물컵 속 빨대는 수면에서 꺾여 보일 수 있습니다. 빨대 자체가 꺾인 것은 아닙니다. 물속 부분에서 나온 빛이 물에서 공기로 이동하며 방향을 바꿉니다. 눈은 그 광선이 물속에서도 같은 방향으로 직진했다고 거꾸로 추적하기 때문입니다. 이렇게 방향이 바뀌는 현상이 굴절입니다.

광선이 표면에서 튕길 수도 있습니다. 이는 반사입니다. 굴절 문제에서는 경계를 통과한 광선을 따라가세요. 입사각과 두 물질을 알면 스넬 법칙으로 진행 방향을 구할 수 있습니다. 계산은 짧지만 그림과 각도 표시를 정확히 하는 일이 핵심입니다.

먼저 경계면과 법선을 그리세요

법선은 광선이 표면과 만나는 지점에서 표면에 수직인 가상의 직선입니다. 입사각과 굴절각은 모두 광선과 법선 사이에서 측정하며 광선과 표면 사이에서 재지 않습니다. 다음은 공기에서 물로 가는 광선의 개략도입니다. 좌우 간격은 예시일 뿐이며 수치 각도는 아래에서 정합니다.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

종이에 그린다면 더하기 기호 지점에서 짧은 점선 법선을 그리세요. 입사하는 쪽에 $1$ , 통과한 쪽에 $2$ 를 표시합니다. 이어 입사 광선 옆에 $\theta_1$ , 통과한 광선 옆에 $\theta_2$ 를 적으세요. 그림을 잘 그리면 자주 하는 실수를 막을 수 있습니다. 표면을 기준으로 주어진 각도를 스넬 법칙에 그대로 넣는 실수입니다. 표면 기준 각도가 $30^\circ$ 라면 법선 기준 각도는 $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ 입니다.

OpenStax의 굴절 법칙 단원도 법선을 기준으로 합니다. 그림에서는 입사한 쪽에 머무는 반사 광선과 두 번째 물질에 들어가는 굴절 광선도 구별합니다.

굴절률의 뜻

굴절률 $n$ 은 진공에서 빛의 속력 $c$ 와 물질 속의 속력 $v$ 를 비교합니다.

n=\frac{c}{v}.

이 모형에서는 굴절률이 클수록 속력이 느립니다. OpenStax의 굴절 설명에서 반올림한 $n_{\mathrm{air}}=1.00$ 과 $n_{\mathrm{water}}=1.33$ 을 사용하겠습니다. 물질의 굴절률은 파장에 따라 달라질 수 있습니다. 아래 계산에서는 진동수가 일정한 광선 하나를 따르고 굴절률을 고정값으로 취급합니다. OpenStax Physics의 굴절 설명처럼 경계에서 진동수는 바뀌지 않지만 속력과 파장은 바뀝니다.

두 방향의 관계가 스넬 법칙입니다.

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.

각도는 법선에서 잽니다. 굴절률에는 단위가 없고 사인값도 무차원입니다. 이 글의 각도는 도 단위이므로 계산기를 도 모드로 두세요. 라디안 모드라면 수치 답이 틀립니다.

계산 전에 방향을 예측하세요. 두 번째 굴절률이 더 크면 $\sin\theta_2$ 가 작아야 하므로 통과한 광선의 각도가 작아지고 법선 쪽으로 꺾입니다. 두 번째 굴절률이 작으면 광선이 존재할 경우 법선에서 멀어지는 쪽으로 꺾입니다. 수직 입사, 즉 $\theta_1=0^\circ$ 일 때는 속력이 바뀌어도 광선은 방향이 꺾이지 않고 법선을 따라 진행합니다.

풀이 예제: 공기에서 물로

공기 중의 광선이 평평한 수면에 법선 기준 $40^\circ$ 로 들어온다고 합시다. 구할 것은 물속에서의 각도입니다. 먼저 양쪽을 적습니다: $n_1=1.00$ , $n_2=1.33$ , $\theta_1=40^\circ$ 입니다. 굴절률이 커지므로 $\theta_2<40^\circ$ 를 예상합니다.

숫자를 넣기 전에 스넬 법칙에서 미지의 사인값을 구합니다.

\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.

여전히 도 모드에서 역사인을 취하면,

\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.

$40^\circ$ 보다 작아 방향 검산을 통과합니다. 계산기 입력 실수를 잡으려면 다시 대입하세요: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ , $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$ 입니다. 작은 차이는 반올림 때문입니다. $51^\circ$ 가 나왔다면 굴절률이 큰 물질로 들어가는 상황에서의 예측과 모순됩니다.

$28.9^\circ$ 에 길이 단위를 붙이지 마세요. 이 문제는 방향을 묻고 답의 단위는 도입니다. 시험에서 속력도 묻는다면 각도를 속력처럼 취급하지 말고 $v=c/n$ 으로 따로 계산하세요.

풀이 예제: 물에서 공기로

이번에는 물속 광선이 물과 공기의 경계로 올라가며 법선 기준 $30^\circ$ 로 입사합니다. 물이 $n_1=1.33$ 이고 공기가 $n_2=1.00$ 이므로 양쪽 번호가 바뀝니다. 굴절률이 작아져 공기 중 각도는 $30^\circ$ 보다 클 것으로 예상합니다.

\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.

따라서,

\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.

