仕事とエネルギーを直感で理解する：運動の収支を追う

ニュートンの第2法則を使えば、どの瞬間の加速度も求められます。しかし、多くの問題にはそこまでの情報は必要ありません。曲がった滑り台の上から球を放し、下での速さだけを知りたいとします。第2法則を使うなら、曲がりに応じて向きが変わる力を経路上の各点で求め、全経路にわたって積分する必要があります。

仕事とエネルギーを使えば、その経路を飛ばして計算できます。運動と位置という2列の収支を考え、途中で入った分と出た分を数えれば、2つの時点の残高を比べられます。加速度を求める必要はありません。上での残高と下での残高を比較します。

これは運動学を直感で理解する記事とニュートンの法則を直感で理解する記事に続く、力学シリーズの3本目です。仕事に何を数えるか、運動エネルギーと位置エネルギーの由来、保存則を収支として考える理由、摩擦力をどう加えるか、仕事率が何を測るか、エネルギーとニュートンの法則の使い分けを扱います。

エネルギーは目に見える物体ではなく、追跡する数

エネルギーそのものを見た人はいません。見えるのは動く球や、高い場所にある球です。物理では、それぞれの状態に数を割り当て、特定の和が一定になるようにします。これがエネルギーという考え方を使う理由です。19世紀の物理学者は、運動と位置に適切な量を定義すれば、途中の動きがどれほど複雑でも、最後の合計は最初の合計に外力が加えたり取り去ったりした分を足し引きした値になることに気づきました。

エネルギーを口座の残高として考えましょう。運動エネルギーは動きとしての残高、位置エネルギーは位置としての残高です。仕事は入金または引き出しで、エネルギー保存則はすべての取引を足し合わせた明細です。

仕事は力と、その力が働いた距離の積

仕事は、力を受ける物体が動く間にその力がしたことを表します。力が押す方向へ物体を距離 $d$ だけ動かすなら、仕事は

$$W = F d$$

です。単位はジュールで、1ニュートンの力が1メートルにわたって働いた量です。力が移動方向と異なる向きなら、移動方向の成分だけを数えます。

$$W = F d \cos\theta$$

ここで $\theta$ は力と変位のなす角です。多くの試験問題は次の3つの場合で考えられます。

• 力が移動方向と同じ、 $\theta = 0$。力は運動を助け、$\cos 0 = 1$ なので仕事は正です。収支への入金になります。
• 力が移動と反対向き、 $\theta = 180^\circ$。力は運動に逆らい、$\cos 180^\circ = -1$ なので仕事は負です。引き出しに当たります。動摩擦力は常にこの場合です。
• 力が移動と垂直、 $\theta = 90^\circ$。仕事はゼロです。平らな床の垂直抗力、球を円運動させるひもの張力、水平に動く物体に働く重力は、どれほど大きくても仕事をしません。

垂直な場合は意外に思うかもしれません。力が働いているなら数えるべきだと感じるからです。しかし、仕事は運動に沿って移ったエネルギーを測ります。直角に働く力は進行方向を変えても運動のエネルギーは変えません。そのため、軌道を回る衛星は同じ速さを保ち続けます。

仕事はスカラー量です。符号はありますが向きはありません。入金と引き出しを普通の数として足せるため、収支を計算できます。

運動エネルギーには仕事の結果が見える

質量 $m$ の物体を静止状態から、一定の合力 $F$ で距離 $d$ だけ押します。ニュートンの法則から加速度は $a = F/m$、運動学から最終的な速さは $v^2 = 2ad$ です。代入して整理すると、

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

となります。左辺は行った仕事、右辺は物体が新たに持つ量です。この量を運動エネルギーと呼びます。

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

最初の速さがゼロではない場合も同じ代数計算をすれば、仕事とエネルギーの定理が得られます。

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

この式から、運動エネルギーの役割がわかります。物体に働くすべての力の仕事を符号付きで足した正味の仕事は、運動エネルギーの変化に等しくなります。正なら速さが増え、負なら減ります。力がどれほど激しくても、正味の仕事がゼロなら速さは変わりません。

2つの点に注目してください。運動エネルギーは $v^2$ に比例するので、速さを2倍にするとエネルギーは4倍です。時速100 kmの車が時速50 kmの車より4倍の制動距離を要する理由です。また、運動エネルギーは負になりません。後ろ向きに動く物体も、同じ速さで前向きに動く物体と同じ運動エネルギーを持ちます。

位置エネルギーは取り戻せる仕事

質量 $m$ の本を、一定の速さで高さ $h$ だけ持ち上げます。重力に逆らって $mgh$ の仕事をしますが、最初と最後で本の運動エネルギーは同じです。仕事はどこへ行ったのでしょうか。

位置として蓄えられました。本を放すと、落下中に重力が $mgh$ の仕事をし、着地時にはちょうど $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$ の運動エネルギーを持ちます。持ち上げるときの仕事は消えず、重力による位置エネルギーとして蓄えられたのです。

$$U_g = m g h$$

APコースでは $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$、A-Levelコースでは $9.81\,\mathrm{m/s^2}$ を使います。問題で指定された値に従ってください。

