De wetten van Kirchhoff: knoop- en lusregels met uitgewerkte voorbeelden

Twee batterijen, drie weerstanden en een vraag: welke kant op loopt de stroom door de kleinere batterij? De meeste leerlingen tekenen een pijl uit haar pluspool, omdat batterijen dat gewoonlijk doen. In de schakeling hieronder is die gok verkeerd; de algebra geeft een negatief getal terug. Dat minteken goed lezen is een groot deel van wat de wetten van Kirchhoff van je vragen.

Deze gids noemt de twee regels, geeft een tabel met tekens bij het passeren van onderdelen en rekent vervolgens een schakeling met twee lussen door waarin we één stroom bewust verkeerd raden. We eindigen met een bruggenschakeling, het klassieke geval dat je niet als serie of parallel kunt vereenvoudigen. We gebruiken ideale draden, ideale batterijen zonder inwendige weerstand en stabiele gelijkstroom.

De knoopregel houdt lading bij

Een knooppunt is een plaats waar drie of meer draden samenkomen. Kirchhoffs eerste wet, de knoopregel of stroomwet, zegt dat de totale stroom die een knooppunt binnenkomt gelijk is aan de totale stroom die het verlaat:

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

Het hoofdstuk van OpenStax over de wetten van Kirchhoff leidt dit af uit behoud van lading. Stroom is bewegende lading; lading hoopt zich niet in een draad op. Wat bij een knooppunt aankomt, moet het ook weer verlaten. Komt er 3 A via één draad binnen en gaat 2 A via een andere weg, dan moet door de derde draad 1 A naar buiten lopen.

Je kunt de regel op elk knooppunt toepassen, maar in een schakeling met $n$ knooppunten zijn maar $n-1$ van die vergelijkingen onafhankelijk. De laatste herhaalt informatie die je al hebt.

De lusregel houdt potentiaal bij

Kirchhoffs tweede wet, de lusregel of spanningswet, zegt dat alle veranderingen van elektrische potentiaal langs een gesloten lus samen nul zijn:

$$\sum \Delta V=0$$

Je eindigt op dezelfde plaats als waar je begon en één punt heeft één potentiaal. OpenStax verbindt deze regel met energie: wat een bron aan lading in de lus meegeeft, dragen de onderdelen verder over.

De regel is eenvoudig. Bij de tekens gaan punten verloren, dus leg ze één keer goed vast:

Dit zijn de vier regels van OpenStax. Twee punten zijn belangrijk. Het teken van een weerstand hangt af van de stroompijl die jij hebt getekend, niet van de werkelijke stroom, die je nog niet kent. Het teken van een batterij hangt alleen af van welke pool je eerst tegenkomt, nooit van de stroom erdoor.

Een schakeling met twee lussen en één verkeerde gok

Denk aan twee horizontale draden, boven verbonden in knooppunt A en onder in knooppunt B. Drie verticale takken verbinden ze:

De pijlen voor $I_1$ en $I_3$ wijzen beide uit de pluspool. Dat is de natuurlijke gok en bij de batterij van 3 V de verkeerde. Probeer dat niet te vermijden; de methode kan ermee omgaan.

Knooppunt A. Twee stromen naar binnen, één naar buiten:

$$I_1+I_3=I_2$$

Linker lus. Begin bij B, ga omhoog door de linkertak, bovenlangs naar A en dan omlaag door de middentak terug naar B. Over de batterij van 12 V ga je van min naar plus: $+12$. Over de weerstand van 2 Ω ga je mee met $I_1$: $-2I_1$. Omlaag door de middentak ga je mee met $I_2$: $-3I_2$.

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Rechter lus. Begin bij B, ga omhoog door de rechtertak naar A en daarna omlaag door het midden:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Drie onbekenden, drie onafhankelijke vergelijkingen. Los ze nu op.

Los op en lees het teken

De rechter lus wordt $I_2+I_3=1$, dus $I_3=1-I_2$. Vul de knoopvergelijking in de linker lus in en vervang $I_1$ door $I_2-I_3$:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Vul $I_3=1-I_2$ in:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Dan is $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ en $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

Het minteken bij $I_3$ is de les. De grootte, 1 A, klopt. De richting is omgekeerd aan je pijl: de stroom loopt omlaag door de rechtertak en komt de pluspool van de batterij van 3 V binnen. OpenStax zegt precies dit: een verkeerd gerichte aangenomen stroom komt negatief uit en het antwoord is toch juist.

Twee gewoonten voorkomen fouten met dat teken:

• Draai de pijl niet om om opnieuw te beginnen. Je vergelijkingen zijn gebaseerd op je pijlen en zijn daarmee consequent.
• Neem de negatieve waarde mee in elke volgende stap. $I_1=I_2-I_3$ is alleen 3 A als je voor $I_3$ de waarde $-1$ invult. Laat je het teken weg, dan vind je 1 A en verspreidt de fout zich.

Fysisch stuurt de batterij van 12 V de stroom achteruit door de batterij van 3 V. Een oplaadbare cel zou in die positie opladen. Als juist het oplossen lastig is, heeft onze gids over natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn een deel over twee onbekenden en gelijktijdige vergelijkingen.

