Formules voor worpbeweging: uitgewerkte voorbeelden vanaf de grond en een klif

Een bal verlaat de grond met 20 m/s onder een hoek van 30 graden boven de horizontaal en landt ongeveer 35 m verder. Werp dezelfde bal op dezelfde manier vanaf een klif van 15 m hoog en hij landt ongeveer 53 m verder. Veel leerlingen vinden ook voor de klif 35 m omdat ze de drachtformule gebruiken zonder de aannames ervan te controleren. De formules voor worpbeweging zijn niet moeilijk. De vaardigheid is weten welke formule bij deze worp past.

Deze gids kiest één tekenafspraak en zet alle formules met hun voorwaarden in één tabel. Daarna rekenen we dezelfde worp vanaf vlakke grond en een klif door, plus een horizontale worp vanaf een tafel. Alle getallen gebruiken $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ en negeren luchtweerstand.

Splits de worp in twee bewegingen

Begin met een schets. Teken het vertrekpunt, de grond en een pijl voor de beginsnelheid $v_0$ onder hoek $\theta$ boven de horizontaal. Kies het vertrekpunt als oorsprong, omhoog positief en vooruit positief. Ontbind dan de beginsnelheid:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

Vanaf nu zijn het twee eendimensionale problemen met dezelfde klok. Horizontaal werkt er na het loslaten geen kracht op de bal, dus $a_x=0$ en blijft $v_x$ gelijk aan $v_{0x}$. Verticaal geeft de zwaartekracht een constante $a_y=-g$. Het deel over worpbeweging van OpenStax bouwt dit onderwerp op de onafhankelijkheid van die loodrechte bewegingen, zonder luchtweerstand. Het kader voor AP Physics 1 zegt hetzelfde in één zin: worpbeweging is tweedimensionaal met nul versnelling in één richting en een constante, niet-nul versnelling in de andere (College Board, AP Physics 1 CED, onderwerp 1.5).

Als die splitsing nog niet vanzelfsprekend voelt, behandelt onze gids over kinematica de eendimensionale beweging met constante versnelling die je voor elke as gebruikt.

Welke formule geldt hier?

Vier formules beschrijven elk projectiel in dit model. Drie andere zijn ervan afgeleide verkorte formules, met elk een voorwaarde die je makkelijk vergeet.

OpenStax noemt beide grenzen expliciet: de formule voor vliegtijd geldt niet als het projectiel op een andere hoogte landt en de drachtformule geldt alleen voor vertrek en landing op een horizontaal oppervlak. De formule voor maximale hoogte blijft vanaf een klif geldig, omdat ze alleen de verticale beweging tot de top gebruikt, waar $v_y=0$. Ze geeft de stijging boven het vertrekpunt, niet de hoogte boven de grond eronder.

Als je $t$ uit de eerste twee rijen elimineert, krijg je de baan: een parabool.

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Die is handig als onafhankelijke controle, zoals bij het klifvoorbeeld zal blijken.

Voorbeeld 1: vlakke grond, 20 m/s en 30°

Eerst de componenten: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ en $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Vliegtijd. Vertrek en landing liggen op dezelfde hoogte, dus de verkorte formule is toegestaan:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Controleer anders: de bal bereikt de top bij $v_y=0$, op $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. Bij gelijke vertrek- en landingshoogte weerspiegelt de daling de stijging, dus de totale tijd is tweemaal zoveel, 2,04 s.

Maximale hoogte.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Controleer door de tijd op de top in de hoogteformule in te vullen: $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Dracht.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Controleer zonder de verkorte formule: $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Twee methoden geven hetzelfde antwoord; dat wil je zien voordat je verdergaat. Gebruikt je cursus $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ (zoals de AP Physics 1-route in Physics Zen), dan verandert alleen het derde cijfer: 2,04 s, 5,10 m en 35,3 m blijven na afronden gelijk.

