Condensatoren in serie en parallel: lading, spanning en capaciteit

Twee condensatoren van 6 microfarad aan dezelfde bron van 12 volt kunnen verschillende vervangingscapaciteiten geven. Sluit ze op dezelfde twee knooppunten aan en het equivalent is 12 microfarad. Zet ze achter elkaar en het is 3 microfarad. De onderdelen veranderden niet. De aansluiting bepaalt welke grootheid ze delen.

Bij condensatornetwerken is de nuttige vraag niet ‘welke formule herinner ik me?’, maar ‘welke twee platen delen dezelfde knooppunten en welk tussenliggend knooppunt is geïsoleerd?’ We gebruiken ideale condensatoren, ideale draden en een constante spanning op een netwerk waarvan de condensatoren en geïsoleerde binnenste knooppunten aanvankelijk ongeladen zijn. Die aannames zijn belangrijk voor de gebruikelijke regel van gelijke lading in serie.

Begin bij lading per volt

Een condensator heeft twee gescheiden geleidende platen. In het eenvoudige model draagt de ene plaat lading $+Q$ en de andere $-Q$. Het symbool $Q$ is de grootte op elke plaat, niet de som van hun absolute ladingen. Capaciteit vertelt hoeveel van die lading per volt over de platen wordt opgeslagen:

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

Een farad is een coulomb per volt. In rekenopgaven houden microfarad en microcoulomb de getallen overzichtelijk: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. Een condensator van 6 microfarad met 12 volt erover heeft dus op elke plaat een lading met grootte $Q=72\ \mu\mathrm{C}$. Het deel over capaciteit van OpenStax definieert dit verband.

Verwar capaciteit niet met lading. Capaciteit is een eigenschap van het ideale onderdeel; de lading verandert als de spanning erover verandert. Tel ook niet de absolute ladingen op de positieve en negatieve plaat van één condensator op om te beweren dat hij twee keer $Q$ opslaat. Zijn totale nettolading is nul en de platen dragen even grote tegengestelde ladingen.

Parallel: één spanning, ladingen tellen op

Twee condensatoren staan parallel als ze allebei tussen hetzelfde paar knooppunten zijn aangesloten. Over beide staat hetzelfde potentiaalverschil $V$. Elke condensator heeft zijn eigen plaatlading met grootte $Q_1=C_1V$ of $Q_2=C_2V$. De bron levert de som aan de positieve platen:

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Omdat voor het equivalent $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$ geldt,

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

Voor meer parallelle condensatoren tel je hun capaciteiten op. Dat betekent niet dat hun ladingen gelijk zijn. De grotere capaciteit houdt bij dezelfde spanning meer lading vast.

Neem $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ en $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ op 12 volt. Over beide staat $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. De groottes van hun ladingen zijn

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Samen vragen ze $72\ \mu\mathrm{C}$ van de bron, gelijk aan $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Gelijke spanning en ongelijke ladingen zijn precies wat $Q=CV$ voorspelt.

Serie: gelijke ladingsgrootte, spanningen tellen op

Verbind dezelfde condensatoren nu achter elkaar tussen de bronpolen. Daartussen ligt één intern knooppunt zonder derde draad. Volgens ons model had dat aanvankelijk geen nettolading en blijft het geïsoleerd. De geïnduceerde lading op de ene kant ervan moet worden gecompenseerd door een even grote tegengestelde lading aan de andere kant. De twee condensatoren krijgen dus dezelfde ladingsgrootte $Q$, hoewel de tekens van hun platen verschillen.

De bronspanning is de som van de groottes van de deelspanningen. Omdat $V_i=Q/C_i$,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

Ook de vervangende condensator voldoet aan $V=Q/C_{\mathrm{s}}$, dus

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{for two capacitors}$$

Voor 2 en 4 microfarad in serie is $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. Bij 12 volt is de gemeenschappelijke ladingsgrootte

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

Over de condensator van 2 microfarad staat $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$ en over die van 4 microfarad $V_2=4\ \mathrm{V}$. Samen zijn de spanningen 12 volt. Bij dezelfde lading krijgt de kleinere capaciteit de hogere spanning. Gelijke lading betekent niet gelijke spanning.

Het serie-equivalent is kleiner dan de kleinste afzonderlijke capaciteit. Houd $Q$ vast: de twee spanningsdalingen tellen op, zodat het hele paar meer volt per eenheid lading nodig heeft dan een onderdeel op zich. Het totale $Q/V$ moet dus kleiner zijn. De afleiding van OpenStax voor serie en parallel volgt dezelfde logica van gedeelde lading en gedeelde spanning.

