뉴턴 운동 법칙을 직관적으로 이해하기: 운동의 원인

운동학은 물체가 어떻게 움직이는지 말하지만 왜 움직이는지는 말하지 않습니다. 문제에 미는 힘, 줄, 거친 바닥 또는 경사면이 등장하면 운동학을 넘어 이런 질문을 하게 됩니다. “이 물체에 작용하는 합력은 무엇이고, 어떤 가속도를 만드는가?”

뉴턴의 세 법칙은 모두 이 하나의 질문과 연결됩니다. 따로 외울 사실 세 개가 아닙니다. 합력이 가속도를 결정한다는 관계에, 합력이 0일 때 어떤 일이 일어나는지와 힘이 어디에서 생기는지를 덧붙인 것입니다.

운동학을 직관적으로 이해하기를 읽었다면 이 글이 다음 편입니다. 읽으면서 연습하려면 Physics Zen의 힘과 운동 주제에서 뉴턴 법칙, 마찰력, 경사면에 관한 새로운 문제를 풀어 보세요.

제1법칙은 합력이 0일 때를 말합니다

뉴턴의 제1법칙은 흔히 “정지한 물체는 계속 정지하고 운동하는 물체는 계속 운동한다. 단, 힘이 작용하면 달라진다”라고 외웁니다. 하지만 이런 표현은 핵심을 가립니다. 실제 핵심은 합력이 0이면 속도가 변하지 않는다는 것입니다.

여기서는 두 단어가 중요합니다. 합력은 모든 힘을 벡터로 더한다는 뜻입니다. 탁자 위의 책에 다섯 힘이 작용해도 합력은 0일 수 있습니다. 속도에는 방향이 포함됩니다. 따라서 속도가 변하지 않는다는 말은 빨라지거나 느려지거나 방향을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 차가 직선 도로에서 일정한 20 m/s로 달린다면 차에 작용하는 합력은 0입니다. 엔진이 마찰력과 공기 저항을 이겨 내고 있지만 서로 균형을 이루는 것입니다.

함정은 정지를 특별하게 생각하는 것입니다. 정지는 값이 0인 일정한 속도일 뿐입니다. 일정한 속도로 움직이는 물체가 계속 움직이기 위해 합력은 필요하지 않습니다. 일상적인 직관과 어긋나는 대목입니다. 상자를 계속 미끄러뜨리려면 계속 밀어야 한다고 느낍니다. 실제로는 그렇지만, 마찰력이 반대쪽으로 밀기 때문입니다. 마찰력이 없다면 상자는 스스로 계속 미끄러집니다.

제2법칙은 이 주제의 핵심입니다

뉴턴의 제2법칙은 익숙한 식입니다.

$\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$

문장으로 읽어 보세요. 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 합력을 질량으로 나눈 값이며 합력이 향하는 방향을 향합니다. 여기서 세 가지 결과가 나오고 시험 문제는 각각을 다룹니다.

합력을 써야 합니다. 가장 큰 힘도, 문제에서 마지막으로 언급한 힘도 아닙니다. 물체에 작용하는 모든 힘을 벡터로 더해야 합니다. 30 N으로 당기는데 마찰력이 반대쪽으로 30 N 작용한다면, 30 N의 당기는 힘이 아무리 크게 느껴져도 합력과 가속도는 0입니다.

벡터 식입니다. 실제로는 축마다 따로 씁니다. 수평축과 수직축을 정하고 모든 힘을 성분으로 나눈 뒤 $\sum F_x = m a_x$와 $\sum F_y = m a_y$를 각각 적습니다. 비스듬한 힘은 두 식 모두에 들어갑니다. 어떤 축에서 가속도가 없다면 그 축의 합력은 0입니다. 보통 그 식으로 수직항력을 구합니다.

질량은 무게가 아닙니다. 킬로그램 단위의 질량은 물체가 가속에 얼마나 저항하는지 나타냅니다. 무게는 지구가 당기는 힘 $mg$로 단위는 뉴턴입니다. 5 kg짜리 물체의 무게는 $g = 9.8\,\mathrm{m/s}^2$를 쓰는 AP 코스에서는 49 N이고, $g = 9.81\,\mathrm{m/s}^2$를 쓰는 A-Level 코스에서는 49.05 N입니다. 문제에서 지정한 값을 사용하고 뉴턴이 들어갈 곳에 킬로그램을 쓰지 마세요.

단위로도 나머지를 점검할 수 있습니다. 뉴턴은 킬로그램·미터/초²이므로 뉴턴 단위의 힘을 킬로그램 단위의 질량으로 나누면 $\mathrm{m/s}^2$ 단위의 가속도가 됩니다. 다음에 운동학에서 필요한 양이 바로 그것입니다.

