반감기 공식은 무엇인가요?

시간 t 뒤에 남은 양은 N = N0 × (1/2)^(t/T)입니다. N0은 처음 양, T는 반감기입니다. 같은 법칙을 붕괴 상수 λ = ln 2 / T를 써서 N = N0 × e^(-λt)로도 씁니다.

두 측정값으로 반감기를 어떻게 구하나요?

처음 값을 나중 값으로 나누고, 그 비의 밑이 2인 로그를 구하면 지난 반감기의 횟수가 나옵니다. 경과 시간을 그 횟수로 나누면 반감기입니다. 3.0시간 동안 800 Bq가 500 Bq로 줄었다면 비 1.6에서 약 0.678번이 나오므로 T는 약 4.4시간입니다.

반감기가 열 번 지나면 아무것도 남지 않나요?

모형에서는 (1/2)^10, 즉 처음 원자핵의 약 0.098%가 남습니다. 공식상으로는 양이 정확히 0이 되지 않습니다. 다만 작은 시료에서는 원자핵 수가 결국 아주 적어져 개별 붕괴의 통계적 요동이 중요해집니다.

방사능도 원자핵 수와 같은 반감기로 줄어드나요?

그렇습니다. 방사능은 A = λN이고 λ는 핵종마다 일정하므로, 방사능은 N과 같은 비율로 줄어듭니다. 붕괴하지 않은 원자핵 수가 절반이 되면 그 핵종에서 나오는 계수율도 절반이 됩니다. 배경 방사선과 검출기 영향은 별도입니다.

반감기 공식: 방사성 붕괴 계산 예제와 풀이

정오에 한 시료의 방사능이 1200베크렐로 측정됩니다. 이 동위원소의 반감기는 6.0시간입니다. 다음 날 오전 6시에 검출기는 얼마를 가리킬까요? 1200에서 같은 양을 세 번 빼는 것이 답이 아닙니다. 반감기가 한 번 지날 때마다 그때 남아 있는 양의 절반이 사라지므로 측정값은 1200, 600, 300, 150으로 이어집니다. 이 곱셈 규칙이 반감기 공식의 내용 전부입니다.

이 글은 반감기가 정수 번 지나는 단순한 경우부터 시험에서 자주 틀리는 경우까지 공식을 적용해 봅니다. 분수 번의 반감기, 두 측정값으로 반감기 구하기, 붕괴 상수로 바꾸기, 원자핵 수로 방사능 계산하기, 남은 탄소-14로 시료의 연대 구하기입니다. 이 예제들이 연습하는 붕괴 관련 기술은 핵물리 주제에 정리되어 있습니다.

같은 붕괴 법칙의 두 가지 표현

방사성 붕괴는 원자핵 하나에 대해서는 무작위로 일어나지만, 아주 많은 원자핵에 대해서는 매우 규칙적입니다. 처음에 붕괴하지 않은 원자핵이 $N_0$ 개 있고 반감기가 $T_{1/2}$ 일 때, 시간 $t$ 뒤에 남은 수는 다음과 같습니다.

N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.

지수 $t/T_{1/2}$ 는 단순히 지나간 반감기의 횟수입니다. 정수일 필요는 없습니다.

교과서는 붕괴 상수 $\lambda$ 를 써서 법칙을 쓰기도 합니다. OpenStax University Physics 3권 §10.3은 다음 식을 제시합니다.

N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$ 이므로 두 표현은 같습니다. 문제가 반감기 횟수로 말할 때는 반감기 형태를, $\lambda$ 를 주거나 묻는 경우에는 지수 함수 형태를 쓰세요. 모핵종의 질량과 그 방사능에도 같은 관계가 성립합니다. 둘 다 $N$ 에 비례하기 때문입니다.

계산을 시작하기 전에 $t$ 와 $T_{1/2}$ 을 같은 단위로 맞추세요. 시간을 일로 나누면 그럴듯해 보이지만 틀린 수가 나옵니다.

예제 1: 반감기가 정수 번 지난 경우

처음 시료로 돌아갑니다. $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ , $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$ 입니다. 정오부터 오전 6시까지는 18시간이므로 $18/6.0=3$ 번의 반감기가 지납니다.

A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.

간단한 표를 만들면 규칙이 눈에 보이고 계산 실수도 잡아낼 수 있습니다.

정오 이후 시간	지난 반감기 횟수	방사능
0 h	0	1200 Bq
6 h	1	600 Bq
12 h	2	300 Bq
18 h	3	150 Bq

흔히 빠지는 오답은 6시간마다 600 Bq씩 빼서 12시간 뒤 0이 된다고 하는 것입니다. 붕괴는 남아 있는 양에 비례하므로 한 번에 줄어드는 양이 점점 작아집니다.

예제 2: 반감기가 분수 번 지난 경우

어떤 가상의 동위원소의 반감기는 8.0일이고, 선원에는 처음에 이 동위원소가 40 mg 들어 있습니다. 20일 뒤에 이 동위원소는 얼마나 남을까요?

반감기 횟수는 $20/8.0=2.5$ 입니다. 공식은 이것을 그대로 처리합니다.

m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.

