Elektrische potentiaal en elektrisch veld: hoogte, helling en lading

Twee punten op een berg kunnen allebei hoog liggen terwijl de grond ertussen bijna vlak is. Een derde punt ligt misschien veel lager, maar wel op een steile helling. Hoogte en helling beschrijven verschillende eigenschappen van hetzelfde landschap.

Elektrische potentiaal en elektrisch veld hebben een vergelijkbare relatie. De potentiaal geeft op elke plaats een waarde. Het veld vertelt hoe die waarde verandert als je beweegt, inclusief de richting waarin de daling het steilst is. Een hoge potentiaal betekent niet automatisch een sterk veld.

Deze gids gaat over elektrostatica: ladingen en velden die niet in de tijd veranderen. In die situatie geeft één potentiaallandschap het volledige elektrische veld.

Vier grootheden, twee bruikbare paren

Begin bij de grootheden die een specifieke lading ervaart. Op die lading werkt een elektrische kracht $\mathbf{F}$, en in de gegeven ladingsverdeling heeft ze elektrische potentiële energie $U$.

Deel beide door de testlading $q$:

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

Het veld $\mathbf{E}$ en de potentiaal $V$ beschrijven de omgeving. Plaats je daar een andere, kleine testlading, dan veranderen de kracht en energie, maar de omgeving niet, zolang die testlading de bronladingen niet merkbaar verstoort.

Het veld is een vector: de richting hoort bij het antwoord. Potentiaal is een scalair: hij heeft een waarde met teken, maar geen richting. De inleiding tot potentiaal van OpenStax werkt het verschil tussen energie en energie per lading uit.

Onze gids over de wet van Coulomb laat zien hoe bronladingen kracht en veld veroorzaken. De potentiaal biedt een andere weg door hetzelfde probleem.

Spanning vergelijkt twee plaatsen

Een spanning is een potentiaalverschil:

$$\Delta V=V_B-V_A$$

Voor een lading die van A naar B gaat, verandert de potentiële energie met

$$\Delta U=q\Delta V$$

Neem een lading van $+3\ \mathrm{\mu C}$ die van 10 V naar 4 V gaat. De potentiaalverandering is $4-10=-6\ \mathrm{V}$, dus

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

De lading verliest 18 microjoule potentiële energie. Het elektrisch veld verricht 18 microjoule positieve arbeid op haar. Als alleen de elektrische kracht arbeid verricht, neemt haar kinetische energie met dat bedrag toe. Deze energiebalans is hetzelfde als in onze gids over arbeid en energie.

Een andere keuze voor nul verandert geen van beide resultaten. Als je beide potentialen met 100 V verhoogt, gaat de lading van 110 V naar 104 V: nog steeds een daling van 6 V. Een uitspraak als ‘dit punt heeft een potentiaal van 10 V’ hangt altijd van een referentie af.

Het veld is de neerwaartse helling van de potentiaal

Langs één coördinaat is de elektrostatische relatie

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Het minteken geeft de richting: het veld wijst naar dalende potentiaal. De aantekeningen van Richard Fitzpatrick aan de University of Texas leiden dit uit arbeid en energie af. Voor een homogeen veld heb je geen differentiaalrekening nodig: deel de potentiaalverandering door de afstand en draai het teken om.

Stel dat de potentiaal gelijkmatig daalt van 18 V bij $x=0$ naar 6 V bij $x=0.04\ \mathrm{m}$:

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

Het plusteken betekent dat het veld in de positieve x-richting wijst. Een daling van slechts 3 V over dezelfde 4 cm zou 75 V/m geven. Het gaat om de daling per meter.

De verkorte formule $E=|\Delta V|/d$ veronderstelt een homogeen veld en een afstand gemeten langs het veld. Tussen grote, evenwijdige platen, ver van de randen, kan dat een bruikbare benadering zijn. Rond een puntlading verandert het veld met de afstand. Eén potentiaalverschil gedeeld door een eindige afstand geeft dan een gemiddelde langs dat pad, niet het veld op elk afzonderlijk punt.

Voor een veranderlijke potentiaal laat het hoofdstuk van OpenStax over het veld uit de potentiaal de versie met afgeleiden en de driedimensionale uitbreiding zien.