예상대로 통과한 광선은 법선에서 멀어집니다. 다시 대입하면 $1.33\sin30^\circ=0.665$ , $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$ 로 표시된 정밀도에서 같습니다.

두 예제 사이에 바뀐 것은 진행 방향, 굴절률을 쓰는 순서, 주어진 입사각입니다. $n_1$ 과 $n_2$ 만 바꾸면서 예전 $\theta_1$ 을 그대로 쓰지 마세요. 물질 1은 언제나 해당 계산에서 광선이 출발하는 물질입니다.

불가능한 답과 임계각 확인하기

실제 각도의 사인값은 1을 넘을 수 없습니다. 스넬 법칙을 정리해 $\sin\theta_2>1$ 이 나오면 계산기에 억지로 넣거나 1로 반올림하지 마세요. 굴절률이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 진행할 때 이는 이상적인 광선 모형의 전반사 영역을 뜻합니다. 그 입사각에는 경계를 통과하는 굴절 광선이 없습니다.

경계가 되는 입사각에서는 통과한 광선이 경계를 따라 진행하므로 $\theta_2=90^\circ$ 입니다. 스넬 법칙에 $\sin90^\circ=1$ 을 넣고 임계각을 풀면,

\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.

여기서 반올림한 물과 공기의 굴절률을 사용하면 $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$ 입니다. 선택한 값으로 독립적으로 반올림한 계산이며 OpenStax의 전반사 단원은 규칙과 경계 상황을 설명합니다. 앞의 $30^\circ$ 예제는 임계각보다 작아서 통과 광선이 있습니다. 반면 법선 기준 $60^\circ$ 라면 $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$ 가 필요하므로 불가능합니다. 이 모형에서 광선은 전반사합니다.

등호인 경우가 중요합니다. 임계각에서는 굴절 방향이 표면을 따라 $90^\circ$ 입니다. 그보다 큰 입사각에서는 전반사합니다. 공기에서 물로 갈 때는 낮은 굴절률에서 시작하므로 전반사가 일어나지 않습니다. 보통의 부분 반사와 이 경계도 구별하세요. 통과 광선이 있더라도 일부 빛은 반사될 수 있습니다.

답이 있는 연습 문제 세 개

1. 표면 기준 각도가 주어졌을 때. 광선이 공기에서 평평한 수면에 표면 기준 $25^\circ$ 로 들어옵니다. 스넬 법칙에 넣을 입사각과 굴절각은 얼마인가요? 법선은 표면에 수직이므로 $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$ 입니다. 이어서,

\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.

답은 법선 기준이며 물에 들어가므로 $65^\circ$ 보다 작습니다.

2. 광선이 표면에 수직일 때. 광선이 물에서 공기로 법선 기준 $0^\circ$ 로 향합니다. 스넬 법칙에서 $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$ 이므로 $\theta_2=0^\circ$ 입니다. 통과한 광선은 곧게 진행하지만 두 물질의 굴절률이 같다는 뜻은 아닙니다.

3. 통과 광선이 있을까요? 물에서 공기로 가는 광선의 입사각이 법선 기준 $\theta_1=50^\circ$ 입니다. 계산하면 $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$ 로 1을 넘습니다. 이 모형에서 실제 통과 광선의 각도는 없습니다. 같은 뜻으로 $50^\circ$ 는 약 $48.8^\circ$ 인 임계각보다 큽니다. $\sin^{-1}(1.019)$ 를 실제 각도로 보고하지 마세요.

법선을 표시하고 계산 전 꺾이는 방향을 예측할 수 있게 되면 Physics Zen의 광학 주제에서 반사, 굴절, 임계각을 연습해 보세요. 그림이 많은 시험 문제에도 같은 습관이 도움이 됩니다. A-Level Physics 대비, Abitur Physik 대비, Bac physique 대비 가이드에서 더 넓은 복습 계획을 다룹니다. 새로운 굴절 문제마다 입사하는 물질을 먼저 정하고 두 각도를 법선에서 잰 뒤 역사인을 누르기 전에 사인값을 확인하세요.

자주 묻는 질문

스넬 법칙에는 왜 사인을 사용하나요?

사인은 광선 진행 방향에서 경계면을 따라 놓인 성분의 크기를 나타냅니다. 평평한 경계의 파동 기하학은 양쪽 물질의 그 성분을 연결해 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 를 만듭니다. 광선 문제를 풀 때 중요한 것은 법선 기준 각도를 쓰고 각 굴절률과 해당 물질의 각도를 짝짓는 것입니다.

빛이 굴절하면 진동수도 바뀌나요?

아니요. 이 경계면 모형에서 진동수는 그대로이고 물질에 따라 속력과 파장이 바뀝니다. 물질의 굴절률도 파장에 따라 달라질 수 있어서 여러 색이 섞인 빛은 갈라질 수 있습니다. 수치 예제에서는 선택한 굴절률 한 쌍을 사용하는 광선 하나만 따릅니다.

굴절률이 클수록 언제나 꺾이는 각도도 커지나요?

아니요. 굴절률 두 개와 입사각을 비교해야 합니다. 물질 1에서 입사각이 고정돼 있다면 $n_2$ 가 커질수록 물질 2의 법선 기준 각도는 작아집니다. $0^\circ$ 입사에서는 진행 방향이 꺾이지도 않습니다. 숫자를 비교하기 전에 어떤 각도를 뜻하는지 먼저 밝히세요.