De wet van Coulomb intuïtief: lading, kracht en elektrisch veld

Wrijf een ballon over je haar en hij blijft aan de muur hangen. Haal een plastic kam door droog haar en je kunt er papiersnippers mee van een tafel tillen. Je ziet niets dat kam en papier verbindt, maar over de tussenruimte werkt een aantrekkingskracht, die sterker wordt als de kam dichterbij komt.

Dat is de elektrische kracht. De wet van Coulomb geeft haar een getal: ze hangt af van de hoeveelheid lading en vooral van de afstand. In de voorbeelden gaan we uit van kleine ladingen in rust in vacuüm of lucht.

Lading kun je tellen

Elektrische lading bestaat in twee soorten, positief en negatief. Gelijke ladingen stoten elkaar af, tegengestelde trekken elkaar aan. Een proton draagt één eenheid positieve lading, een elektron één eenheid negatieve. Die eenheid is de elementaire lading:

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Sinds de herziening van het SI in 2019 ligt die waarde per definitie exact vast. De lading van elk voorwerp is een geheel veelvoud ervan. Eén coulomb is ongeveer $6.24 \times 10^{18}$ elementaire ladingen.

Ook lading blijft behouden. Als je een ballon over haar wrijft, ontstaat geen lading: elektronen worden verplaatst. Wat het ene voorwerp krijgt, raakt het andere kwijt. Ook een neutraal voorwerp bevat lading, maar van beide soorten evenveel.

De wet van Coulomb: formule en eenheden

Charles-Augustin de Coulomb publiceerde in 1785 metingen met een torsiebalans van de afstoting tussen twee kleine geladen bollen. Volgens het verslag van APS News was de kracht omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen hun middelpunten.

Voor puntladingen $q_1$ en $q_2$ op afstand $r$ schrijven we tegenwoordig:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ is in newton, de ladingen in coulomb en $r$ in meter, gemeten van middelpunt tot middelpunt. De constante van Coulomb $k$ zet coulomb en meter om in newton:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Hier is $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ de permittiviteit van vacuüm. Op vier cijfers nauwkeurig geldt $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. Het deel van OpenStax over de wet van Coulomb gebruikt dezelfde vorm.

Door de absolute strepen geeft de formule alleen de grootte. De tekens van de ladingen bepalen afstoting of aantrekking. De kracht werkt altijd langs de lijn tussen de ladingen.

Waarom afstand zoveel uitmaakt

Door de factor $r^2$ heeft afstand de grootste invloed op de formule. Verdubbel de afstand en de kracht wordt een kwart; verdrievoudig haar en de kracht wordt een negende.

Dit is een intuïtie, geen afleiding. Stel je voor dat de invloed van de lading gelijkmatig alle kanten op verspreidt. Op afstand $r$ is ze verdeeld over een bol met oppervlakte $4\pi r^2$. Verdubbel $r$ en die bol heeft vier keer de oppervlakte, zodat elk stukje een kwart krijgt. De $4\pi$ in $k$ hoort bij diezelfde bol.

Het kwadraat verklaart ook de ballon op de muur. De ladingen van de neutrale muur verschuiven iets: tegengestelde lading komt dichter bij de ballon, gelijke lading iets verder weg. Omdat de kracht zo sterk van afstand afhangt, wint de nabijere aantrekking van de verdere afstoting en blijft de ballon hangen.

Uitgewerkt voorbeeld: twee gelijke ladingen

Twee kleine bollen dragen elk $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ en staan $0.30\ \mathrm{m}$ uit elkaar. Een microcoulomb is $10^{-6}\ \mathrm{C}$. Vul voor elke lading dus $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ in:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Beide ladingen zijn positief, dus de kracht stoot af. Beide bollen worden met ongeveer 0,40 N recht van elkaar af geduwd, ongeveer het gewicht van een massa van 40 gram.

Zet ze $0.60\ \mathrm{m}$ uit elkaar. De afstand is verdubbeld, dus de kracht is nog maar een kwart: $0.10\ \mathrm{N}$. Een nieuwe berekening is niet nodig.

Uitgewerkt voorbeeld: hoe sterk is de elektrische kracht?

Neem elektron en proton in waterstof op een afstand van één Bohrstraal: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, de typische afstand in de grondtoestand van het atoom. Hun lading heeft telkens grootte $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Gebruik voor de zwaartekracht tussen hetzelfde paar $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ en $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

De elektrische kracht is ongeveer $2.27 \times 10^{39}$ keer zo groot. Beide nemen af als $1/r^2$, dus de verhouding geldt op elke afstand.

Waarom houdt zwaartekracht jou dan op de vloer en de maan in haar baan? Omdat materie vrijwel precies neutraal is. Bij protonen horen elektronen, zodat de enorme elektrische aantrekkings- en afstotingskrachten elkaar bijna geheel opheffen. Massa heeft geen negatieve variant, dus zwaartekracht valt nooit weg: elke kilogram van een planeet draagt bij.

Bepaal de richting en tel dan op

Bij meerdere ladingen werkt elk paar op elkaar alsof de andere er niet waren. De resulterende kracht is de vectorsom: het superpositiebeginsel.

