dessinez les rayons parallèles et dites que l'image se trouve à l'infini dans le modèle idéal.

Trois exercices à essayer, puis à vérifier

1. Image réelle et hauteur. Une lentille convergente a $f=+20\ \mathrm{cm}$. Un objet réel de hauteur $3.0\ \mathrm{cm}$ se trouve à $60\ \mathrm{cm}$. Trouvez la distance et la hauteur de l'image. Calcul : $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, donc $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Puis $m=-30/60=-0.50$ et $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. L'image réelle est renversée et deux fois moins haute.

2. À l'intérieur de la distance focale. Une lentille convergente a $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ et un objet réel à $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Trouvez l'image et le grandissement. Calcul : $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, donc $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Puis $m=-(-18)/6.0=+3.0$. L'image est virtuelle, droite et agrandie.

3. Lentille divergente. Un objet réel se trouve à $24\ \mathrm{cm}$ d'une lentille de focale $f=-12\ \mathrm{cm}$. Trouvez la distance et la nature de l'image. Calcul : $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, donc $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Puisqu'elle se situe du côté de l'objet, l'image est virtuelle. De plus, $m=-(-8)/24=+1/3$ : elle est droite et réduite.

Le comportement d'une lentille commence par un changement de direction de la lumière. Notre guide de la loi de Snell-Descartes explique la réfraction à une interface. Pour vous entraîner aux calculs de lentilles et à la nature des images, consultez le thème Optique de Physics Zen. Les guides de physique A-level, de l'Abitur de physique et du bac de physique situent l'optique dans un programme de révision plus large.