ばねでも同じ考え方で、弾性エネルギーを求められます。ばね定数 $k$ のばねを自然長から距離 $x$ だけ縮めたり伸ばしたりしたとき、蓄えられるエネルギーは

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

です。2分の1が付くのは、縮める間にばねの力がゼロから $kx$ まで増え、平均の力が最後の力の半分になるからです。

位置エネルギーを定義できるのは、仕事が始点と終点だけで決まり、通った経路に依存しない力に限られます。重力とばねの力にはその性質があります。摩擦力にはありません。長い経路ほど摩擦力の仕事が増えるからです。したがって摩擦力の位置エネルギーはなく、別の方法で扱います。この性質を持つ力を保存力と呼び、それぞれを収支の1列にできます。

便利な自由度があります。$h = 0$ の場所は自分で決められます。大切なのは位置エネルギーの変化だけなので、問題の最も低い地点をゼロにすれば、すべての高さを正にできます。

保存則：収支を合わせる

2列を合わせましょう。仕事をする力が重力やばねの力のような保存力だけなら、力学的エネルギーの合計は変わりません。

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

この式を使えば経路を飛ばせます。高さ $h$ の曲がった滑り台を下る球は、下で $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$ となり、$v = \sqrt{2gh}$ です。滑り台の形は計算に入りません。最下点より高さ $h$ から放した振り子も、ひもの長さに関係なく、最下点で $\sqrt{2gh}$ の速さになります。最初の山から $\Delta h$ 低い次の山の頂上にあるジェットコースターは、静止状態から出発したなら $\sqrt{2 g \Delta h}$ で動いています。

質量はしばしば約分されます。偶然ではありません。すべての物体が同じ割合で落下するという事実を、エネルギーの側から見たものです。

摩擦力があると、この等式は一定の形で変わります。動摩擦力は滑る物体に負の仕事 $-f d$ をします。$f$ は摩擦力、$d$ は実際に滑った距離です。収支に加えると、

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

となります。$f d$ は力学的エネルギーの収支から出て、熱になった分です。宇宙全体から消えたわけではありませんが、この問題で使える力学的エネルギーからは失われました。長さ $d$ の粗い斜面を滑り下りた物体は、$mgh$ より少ない運動エネルギーで下に着きます。差はちょうど $f d$ で、$f = \mu N$ はニュートンの法則の記事の摩擦力の節で扱っています。

同じ項で、粗い床を滑って止まる物体も説明できます。最初の運動エネルギーはすべて $f d$ になるので、停止距離は $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$ です。質量にはまったく依存しません。

仕事率はエネルギーを移す速さを表す

仕事は移ったエネルギーの量を示し、仕事率はその速さを示します。

$$P = \frac{W}{t}$$

単位はワット、つまりジュール毎秒です。60 Wの電球は毎秒60ジュールのエネルギーを移します。1 kWの電気ケトルなら毎秒1000ジュールです。

一定の速さで動く物体を押す力については、より使いやすい形があります。仕事は $F d$、時間 $t$ の間に動く距離は $v t$ なので、

$$P = F v$$

です。車の問題によく現れます。一定の速さで走る車の合力はゼロなので、エンジンの前向きの力は抵抗力の合計と等しく、エンジンの仕事率はその抵抗力と速さの積です。高速道路で速さを2倍にすると、空気抵抗はおおよそ $v^2$ に比例して増えるため、必要な仕事率はおおよそ $v^3$ に比例して増えます。

単位の落とし穴が1つあります。キロワット時は仕事率ではなくエネルギーです。1000 Wを3600 s続けた量、つまり $3.6 \times 10^6$ ジュールです。電気料金の請求書はエネルギーを、ケトルに記された値は仕事率を示します。

エネルギーとニュートンの法則の使い分け

2つの方法は異なる問いに答えます。方法を選び間違えると、力学の問題で時間を浪費しがちです。

エネルギーを使う場合：

• 2地点の状態がわかり、片方での速さや高さを求めたい。
• 経路が曲がるか、その途中で力の向きが変わる。
• 時間、加速度、力を問われていない。
• 非保存力が、既知の距離にわたる摩擦力だけである。

ニュートンの法則を使う場合：

• 力、張力、垂直抗力、加速度を問われている。
• 時間が必要である。エネルギーの式には時間が現れない。
• 非保存力が経路上で変わり、$f d$ として簡単にまとめられない。
• 円運動で向心力の条件が必要である。

両方を使う問題も多くあります。エネルギーを使ってループの最下点での速さを求め、そこでの垂直抗力をニュートンの法則で求めます。逆の順序で使うこともあります。重要なのは問題が実際に求める量を見極めることです。

仕事とエネルギーが役立つところ

運動学は運動を記述し、ニュートンの法則は理由を説明します。仕事とエネルギーを使えば、最初と最後を比べ、途中の各段階を追わずに済みます。ただし情報も失います。所要時間や特定の瞬間に働いた力はエネルギーだけではわかりません。一方で経路の形が重要でなくなり、ニュートンの法則で難しくなる部分を飛ばせます。

力学の後の分野でもこの収支を使います。運動量は同様に考えるもう1つの保存量です。単振動では、エネルギーが運動とばねの列を行き来します。熱力学では、熱の列も加えた同じような収支を取ります。

身につけるには、物理を効果的に学ぶ方法の流れを使いましょう。2つの時点を選び、収支を書き、非保存力の仕事をすべて加え、解いてから単位と極限を確かめます。Physics Zenの仕事とエネルギーでは、斜めに働く力の仕事、運動エネルギーと位置エネルギー、摩擦の有無による保存則を、毎回異なる数値で練習できます。仕事率は最後のPremium対象スキルです。特定の答えではなく収支を覚えられます。