De verkorte regel voor gelijke lading vereist haar aannames. Een condensator die aanvankelijk al geladen is of een knooppunt met aanvankelijk niet-nul nettolading kan vereisen dat je lading bij elk knooppunt afzonderlijk behoudt. Een brugnetwerk kun je mogelijk niet via eenvoudige serie- en parallelgroepen vereenvoudigen; de versie met weerstanden lossen we op met Kirchhoffs knoop- en lusregels. Vermeld de beginsituatie vóór je de verkorte regel toepast.

Wees precies met het woord lading in een serieoplossing. De twee naar elkaar gerichte platen bij het geïsoleerde knooppunt hebben tegengestelde tekens. ‘Beide condensatoren hebben lading $Q$’ gaat over even grote ladingen op hun platen. Het betekent niet dat een positieve lading door de isolerende opening tussen de platen gaat. Ook staat de bronspanning van 12 volt over de hele keten; elke condensator heeft slechts zijn eigen deel. Houd plaattekens en spanningseindpunten bij, ook als een opgave alleen om groottes vraagt. Zo combineer je geen juiste formule voor vervangingscapaciteit met een verkeerde verdeling van spanning of lading.

Vereenvoudig een gemengd netwerk en werk het terug uit

Neem een condensator van 12 microfarad in serie met een parallelpaar van 2 en 4 microfarad. Sluit het geheel aan op een bron van 12 volt. Combineer eerst het parallelpaar:

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Nu staat 12 microfarad in serie met 6 microfarad:

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

De bron levert ladingsgrootte $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. Dat is ook de lading op de condensator van 12 microfarad en op de equivalente groep van 6 microfarad, want die twee groepen staan in serie. De eerste condensator heeft $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. Over de parallelgroep staat de resterende $8\ \mathrm{V}$.

Beide condensatoren binnen die groep hebben 8 volt over zich. Hun ladingen zijn

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

De takladingen tellen op tot $48\ \mu\mathrm{C}$, gelijk aan de lading van de seriegroep. De spanningscontrole is $4+8=12\ \mathrm{V}$. Een veelgemaakte fout is elke tak 48 microcoulomb geven omdat de equivalente groep die lading heeft. Het totaal van de groep is gelijk aan de lading van de seriecondensator; de takken verdelen dat totaal volgens hun capaciteiten.

Dit voorbeeld heeft dezelfde opbouw als het gemengde netwerk van OpenStax, maar de stappen gelden voor elk vereenvoudigbaar netwerk: groepeer op gedeelde knooppunten, vereenvoudig naar binnen, bepaal de bronlading en werk dan naar buiten. Combineer condensatoren niet alleen omdat ze in een tekening naast elkaar staan. Onze gids over serie- en parallelschakelingen legt uit hoe je knooppunten herkent. De rekenvoorbeelden daar gaan over weerstanden, waarvoor de serie- en parallelformules precies andersom lopen.

Vier controles voordat je een antwoord vertrouwt

1. Verbinding: parallelle onderdelen delen beide eindknooppunten. Serieonderdelen delen een geïsoleerd tussenknooppunt zonder extra tak.
2. Grootte: bij positieve ideale capaciteiten is het parallelequivalent groter dan elk onderdeel; het serie-equivalent kleiner dan elk onderdeel.
3. Eenheden: microfarad maal volt geeft microcoulomb. Geef lading niet in farad of capaciteit in coulomb.
4. Terugrekenen: parallelle takspanningen zijn gelijk, seriespanningen tellen op tot de bronspanning en takladingen tot de lading van hun parallelgroep.

Probeer een korte omgekeerde controle. Twee condensatoren in serie hebben $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ en $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ bij 18 volt. Hun equivalent is 2 microfarad, dus elke condensator heeft ladingsgrootte $36\ \mu\mathrm{C}$. Hun spanningen zijn 12 en 6 volt. De grotere condensator krijgt de kleinere spanning; samen zijn de spanningen 18 volt. Als je over beide 18 volt vond, heb je per ongeluk de parallelregel gebruikt.

In het onderwerp Condensatoren en RC-kringen van Physics Zen kun je lading, capaciteit en energie oefenen voordat je gemengde netwerken aanpakt. Schrijf bij elke berekening verbindingstype en eenheden op. Zodra die kloppen, is de algebra meestal eenvoudig.