Negatieve ladingen draaien de kracht om

De veldrichting is gedefinieerd met een positieve testlading. De kracht op elke lading is

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Bij een negatieve $q$ draait de richting om. In het veld van 300 V/m hierboven ondervindt een lading van $-2\ \mathrm{\mu C}$

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

De elektrische kracht op die lading wijst naar negatieve x, waar de potentiaal hoger is. Dat betekent niet dat haar potentiële energie stijgt: vermenigvuldig je een stijging van $V$ met een negatieve lading, dan daalt $U$.

Wees precies over beweging. Kracht bepaalt de versnelling, niet noodzakelijk de richting waarin een deeltje al beweegt. Een negatieve lading die naar een lagere potentiaal wordt gelanceerd, kan die kant op blijven bewegen terwijl ze vertraagt. ‘Negatieve ladingen gaan bergopwaarts’ beschrijft de kracht of de eerste versnelling vanuit rust, niet elk mogelijk traject.

Nul potentiaal en nul veld zijn verschillende beweringen

Zet twee even grote, positieve puntladingen op een lijn. In het midden zijn hun velden even groot en tegengesteld gericht, zodat het totale veld nul is. Kies je de potentiaal op oneindig als nul, dan draagt elke lading een positieve potentiaal bij en tellen die potentialen op. De potentiaal in het midden is positief, hoewel het veld daar nul is.

Vervang nu een van de bronladingen door een even grote negatieve lading. In het midden heffen de positieve en negatieve potentialen elkaar op. Beide veldbijdragen wijzen echter van de positieve naar de negatieve lading en tellen dus op in plaats van elkaar op te heffen.

Deze voorbeelden laten een veelgemaakte fout zien: veldsterkten optellen alsof het scalaire potentialen zijn. Als je velden combineert, houd je rekening met de richtingen. Bij potentialen houd je rekening met de algebraïsche tekens.

Een veld dat op één punt nul is, betekent ook niet dat de potentiaal overal in de omgeving constant is. Het kan een stationair punt in een veranderlijk landschap zijn, net zoals op een helling een plaatselijk vlak stuk kan liggen.

Equipotentiaalvlakken zijn hoogtelijnen

Op een hoogtekaart hebben punten op dezelfde hoogtelijn dezelfde hoogte. Op een equipotentiaalvlak hebben punten dezelfde elektrische potentiaal.

Als een lading langs dat vlak beweegt, verandert haar elektrische potentiële energie niet. Het elektrisch veld verricht dan geen arbeid, ook al kan er wel een veld zijn. Waar het veld niet nul is, staat het loodrecht op het equipotentiaalvlak.

Dicht bij elkaar liggende equipotentiaallijnen betekenen alleen een sterker veld wanneer opeenvolgende lijnen gelijke potentiaalstappen voorstellen. Als een tekening ongelijke spanningsintervallen gebruikt, bekijk dan de labels voordat je de afstanden vergelijkt.

Kies de formule op basis van de vraag

Gevraagd naar kracht? Bepaal het elektrisch veld bij de lading en vermenigvuldig met de lading inclusief teken. Geef ook de richting.

Gevraagd naar energie of snelheid? Gebruik het potentiaalverschil om $\Delta U=q\Delta V$ te berekenen. Als andere krachten ook arbeid verrichten, tel die dan mee voordat je uit de energieverandering een snelheid afleidt.

Een grafiek van potentiaal gekregen? Lees de helling af om de veldcomponent langs de coördinaat van de grafiek te vinden. Een hogere grafiek is niet automatisch een steilere grafiek.

Werk je met een schakeling? Volg de potentiaalverschillen tussen knooppunten. Onze gids over serie- en parallelschakelingen legt uit waarom spanningsverschillen langs een pad optellen, terwijl parallelle takken hetzelfde paar eindpunten delen.

Houd tijdens het oefenen in Physics Zen naast de opgave vier kolommen bij: veld, kracht, potentiaal, energie. Schrijf vóór het invullen van getallen de eenheden in de juiste kolom. Door dat kleine onderscheid zie je een tekenfout of ontbrekende lading veel sneller.