실제로 익혀야 할 것은 자유 물체도입니다

힘과 운동 문제에서 틀리는 원인은 대수 계산보다 그림을 잘못 그리거나 생략하는 데 있습니다. 자유 물체도는 물체 하나를 그린 뒤 그 물체에 작용하는 모든 힘을 물체에서 시작하는 화살표로 표시한 것입니다. “거친 바닥 위에서 줄에 끌리는 상자”를 실제로 더할 수 있는 힘으로 바꾸는 단계입니다.

규칙은 적지만 엄격합니다.

• 물체 하나만 그립니다. 물체 두 개가 나오면 그림도 두 개 그립니다. 줄과 줄에 끌리는 물체는 하나의 물체가 아닙니다.
• 물체에 작용하는 힘만 그리고, 물체가 가하는 힘은 그리지 않습니다. 상자가 바닥을 누르지만 그 힘은 바닥의 그림에 들어가지 상자의 그림에는 들어가지 않습니다.
• 속도, 가속도, “ma” 화살표는 힘으로 그리지 않습니다. 운동은 힘이 아닙니다. 가속도 방향을 표시하고 싶다면 물체에서 떨어진 그림 옆에 작은 화살표를 놓으세요.
• 모든 화살표에 이름을 붙입니다. 무게 $mg$, 수직항력 $N$, 장력 $T$, 마찰력 $f$, 가해진 힘 $F$처럼요. 이름 없는 화살표는 힘을 합할 때 빠뜨리기 쉽습니다.

그다음 축을 정하고 각 축에 제2법칙을 쓰세요. 이것이 전부입니다. 엘리베이터, 매달린 등, 밀리는 상자, 미끄러지는 물체를 같은 네 줄의 절차로 다룰 수 있습니다.

수직항력은 고정된 값이 아닙니다

수직항력은 표면이 그 표면에 수직으로 가하는 미는 힘으로, 물체가 표면을 뚫고 지나가지 않도록 합니다. 물체가 탁자 안으로 파고들지 않도록 표면이 필요한 만큼 가하는 힘입니다.

평평한 바닥에서 다른 수직 방향 힘이 없다면 제2법칙의 수직 방향 식은 $N - mg = 0$이므로 $N = mg$입니다. $N = mg$를 습관처럼 쓰게 되는 이유지만, 다른 수직 방향 힘이 생기는 순간 이 습관은 틀립니다.

물체를 아래로 누르면 수직항력이 커집니다. 줄로 위로 당기면 작아집니다. 위로 가속하는 엘리베이터의 체중계는 실제 무게보다 큰 값을 가리킵니다. $N - mg = ma$에서 $N = m(g + a)$이기 때문입니다. 경사면에서는 무게 중 일부만 경사면을 누르므로 수직항력은 무게보다 작은 $mg\cos\theta$입니다. 언제나 해결 방법은 같습니다. $N$을 짐작하지 말고 수직 방향에 제2법칙을 써서 구하세요.

마찰력은 운동이 아니라 미끄러짐을 방해합니다

마찰력에는 두 가지 규칙이 있고, 둘을 혼동하면 이 주제의 다른 어떤 실수보다 점수를 많이 잃습니다.

운동 마찰력은 표면들이 서로 미끄러질 때 작용합니다. 크기는 다음과 같습니다.

$f_k = \mu_k N$

방향은 미끄러짐의 반대쪽입니다. 수직항력에 따라 달라지므로 경사면과 엘리베이터에서의 수직항력이 중요하며, 접촉 면적이나 속력에는 좌우되지 않습니다.

정지 마찰력은 표면들이 서로 미끄러지지 않을 때 작용합니다. 크기가 고정되어 있지 않습니다. 미끄러짐을 막는 데 필요한 만큼만 생기며 최대값은 다음과 같습니다.

$f_s \le \mu_s N$

거친 탁자 위의 물체를 밀지 않으면 마찰력은 0입니다. 약하게 밀면 정지 마찰력이 미는 힘과 정확히 균형을 이룹니다. 힘을 키우면 계속 맞서다가 미는 힘이 $\mu_s N$을 넘을 때 물체가 움직이기 시작하고 보통 계수가 더 작은 운동 마찰력이 작용합니다.

방향 규칙은 운동 전체가 아니라 미끄러짐에 관한 것입니다. 가속하는 자동차의 구동 바퀴에는 정지 마찰력이 앞쪽으로 작용합니다. 정지 마찰력이 없다면 타이어가 도로에 대해 뒤쪽으로 헛돌기 때문입니다. 걸을 때 신발에 작용하는 마찰력도 앞쪽을 향합니다. “마찰력은 운동을 방해한다”라고 외웠다면 “마찰력은 접촉한 표면 사이의 상대적인 미끄러짐을 방해한다”로 바꾸세요. 실제 문제에서도 통하는 표현입니다.