Voorbeeld 2: dezelfde worp vanaf een klif van 15 m

Werp nu met dezelfde 20 m/s en 30° vanaf de rand van een klif, 15 m boven vlakke grond. Met de oorsprong op het vertrekpunt is de landing bij $y=-15\ \mathrm{m}$. De verkorte drachtformule mag niet: de bal landt lager dan hij begon. Gebruik de algemene hoogteformule:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Na herschikken volgt $4.905t^2-10.0t-15=0$. De abc-formule geeft

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

dus $t=3.04\ \mathrm{s}$ of $t=-1.00\ \mathrm{s}$. De negatieve wortel is een tijdstip vóór de worp waarop een bal op dezelfde parabool op weg omhoog door grondniveau zou zijn gegaan. Algebraïsch klopt hij, maar fysisch is hij niet relevant. Verwerp hem. Vul de positieve wortel terug in ter controle: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. De keuze van de wortel is een van de wiskundefouten in natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn.

Dracht vanaf de klif.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Tweede controle met de baanformule: bij $x=52.7\ \mathrm{m}$ is $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. De bal is precies bij de grond.

Wat de verkorte formule zou kosten. $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ hier opnieuw gebruiken, geeft 35,3 m, de uitkomst voor vlakke grond. De werkelijke dracht is 52,7 m. De verkorte formule zit 17,4 m te kort, ongeveer 33 procent van de werkelijke afstand, zonder dat de formule je waarschuwt. De maximale hoogte blijft 5,10 m boven het vertrekpunt, dus 20,1 m boven de grond beneden.

Snelheid bij de landing. Bij de landing is $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$ en $v_x$ nog steeds 17,32 m/s. Dus:

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

onder een hoek van $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ onder de horizontaal. Ook energie geeft onafhankelijk de snelheid: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Onze gids over arbeid en energie legt uit waarom deze korte weg werkt.

Is 45° nog de beste hoek? Niet vanaf een klif. Bij 20 m/s en een val van 15 m hebben we dezelfde kwadratische vergelijking voor verschillende hoeken opgelost:

Van deze hoeken is 37° het beste; bij 45° landt de bal zelfs dichterbij dan bij 30°. Door de hoogte blijft hij al langer in de lucht, dus een vlakkere worp met meer horizontale snelheid levert meer op.

Voorbeeld 3: een bal rolt van een tafel

Een bal rolt met 3,0 m/s van een tafel van 0,90 m hoog. Hier is $\theta=0$, dus $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ en $v_{0y}=0$. Ook nu is de landingshoogte anders dan de vertrekhoogte; alleen de algemene formules gelden.

Valtijd. Met $v_{0y}=0$ wordt de hoogteformule $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

Een bal die je recht omlaag vanaf de tafelrand loslaat, valt even lang. De horizontale snelheid vertraagt de val niet.

Landingsplaats. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ vanaf de voet van de tafel. De pagina over worpbeweging van LibreTexts behandelt een horizontale worp vanaf hoogte op dezelfde manier, met valtijd $\sqrt{2H/g}$.

Snelheid en hoek bij de landing. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, dus

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

onder de horizontaal. Energie bevestigt: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Twee oefenopgaven, met antwoorden

1. Vlakke grond. Een bal wordt vanaf vlakke grond met 15 m/s onder 60° omhoog geschopt. Bepaal de vliegtijd, maximale hoogte en dracht. Antwoorden: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Alle drie verkorte formules gelden hier; controleer de dracht met $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Horizontale worp. Een steen wordt met 12 m/s horizontaal vanaf een richel 20 m boven het water geworpen. Hoe lang blijft hij in de lucht, hoe ver landt hij en met welke snelheid raakt hij het water? Antwoorden: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ onder een hoek van $58.8^\circ$ onder de horizontaal. Geen verkorte formule voor vlakke grond is hier van toepassing.

Oefen de splitsing tot ze vanzelf gaat

Worpen komen vroeg in elk groot leerprogramma voor. AP Physics 1 behandelt ze in onderdeel 1; onze gids voor AP Physics 1 toont hoe kinematica in een volledig studieplan past. De methode hierboven verandert niet per examen, alleen $g$ en de getallen.

Het onderwerp Kinematica in Physics Zen is op iPhone en Android helemaal gratis. Je krijgt er telkens nieuwe beginsnelheden, hoeken en hoogten bij de vaardigheid Worpbeweging, directe controle en na elk antwoord een uitgewerkte oplossing. Maak er enkele en stel jezelf vooraf de vraag uit de tabel: landt deze bal op dezelfde hoogte als hij vertrok? Zo niet, sla de verkorte formules over en bereken de tijd.