Natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn, met een oplossing voor elk

Open na een fout antwoord de uitgewerkte oplossing en zoek waar jouw weg ervan afwijkt. Het krachtendiagram is goed. De vergelijking is de juiste. Maar één regel later heeft de wrijvingskracht het verkeerde teken, werd een negatieve tijd behouden of is het antwoord precies 3,6 keer te groot.

Dat zijn geen natuurkundefouten, maar wiskundefouten binnen een natuurkundeopgave. Dat onderscheid is belangrijk, want de oplossing is anders: het hoofdstuk over krachten opnieuw lezen voorkomt niet dat je $\cos\theta$ opschrijft waar $\sin\theta$ hoort.

Hieronder staan de zeven rekenfouten die we in oplossingen van Physics Zen het vaakst zien: hoe ze eruitzien, een snelle controle en de specifieke vaardigheid om te oefenen. Voor het oefenen van wiskunde verwijzen we naar onze zusterapp Math Zen, die net als Physics Zen telkens nieuwe opgaven per vaardigheid maakt.

1. Tekenfouten: kies een richting en houd die aan

Een bal wordt met $12\ \text{m/s}$ omhooggeworpen. Kies je omhoog als positief, dan is de versnelling de hele vlucht $-9.8\ \text{m/s}^2$, ook onderweg omlaag. Na twee seconden is de snelheid

$$v = 12 + (-9.8)(2) = -7.6\ \text{m/s}$$

Het minteken bevat informatie: de bal gaat omlaag. Het betekent niet dat de bal ‘langzamer wordt’ en het is geen fout die je herstelt door de min weg te laten.

Tekenfouten ontstaan als je halverwege een opgave de positieve richting verandert of een negatief getal als een kleiner positief getal behandelt. De test is eenvoudig: schrijf bovenaan de pagina welke kant de as op wijst en beoordeel elk teken daarmee. Wijst een grootheid de andere kant op, dan is ze negatief en blijft ze in elke volgende stap negatief.

Dezelfde gewoonte houdt teller- en noemertekens consistent in een uitgewerkt voorbeeld van het dopplereffect.

De onderliggende vaardigheid is rekenen met negatieve getallen. De gids over negatieve getallen van Math Zen bouwt die vanaf de basis op. Oefen dat en ga terug naar vrije val in Kinematica, waar het teken van $g$ in elke opgave telt.

2. Een breuk of een kwadraat verkeerd omzetten

De middelpuntzoekende versnelling is $a = \frac{v^2}{r}$. Als de snelheid wordt gevraagd, eindigen verrassend veel oplossingen al bij $v = ar$. Je moet echter eerst met $r$ vermenigvuldigen en daarna de wortel nemen:

$$v = \sqrt{ar}$$

Hetzelfde gebeurt bij kinetische energie, $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$. Daar is de snelheid $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. Wie de factor twee of de wortel vergeet, maakt een algebrafout.

De test is je antwoord met de gegeven getallen terug in de oorspronkelijke formule zetten. Zijn beide kanten niet gelijk, dan is het omzetten verkeerd gegaan. Dit duurt twintig seconden en ontdekt bijna elk geval.

Je kunt omzetten oefenen in het algebraonderwerp van Math Zen; de algebragids legt uit waarom elke stap is toegestaan. Bij natuurkunde gebruiken cirkelbeweging en arbeid en energie deze omzettingen voortdurend.

3. Sinus en cosinus bij de verkeerde component

Op een helling met hoek $\theta$ is de gewichtscomponent langs de helling $mg\sin\theta$ en die de helling in $mg\cos\theta$. Verwissel je ze, dan worden normaalkracht, wrijving en versnelling verkeerd, ook met een correct krachtendiagram.

De regel: de component aanliggend aan de bekende hoek krijgt cosinus, de overstaande sinus. Op een helling is de hoek aan de onderkant gelijk aan de hoek tussen de gewichtsvector en de richting van de normaal. Daarom hoort bij de normale component cosinus.

Controleer met een grensgeval. Zet $\theta = 0$. Het oppervlak is vlak, dus niets zou het blok langs dat oppervlak moeten trekken. $mg\sin 0 = 0$, dus de sinusversie klopt. Had je voor die component $mg\cos\theta$ geschreven, dan gaf een vlakke vloer de volle $mg$ zijwaarts, onzin. Controleer ook bij $90^\circ$ als je nog twijfelt.

Dit is goniometrie van rechthoekige driehoeken, niet meer. De gids over goniometrie van Math Zen toont sinus en cosinus als coördinaten op een cirkel en maakt daarmee de aanliggend-overstaand-regel duidelijk. In het goniometrieonderwerp kun je oefenen. Keer daarna terug naar het hellende vlak in Dynamica of lees onze gids over Newtons wetten voor de natuurkunde eromheen.

4. Kwadratische vergelijkingen en de wortel die je weggooit

Een steen wordt met $15\ \text{m/s}$ omhooggeworpen vanaf een brug $20\ \text{m}$ boven het water. Wanneer raakt hij het water? Met omhoog positief en de brug als oorsprong:

$$-20 = 15t - 4.9t^2$$

Dit is een kwadratische vergelijking in $t$. De formule geeft ongeveer $t = 4.07\ \text{s}$ en $t = -1.00\ \text{s}$. De negatieve wortel is wiskundig niet fout: hij hoort bij het moment waarop een steen op dezelfde parabool onderweg omhoog door het waterniveau zou zijn gegaan, nog vóór de worp. De natuurkunde verwerpt hem, maar de algebra moet eerst beide wortels vinden.

