Een krachtendiagram tekenen: een stappenplan dat fouten voorkomt

De meeste foute antwoorden in de inleidende mechanica ontstaan voordat er één vergelijking op papier staat. De krachten zijn verkeerd getekend, er ontbreekt een kracht of er staat een pijl die helemaal geen kracht is. Verbeter het diagram en de algebra volgt meestal.

Een krachtendiagram is een eenvoudig hulpmiddel: één voorwerp, los getekend, met elke kracht die erop werkt als pijl. De kracht ervan zit in de discipline die het oplegt. Je moet beslissen welk voorwerp je bedoelt, elke kracht en haar bron benoemen en een richting kiezen voordat je Newtons tweede wet gebruikt.

Deze gids geeft een methode in vijf stappen, werkt de gebruikelijke situaties uit en benoemt de fouten die examinatoren het vaakst zien. We veronderstellen dat je de tweede wet al kent. Zo niet, lees dan eerst onze gids over de wetten van Newton, waarin deze diagrammen in hun context worden geïntroduceerd.

Stap 1: kies het voorwerp en teken het los

Bepaal precies wat ‘het voorwerp’ is. Een doos op een helling, de doos en de helling samen of de persoon die de doos duwt, zijn drie verschillende systemen met drie verschillende diagrammen. Schrijf je keuze op.

Teken het voorwerp daarna op zichzelf. Een stip of klein vierkant volstaat. Laat de vloer, het touw, de muur en al het andere waarmee het contact maakt weg. Die dingen komen alleen terug als de krachten die ze uitoefenen.

In deze stap komt het ‘vrije’ van een vrijlichaamsdiagram naar voren: je haalt het lichaam los van zijn omgeving, zodat je elke wisselwerking afzonderlijk moet tekenen. Als de helling nog onder de doos staat, vergeet je makkelijk dat de helling op de doos duwt.

Stap 2: som elke echte kracht en haar bron op

Loop de contact- en veldkrachten in een vaste volgorde langs, zodat je niets mist.

Gewicht. Elk voorwerp met massa dicht bij de aarde heeft een gewicht $mg$ dat recht omlaag werkt en door de aarde wordt uitgeoefend. Ook een stilstaand voorwerp heeft gewicht.

Normaalkrachten. Elk oppervlak dat het voorwerp raakt, duwt er loodrecht op en van zichzelf af. Een vloer duwt omhoog, een muur zijwaarts en een helling loodrecht op de helling.

Wrijving. Elk ruw oppervlak dat het voorwerp raakt, kan ook een kracht evenwijdig aan het oppervlak uitoefenen. Die werkt tegen het glijden of de neiging daartoe in. Glijwrijving werkt tegen de beweging; statische wrijving tegen wat zonder haar zou gebeuren.

Spankracht. Elk touw, koord of kabel dat aan het voorwerp vastzit, trekt langs het touw van het voorwerp af. Een touw kan nooit duwen.

Aangelegde krachten. Elke duw- of trekkracht die de opgave noemt, onder de opgegeven hoek.

Veren, luchtweerstand, liftkracht, opwaartse kracht, elektrische of magnetische krachten wanneer de opgave ze vereist.

Benoem voor elke kracht wat haar uitoefent. ‘Normaalkracht van de vloer’, ‘spankracht van het linker touw’. Kun je de bron niet noemen, dan hoort die kracht niet in het diagram. Met die ene test schrap je de meeste verzonnen krachten.

Stap 3: teken elke kracht vanuit het voorwerp in haar werkelijke richting

Laat elke pijl bij de stip beginnen en wijzen in de richting waarin de kracht werkt. Langere pijlen voor grotere krachten kunnen helpen, maar zijn niet vereist; de richting is het belangrijkste.

Label elke pijl met een symbool dat je in de vergelijkingen opnieuw gebruikt: $W$ of $mg$, $N$, $f$, $T$, $F$. Als twee krachten van hetzelfde type bestaan, onderscheid ze dan: $T_1$ en $T_2$, $N_{\text{floor}}$ en $N_{\text{wall}}$.

Teken geen krachten die het voorwerp op andere dingen uitoefent. De doos duwt omlaag op de vloer, maar die kracht werkt op de vloer. Ze hoort dus in het diagram van de vloer, niet dat van de doos. Actie-reactieparen volgens Newtons derde wet staan nooit in hetzelfde krachtendiagram, omdat ze op verschillende voorwerpen werken.

Stap 4: kies assen die de beweging volgen

Teken een klein assenstelsel naast het diagram. Laat één as samenvallen met de versnellingsrichting, of met het oppervlak als het voorwerp daarlangs beweegt. Op een vlakke vloer zijn dat de gebruikelijke horizontale en verticale as. Op een helling kies je één as langs de helling en één loodrecht erop.

Dat heeft een praktisch voordeel. Met assen langs de helling liggen normaalkracht en wrijving precies langs een as. Alleen het gewicht moet je in componenten ontbinden. Met horizontale en verticale assen op een helling moet je drie krachten in plaats van één ontbinden, en krijg je drie keer zoveel algebra.

Als het voorwerp niet versnelt, mag je de assen op elke manier kiezen. Dezelfde regel houdt het aantal componenten echter klein.

Stap 5: schrijf de tweede wet langs elke as

Lees het diagram as voor as. Tel de componenten langs de eerste as op en stel ze gelijk aan $ma$ langs die as; doe daarna hetzelfde voor de tweede as. Een kracht in de negatieve richting krijgt een minteken. Bij een as zonder versnelling staat rechts nul.

Het diagram heeft nu zijn werk gedaan. De vergelijkingen zijn een weergave van de tekening, geen nieuwe gok. Als de tekening klopt, kloppen de vergelijkingen.