Controleer tweemaal: knoopspanning en vermogensbalans

Knoopspanning. Elke tak verbindt A met B, dus moet elke tak hetzelfde potentiaalverschil $V_A-V_B$ geven. Midden: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Links verhoogt de batterij de potentiaal met 12 V en verlaagt de weerstand die met $2\times3=6\ \mathrm{V}$; er blijft 6 V over. Rechts: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Drie takken, één uitkomst.

Vermogensbalans. OpenStax raadt aan een Kirchhoff-oplossing te controleren door het vermogen van de bronnen te vergelijken met het vermogen dat de andere onderdelen opnemen. Hier:

Geleverd: 36 W. Opgenomen: 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. De balans klopt alleen als de batterij van 3 V vermogen opneemt. Dat is opnieuw de negatieve stroom, nu als energieteken. Zou je $I_3$ als +1 A lezen, dan scheelt de boekhouding 6 W.

Wanneer serie- en parallelvereenvoudiging volstaat

Onze gids over serie- en parallelschakelingen vereenvoudigt een netwerk stap voor stap: zoek twee weerstanden op één onvertakt pad of tussen dezelfde twee knooppunten, combineer ze en herhaal. Als dat lukt, doe het dan. Je gebruikt daarmee Kirchhoffs regels impliciet al.

In twee situaties lukt het niet. De eerste is de schakeling hierboven: met een batterij in twee verschillende takken kun je geen paar takken tot één weerstand combineren. De tweede is een brug. Sluit een bron van 12 V aan tussen knooppunten A en B. De linkertak gaat van A door 1 Ω naar C en door 4 Ω naar B. De rechtertak loopt van A door 4 Ω naar D en door 1 Ω naar B. Een brugweerstand van 2 Ω verbindt C en D.

Geen twee weerstanden delen hier beide eindpunten; ook staat geen enkele weerstand op zichzelf op een onvertakt pad. Vereenvoudigen kan dus niet beginnen. OpenStax merkt op dat veel schakelingen zo zijn. Schrijf in plaats daarvan de knoopregel bij C en D, met B op 0 V:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

De oplossing is $V_C=8\ \mathrm{V}$ en $V_D=4\ \mathrm{V}$. Dus loopt er 2 A over de brug van C naar D, levert de bron 6 A en gedraagt het netwerk zich als 2 Ω. Controle bij C: 4 A komt binnen door de weerstand van 1 Ω, 2 A vertrekt door die van 4 Ω en 2 A via de brug.

De verleidelijke korte weg is de brug negeren en de armen als twee parallelle paden van 5 Ω behandelen. Dan krijg je 2,5 Ω en 4,8 A, 20 procent minder dan de echte 6 A. Je mag de brug alleen weglaten als ze in evenwicht is: de armen verdelen de spanning dan in dezelfde verhouding, zodat C en D dezelfde potentiaal hebben en er geen stroom over de brug loopt. Hier staat bovenaan links 1 Ω en rechts 4 Ω, dus zijn de verhoudingen omgekeerd en loopt er wel stroom.

Twee oefenschakelingen, met antwoorden

1. Beide batterijen leveren stroom. Gebruik dezelfde opzet met twee lussen, maar links een batterij van 12 V en weerstand van 3 Ω, in het midden 2 Ω en rechts een batterij van 9 V met weerstand van 3 Ω, beide pluspolen boven. Vind alle drie stromen en controleer het vermogen. Antwoorden: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$, $I_3=1\ \mathrm{A}$, allemaal in de richting van de oorspronkelijke pijlen, en $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Vermogen: $24+9=33\ \mathrm{W}$ geleverd, $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ in de weerstanden.

2. Een evenwichtige brug. Dezelfde brugvorm bij 12 V, links eerst 1 Ω en dan 2 Ω, rechts 2 Ω en dan 4 Ω, met een willekeurige brugweerstand. Vind de stroom door de brug en uit de bron. Antwoorden: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, dus door de brug loopt 0 A. De armen zijn 3 Ω en 6 Ω parallel, samen 2 Ω, en de bron levert 6 A. Hier, en alleen hier, mag je de brug weglaten.

Oefen tot de tekens vanzelf gaan

De methode verandert niet per schakeling: eerst pijlen, dan knooppunten, lussen met de tekentabel, oplossen, de tekens lezen en met vermogen controleren. Wat verandert, is hoe vlot je dit zonder aarzeling over een minteken doet. Kirchhoff komt voor in het elektriciteitsdeel van ons studieplan voor A-Level Physics. Dezelfde gewoonten helpen bij condensatornetwerken: onze gids over condensatoren in serie en parallel gebruikt behoud van lading bij een knooppunt op vergelijkbare wijze.

In Physics Zen bouwt het onderwerp Schakelingen op van de wet van Ohm via serie en parallel en elektrisch vermogen naar een vaardigheid Wetten van Kirchhoff met twee bronnen. Die vaardigheid vereist Premium op iPhone en Android. Elke opgave heeft nieuwe waarden, directe controle en een uitgewerkte oplossing. Zo oefen je het lezen van een negatieve stroom tot het niet meer als een fout voelt.