Zet drie ladingen op één lijn:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ bij $x = 0$
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ bij $x = 0.20\ \mathrm{m}$
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ bij $x = 0.10\ \mathrm{m}$

Zoek de resulterende kracht op $q_3$, $0.10\ \mathrm{m}$ van beide andere ladingen. Bepaal vóór het rekenen de richtingen. $q_1$ en $q_3$ zijn positief, dus $q_1$ duwt $q_3$ van zich af, naar $+x$. $q_2$ is negatief en trekt $q_3$ naar zich toe, ook naar $+x$.

De twee uitkomsten worden opgeteld. Houd daarom vier cijfers aan, met $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Beide wijzen dezelfde kant op, dus de groottes tellen op:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

De resulterende kracht op $q_3$ is ongeveer 4,49 N naar rechts. De natuurkunde bepaalde de richting, de formule alleen de grootte.

Van kracht naar veld

De wet van Coulomb beschrijft twee ladingen. Het elektrisch veld beschrijft de ruimte rond een ervan. Het is de kracht per eenheid lading op een kleine positieve testlading $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

De eenheid is newton per coulomb en de richting is die waarin een positieve lading zou worden geduwd. Deel de testlading uit de wet van Coulomb weg voor het veld van een puntlading $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

Op $0.30\ \mathrm{m}$ van een lading van $2.0\ \mu\mathrm{C}$:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Het veld bestaat ook zonder testlading. Bereken het één keer en met $F = qE$ vind je de kracht op elke lading die je daar plaatst. Een tweede lading van $2.0\ \mu\mathrm{C}$ voelt de 0,40 N uit het eerste voorbeeld. Een negatieve lading wordt tegen de veldrichting in geduwd.

Elektrische veldlijnen beginnen bij positieve ladingen en eindigen bij negatieve of lopen door tot in het oneindige. Het veld op een punt raakt aan de lijn die daar loopt. Waar de lijnen dicht bijeen liggen, is het veld sterker. Lijnen kruisen elkaar nooit, want het veld heeft op elk punt één richting. Rond één lading gaat hetzelfde aantal lijnen door elke bol. Hun dichtheid neemt daarom af als $1/r^2$: weer de kwadratenwet.

De volgende stap is elektrische potentiaal: energie per eenheid lading, in volt. De spanning in onze gids over serie- en parallelschakelingen is een potentiaalverschil.

Coulomb en Newton naast elkaar

Hier staan de twee wetten:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Beide schalen met het product van twee bronwaarden en nemen af met het omgekeerde kwadraat van de afstand. Het verschil is het teken: lading bestaat in twee soorten, massa in één. Elektrische krachten kunnen dus aantrekken of afstoten, zwaartekracht trekt alleen aan. Hun sterkte verschilt met de hierboven gevonden factor van ongeveer $10^{39}$.

Newtons wetten zetten een coulombkracht om in een versnelling, zoals bij elke andere kracht. Ook de derde wet geldt: in het voorbeeld met drie ladingen duwt $q_3$ even hard met 2,696 N terug op $q_1$, hoewel $q_1$ drie keer zoveel lading heeft. Onze gids over cirkelbeweging laat zien hoe zwaartekracht de kracht naar binnen voor een baan levert. In het Bohrmodel van waterstof doet de coulombaantrekking dat voor het elektron.

Fouten die punten kosten

• Vergeten de afstand te kwadrateren. In het eerste voorbeeld delen door 0,30 in plaats van 0,090 geeft 0,12 N, niet 0,40 N.
• Omrekeningen overslaan. Micro betekent $10^{-6}$, nano $10^{-9}$ en 30 cm is 0,30 m. Als je beide ladingen in microcoulomb laat staan, wordt de kracht $10^{12}$ keer te groot.
• Een teken als richting lezen. Met de tekens meegenomen is het product van $q_2$ en $q_3$ negatief, wat op ‘links’ lijkt. Het betekent aantrekking, en aantrekking naar $q_2$ wijst rechts. Als je links kiest, vind je ongeveer 0,90 N in plaats van 4,49 N.
• Groottes optellen die andere kanten op wijzen. Je mag groottes alleen direct optellen wanneer krachten dezelfde kant op wijzen. Tegengestelde krachten op een lijn trek je af; bij schuine krachten gebruik je componenten.
• E en F verwisselen. Een veld in N/C hoort bij een punt in de ruimte; een kracht in newton bij een specifieke lading.

De eerste twee zijn rekenfouten; onze gids over natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn behandelt voorvoegsels en machten van tien.

Van de wet naar de praktijk

Het onderwerp Elektrostatica in Physics Zen heeft drie vaardigheden: Lading en wet van Coulomb, Elektrisch veld en Elektrische potentiaal. De eerste twee vaardigheden zijn gratis op iPhone en Android; alleen Elektrische potentiaal, de laatste vaardigheid, vereist Premium. Elektrostatica komt ook terug in de routes voor A-Level, Abitur en Bac. Onze gidsen voor A-Level Physics, Abitur en Bac laten zien waar het past.

Bepaal vóór het rekenen welke kant elke kracht op wijst. Controleer daarna de afstand: ze staat in het kwadraat, moet in meter zijn en niets anders in de wet van Coulomb verandert de uitkomst zo sterk.