Los op en controleer het resultaat aan de hand van het diagram. Een negatieve wrijvingskracht betekent dat ze andersom werkt dan je pijl. Een negatieve normaalkracht zou betekenen dat het oppervlak moet trekken, wat niet kan. Het voorwerp heeft dan het oppervlak verlaten en je model is veranderd.

Uitgewerkt geval: een doos over een ruwe vloer duwen

Een doos van 10 kg wordt met een horizontale kracht van 40 N over een vloer geduwd met glijwrijvingscoëfficiënt 0,3. Bepaal de versnelling.

Voorwerp: de doos. Krachten: gewicht $mg$ omlaag (aarde), normaalkracht $N$ omhoog (vloer), wrijving $f$ tegen de beweging in (vloer), aangelegde kracht $F$ vooruit (de duw). Vier pijlen.

Assen: $x$ langs de duw, $y$ omhoog. Verticaal is er geen versnelling, dus

$$N - mg = 0$$

en daarmee $N = 98\ \text{N}$. Horizontaal geldt

$$F - f = ma$$

met $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$, zodat $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$.

Merk op dat de wrijving afhangt van de normaalkracht en dat de normaalkracht uit de verticale vergelijking kwam. In het diagram zie je dat verband: wrijving en normaalkracht zijn twee pijlen afkomstig van hetzelfde oppervlak.

Uitgewerkt geval: een blok op een helling

Een blok rust op een helling met hoek $\theta$. Krachten: gewicht $mg$ recht omlaag, normaalkracht $N$ loodrecht op de helling en wrijving $f$ langs de helling. Drie pijlen.

Kies assen langs en loodrecht op de helling. Het gewicht valt uiteen in $mg\sin\theta$ langs de helling omlaag en $mg\cos\theta$ de helling in. Loodrecht erop:

$$N - mg\cos\theta = 0$$

Langs de helling, voor een blok dat met glijwrijving omlaag glijdt:

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

Daaruit volgt $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$.

De meest gemaakte fout hier is de normaalkracht verticaal tekenen. Ze staat loodrecht op het oppervlak, op een helling dus niet verticaal. Precies daarom is $N$ kleiner dan $mg$. De tweede veelgemaakte fout is sinus en cosinus verwisselen bij de componenten. Dat controleer je met meetkunde, niet met natuurkunde; ons artikel over wiskundefouten in natuurkunde laat zien hoe je dat telkens nagaat.

Uitgewerkt geval: een hangende massa aan een touw

Een massa hangt aan een touw, wordt omhooggetrokken en versnelt met $a$. Krachten: gewicht $mg$ omlaag, spankracht $T$ omhoog. Twee pijlen. Kies een verticale as met omhoog positief:

$$T - mg = ma$$

Dus $T = m(g + a)$. Als de massa omlaag zou versnellen, was $a$ negatief en $T$ kleiner dan $mg$. Als het touw slap hing, was $T$ nul en had het diagram nog maar één pijl.

Twee krachten op één lijn, maar toch vangt dit diagram een hardnekkige fout: een extra neerwaartse ‘bewegingskracht’ toevoegen wanneer de massa omlaag beweegt. Beweging is geen kracht. De massa beweegt omlaag omdat het gewicht groter is dan de spankracht; beide staan al in het diagram.

De vijf fouten die examinatoren het vaakst zien

1. De resulterende kracht als pijl toevoegen. De resulterende kracht is de som van je pijlen, geen extra kracht. Als je haar ook tekent, tel je haar dubbel.
2. Middelpuntzoekende kracht als pijl toevoegen. Bij cirkelbeweging leveren de echte krachten in het diagram de kracht naar binnen, bijvoorbeeld spankracht of wrijving. Onze gids over cirkelbeweging laat zien hoe je ze leest. Voeg geen aparte pijl ‘middelpuntzoekend’ toe.
3. Snelheid of versnelling als kracht tekenen. Geen van beide is een kracht. Wil je de versnelling toch op papier, teken haar dan naast het diagram in een andere stijl.
4. Een contact vergeten. Elk oppervlak, touw en elke hand die het voorwerp raakt, oefent een kracht uit. Loop eerst alle contacten rond het voorwerp langs.
5. Op een helling de normaalkracht verticaal of de wrijving loodrecht op het oppervlak tekenen. De normaalkracht staat loodrecht op het oppervlak; wrijving loopt er evenwijdig aan. Zeg die twee zinnen hardop voordat je de pijlen tekent.

Een checklist voor dertig seconden

• Eén voorwerp, los getekend en benoemd.
• Gewicht door de aarde, recht omlaag.
• Eén normaalkracht per oppervlak, loodrecht op dat oppervlak.
• Wrijving evenwijdig aan elk ruw oppervlak, tegen het glijden in.
• Spankracht langs elk touw, trekkend van het voorwerp af.
• Elke aangelegde kracht onder de opgegeven hoek.
• Geen pijlen voor resulterende kracht, middelpuntzoekende kracht, snelheid of versnelling.
• Assen langs de versnelling of het oppervlak.
• Eén vergelijking van Newtons tweede wet per as, met mintekens voor negatieve richtingen.

Oefen dit in het onderwerp Dynamica van Physics Zen. De vaardigheden over Newtons wetten, wrijving en hellende vlakken geven je telkens een nieuwe situatie en controleren je krachtvergelijkingen. Pas daarna dezelfde methode toe in het onderwerp Cirkelbeweging en gravitatie, waar het diagram zichtbaar maakt welke echte kracht naar binnen werkt.

Een krachtendiagram is geen formaliteit vóór het echte werk. Het is het echte werk. Teken het goed en het natuurkundeprobleem wordt een algebra-opgave, en dat is veel eenvoudiger.