제3법칙은 두 물체의 관계입니다

뉴턴의 제3법칙은 A가 B를 밀면 B도 A를 크기가 같고 방향이 반대인 힘으로 민다는 법칙입니다. “모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 있다”는 익숙한 표현은 맞지만 중요한 사실을 가립니다. 두 힘이 서로 다른 물체에 작용한다는 점입니다.

그래서 제3법칙의 힘 두 개는 서로 상쇄되지 않습니다. 힘이 상쇄되려면 같은 물체에 작용해야 합니다. 지구는 책을 $mg$로 아래로 당기고 책은 지구를 $mg$로 위로 당깁니다. 이 한 쌍에서 하나는 책의 그림에, 다른 하나는 지구의 그림에 들어갑니다. 탁자가 책을 $N$으로 위로 밀고 책은 탁자를 $N$으로 아래로 밉니다. 이 역시 서로 다른 두 그림에 나뉩니다.

정지한 책에 작용하는 무게와 수직항력은 크기가 같고 방향이 반대라 서로 상쇄되지만 제3법칙의 한 쌍은 아닙니다. 지구와 탁자라는 서로 다른 대상이 책에 가하는 서로 다른 힘이며, 책의 가속도가 0이어서 우연히 균형을 이룹니다. 책을 가속하는 엘리베이터에 놓으면 두 힘의 균형은 깨지지만 제3법칙의 모든 힘 쌍은 여전히 정확히 크기가 같습니다.

한 물체의 그림에 “작용”과 “반작용”이라는 화살표가 함께 있다면 둘 중 하나는 잘못된 그림에 있습니다.

경사면은 좌표축만 기울인 평면 문제입니다

경사면은 새로운 종류의 문제처럼 보이지만 그렇지 않습니다. 수평선과 $\theta$를 이루는 표면 위의 물체 문제이며 새로운 생각은 좌표축을 어디에 둘 것인가뿐입니다.

한 축은 경사면을 따라, 다른 축은 경사면에 수직으로 놓으세요. 무게만 두 축에 비스듬하므로 경사면 아래쪽으로 $mg\sin\theta$, 경사면 안쪽으로 $mg\cos\theta$인 두 성분으로 나눕니다. 수직항력은 경사면에 수직인 축에만, 마찰력은 경사면 방향 축에만 있습니다. 경사면을 따라 당기는 힘도 나눌 필요가 없습니다.

그러면 제2법칙의 두 식이 짧아집니다. 경사면에 수직인 방향에는 가속도가 없으므로 $N = mg\cos\theta$입니다. 경사면 방향의 합력은 $mg\sin\theta$에서 마찰력을 빼고 같은 방향의 다른 힘을 부호에 따라 더하거나 뺀 값이며, 이는 $ma$와 같습니다. 마찰력이 없는 경사면에서는 $a = g\sin\theta$가 됩니다. 경사각이 90도면 자유 낙하, 평평한 바닥이면 가속도 0이 나와야 합니다. 매번 해 볼 만한 검산입니다.

두 습관이 부호를 분명히 해 줍니다. 식을 쓰기 전에 경사면을 따라 어느 쪽을 양의 방향으로 삼을지 정하고, 아래로 미끄러지는 물체의 마찰력은 경사면 위쪽으로, 위로 밀려 올라가는 물체의 마찰력은 아래쪽으로 작용한다는 점을 기억하세요.

힘과 운동을 배우는 이유

운동학에서는 가속도가 일정할 때 쓰는 세 식을 배웠습니다. 힘과 운동은 그 가속도가 얼마인지 알려 줍니다. 연결하는 방법은 언제나 같습니다. 자유 물체도를 그리고 각 축에 제2법칙을 쓴 다음 $a$를 구하세요. 그 $a$를 운동학 식에 넣어 이동 거리, 속력, 시간을 구합니다.

이후의 역학 주제는 모두 같은 원리를 더 빠르게 쓰는 방법입니다. 일과 에너지를 이용하면 두 지점의 속력만 필요할 때 가속도를 계산하지 않아도 됩니다. 운동량을 이용하면 충돌 내부의 힘을 계산하지 않아도 됩니다. 원운동은 가속도가 원의 중심을 향하는 제2법칙입니다. 자유 물체도가 필요 없어지는 것은 아닙니다. 다만 그림을 그리는 횟수가 줄어듭니다.

방법을 몸에 익히려면 물리를 효과적으로 공부하는 법의 흐름을 따르세요. 상황을 보고 물체를 그린 뒤 힘을 합하고 풀고 단위와 극한을 확인합니다. Physics Zen의 힘과 운동 주제에서는 뉴턴 법칙과 마찰력에 관한 문제를 새로운 값으로 무료로 연습할 수 있고, 경사면 문제는 프리미엄으로 연습할 수 있습니다. 특정 답이 아니라 그림이 기억에 남도록 해 줍니다.