Veel fouten hier zijn mintekens in de abc-formule, $b$ gebruiken in plaats van $-b$ of verkeerd rekenen onder de wortel. Controleer door de behouden wortel terug in de vergelijking te vullen: je moet, afgezien van afronding, $-20$ krijgen.

De gids over kwadratische vergelijkingen van Math Zen legt uit waar de formule vandaan komt. De oplosvaardigheid binnen het algebraonderwerp geeft telkens nieuwe opgaven. Worpen in Kinematica, gratis in Physics Zen, gebruiken dit wanneer tijd de onbekende is, zoals de worp vanaf een klif in onze uitgewerkte voorbeelden van worpbeweging.

5. Eenheden, voorvoegsels en machten van tien

Een auto met $72\ \text{km/h}$ remt in $4\ \text{s}$ tot stilstand. Gebruik je de snelheid als $72$, dan kom je op een vertraging van $18\ \text{m/s}^2$, genoeg om de bestuurder door de voorruit te slingeren. Na omrekening naar $20\ \text{m/s}$ krijg je de aannemelijke $5\ \text{m/s}^2$.

Delen door $3.6$ is geen natuurkundig feit. Het komt van $1000$ meter per kilometer en $3600$ seconde per uur; het is een verhoudingssom. Dezelfde foutenfamilie omvat centimeters naar meters omrekenen maar bij een oppervlakte vergeten de factor te kwadrateren, en $6.67 \times 10^{-11}$ als groot getal lezen omdat de exponent groot leek.

De test is een plausibiliteitscontrole: een versnelling groter dan $g$ voor een gewone auto, een snelheid boven de geluidssnelheid voor een geworpen bal of miljoenen joule energie voor een tennisbal betekent meestal dat een eenheid fout ging. Zoek eerst naar de factor voordat je een natuurkundefout vermoedt.

De gids over verhoudingen en de gids over exponenten van Math Zen behandelen beide helften. In het rekenonderwerp oefen je ze. Eenparige beweging, de eerste gratis vaardigheid in Physics Zen, vraagt bij de meeste opgaven om omrekening van km/h.

6. Grafieken: helling is geen hoogte

In een snelheid-tijdgrafiek is de helling de versnelling en de oppervlakte tussen de lijn en de as de verplaatsing. Een veelgehoord antwoord op ‘wanneer is de versnelling het grootst?’ wijst naar het hoogste deel van de grafiek. Daar is de snelheid het grootst. De versnelling is maximaal waar de lijn het steilst is.

Een tweede veelgemaakte fout is het teken van een oppervlakte negeren. Onder de tijdas is de oppervlakte een negatieve verplaatsing. Een grafiek die eerst boven en dan onder de as loopt, kan een grote afgelegde afstand maar nul verplaatsing geven.

De test: zeg vóór je antwoord hardop of de vraag over helling, hoogte of oppervlakte gaat. Zoek pas daarna het gevraagde. Het klinkt te simpel om te helpen, maar werkt.

Hellingen en oppervlakten aflezen zonder natuurkunde is precies wat je oefent in het onderwerp Grafiekanalyse van Math Zen. Onze gids over kinematica legt daarna uit waarom helling en oppervlakte juist deze fysische betekenissen hebben.

7. Twee onbekenden, één vergelijking

Bij een elastische botsing blijven impuls en kinetische energie behouden. Dat geeft twee vergelijkingen voor twee onbekende eindsnelheden. Een schakeling met twee batterijen vereist twee lusvergelijkingen; onze gids over Kirchhoffs knoop- en lusregels lost er een op. Bij een worp delen de horizontale en verticale vergelijking dezelfde vliegtijd.

De fout is een vergelijking met twee onbekenden proberen op te lossen of terug te substitueren in de vergelijking die je net gebruikte. De test: tel de onbekenden en de onafhankelijke vergelijkingen. Begin pas als die aantallen kloppen.

Dit zijn stelsels van vergelijkingen, te oefenen als lineaire stelsels in het algebraonderwerp van Math Zen. In Physics Zen zie je ze bij impuls en botsingen en schakelingen. Onze impulsgids laat zien waarom botsingen beide vergelijkingen nodig hebben.

De oplossing: een korte omweg via wiskunde en terug

Elke rij hieronder koppelt een fout aan de wiskundevaardigheid erachter en het natuurkundeonderwerp om naar terug te keren zodra die vaardigheid goed zit.

De werkwijze is kort. Als een uitgewerkte oplossing een rekenstap laat zien die je fout deed, oefen dan tien minuten die vaardigheid met nieuwe opgaven en kom terug voor drie natuurkundeopgaven van hetzelfde onderwerp. Lees theorie die je al begrijpt niet opnieuw.

Math Zen is van hetzelfde team als Physics Zen en volgt dezelfde cyclus van een nieuwe opgave, directe controle en een uitgewerkte oplossing. Je kunt de app downloaden voor iPhone en Android. Op de blog van Math Zen staat het spiegelbeeld van dit artikel: de wiskunde die je voor natuurkunde nodig hebt, gerangschikt op natuurkundeonderwerp in plaats van fout.

Een vergeten minteken betekent niet dat je krachten niet begrijpt. Het betekent dat één kleine vaardigheid vijf minuten aparte aandacht vraagt. Daarna krijg je de punten voor de natuurkunde die je al snapt.