크기를 확인해 봅시다. 반감기 2번 뒤라면 10 mg, 3번 뒤라면 5 mg입니다. 5 mg과 10 mg 사이의 답이 맞고, 각 구간의 처음에 곡선이 가장 빠르게 내려가므로 10보다 5에 더 가깝습니다. 10과 5의 한가운데인 7.5 mg은 직선적인 어림이지 붕괴 법칙이 아닙니다.

이 7.1 mg은 남아 있는 모핵종의 양입니다. 시료 전체 질량이 33 mg 줄어드는 것이 아닙니다. 붕괴한 원자 대부분은 딸핵으로 그대로 남아 있습니다.

예제 3: 두 측정값으로 반감기 구하기

순수한 선원에 대해 검출기가 800 Bq를 가리켰고, 3.0시간 뒤 배경 방사선을 뺀 값은 500 Bq였습니다. 반감기는 얼마일까요?

반감기 형태의 식을 반감기 횟수에 대해 풉니다.

\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.

따라서

T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.

검산해 봅시다. 3.0시간 동안 방사능이 절반까지 줄지 않았으므로 반감기는 3.0시간보다 길어야 합니다. 반감기가 음수로 나오거나, 측정값이 아직 절반이 되지 않았는데 경과 시간보다 짧은 반감기가 나왔다면 비를 거꾸로 잡은 것입니다.

감소가 정확히 2의 거듭제곱이면 로그가 필요 없습니다. 10시간 동안 960 Bq에서 240 Bq로 줄었다면 4분의 1, 즉 반감기 2번이므로 $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$ 입니다.

예제 4: 원자핵 수로 붕괴 상수와 방사능 구하기

어떤 선원에 동위원소의 원자핵이 $N=2.0\times10^{15}$ 개 들어 있고, 이 동위원소의 반감기는 $T_{1/2}=8.0$ 일입니다. 방사능은 몇 베크렐일까요?

방사능은 초당 붕괴 수이므로 먼저 반감기를 초로 바꿉니다. $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$ . 그다음

\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},

A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.

반감기를 일 단위 그대로 두면 답이 하루당 붕괴 수로 나오고, 베크렐 값의 약 86 400배가 됩니다. $\lambda$ 의 단위가 $A$ 의 단위를 정합니다.

예제 5: 딱 떨어지지 않는 탄소-14 연대 측정

OpenStax는 탄소-14의 반감기를 5730년으로 제시합니다. 어떤 나무 물건의 그램당 탄소-14 방사능이 비슷한 살아 있는 나무의 30%입니다. 처음 비율이 같았다고 가정하면 이 물건은 몇 년 되었을까요?

t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.

이 물건은 약 10 000년 되었습니다. 범위를 확인해 봅시다. 25%가 남았다면 정확히 반감기 2번, 즉 11 460년입니다. 30%는 25%보다 조금 많으므로 연대는 그보다 조금 짧아야 하고, 실제로 그렇습니다.

이 답은 처음 비율이 살아 있는 물질과 같았다는 가정에 기대고 있습니다. 실제 방사성 탄소 연대 측정 실험실은 대기 중 탄소-14의 변화를 반영해 보정합니다. 여기서는 물리 연습 문제로 보고, 실험실의 연대 측정으로 받아들이지는 마세요.

점수를 잃기 쉬운 실수

같은 양씩 빼기. 반감기마다 그때의 양이 절반이 됩니다. 직선적인 뺄셈은 0에 닿지만 붕괴 법칙은 결코 0이 되지 않습니다.
시간 단위 섞기. $t$ 와 $T_{1/2}$ 은 같은 단위여야 하고, 방사능을 베크렐로 구하려면 $\lambda$ 는 $\mathrm{s^{-1}}$ 로 나타내야 합니다.
log와 ln 혼동. $\ln 2\approx0.693$ 이지만 $\log_{10}2\approx0.301$ 입니다. 비의 $\log_{10}$ 를 구했다면 0.693이 아니라 $\log_{10}2$ 로 나누세요. 이런 함정은 사실은 수학 실수인 물리 실수에서 더 다룹니다.
모핵종과 시료 전체 혼동. 공식이 따라가는 것은 붕괴하지 않은 모핵종이지 시료 전체 질량이 아닙니다.
배경 방사선 무시. 실험실에서 잰 계수율에는 배경 방사선이 들어 있습니다. 비를 구하기 전에 빼세요.

답이 있는 연습 문제 세 개

문제 1. $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ 인 동위원소가 6400 Bq에서 시작합니다. 60시간 뒤 방사능은? 반감기 4번이므로 $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$ 입니다.

문제 2. 반감기 1.5번이 지나면 시료의 몇 퍼센트가 남나요? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$ , 즉 약 35%이며 25%가 아닙니다.

문제 3. 배경을 뺀 계수율이 36분 동안 분당 1000에서 125로 줄었습니다. 반감기는? 비 8은 반감기 3번이므로 $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$ 입니다.

반감기 문제는 거의 모든 고등학교 물리 과정에 나옵니다. A-level Physics 대비 가이드에서 방사성 붕괴가 다른 현대 물리 기술 사이에서 어디에 놓이는지 볼 수 있습니다. 어떤 과정이든 순서는 같습니다. 단위를 맞추고, 반감기 횟수를 $t/T_{1/2}$ 로 세고, 필요하면 지수를 분수로 두고, 답이 앞뒤 정수 번 값 사이에 들어가는지 확인하세요.