Geluidsintensiteit en afstand: uitgewerkte kwadratenwet

Ga in een open ruimte twee keer zo ver van een kleine geluidsbron staan. Wordt de intensiteit dan gehalveerd? In het eenvoudigste natuurkundige model daalt zij tot een kwart. Het vermogen is niet verdwenen. Het is verdeeld over een boloppervlak dat vier keer zo groot is. Op vier keer de oorspronkelijke afstand is dat oppervlak zestien keer zo groot en ontvangt elke vierkante meter slechts een zestiende van de beginintensiteit.

Dit is de omgekeerde kwadratenwet voor geluidsintensiteit. Zij gaat over energiestroom per oppervlak, niet over een belofte dat iemand het geluid als vier keer zo zacht hoort. Deze gids leidt het verband af, rekent voorbeelden uit, zet een intensiteitsverhouding om in een verschil in decibel en laat zien wanneer een kamer of grote bron het eenvoudige beeld doorbreekt. Onze Dopplergids behandelt iets anders: verandering van frequentie als bron en luisteraar ten opzichte van elkaar bewegen.

Begin met wat intensiteit meet

Een geluidsgolf draagt energie over. Vermogen $P$ is energie per seconde, gemeten in watt. Intensiteit $I$ is het vermogen dat per oppervlakte-eenheid loodrecht op de energiestroom passeert, gemeten in watt per vierkante meter:

$$I=\frac{P}{A}.$$

Die definitie geldt niet alleen voor horen. OpenStax University Physics, deel 1, §17.3 past haar op geluid toe en introduceert vervolgens het ideale bolmodel. Controleer de eenheden vóór de berekening: watt gedeeld door vierkante meter wordt $\mathrm{W/m^2}$. Een antwoord enkel in watt is vermogen, geen intensiteit.

Een luidspreker kan hetzelfde akoestisch vermogen afgeven terwijl de intensiteit op grotere afstand verandert. Het oppervlak waar dat vermogen doorheen gaat, neemt met de afstand toe. Daarom is de vraag naar ‘de intensiteit van de luidspreker’ zonder afstand of meetvlak onvolledig. Je kunt twee metingen op verschillende afstanden ook niet vergelijken alsof de bron zelf van sterkte veranderde.

Het boloppervlak laat het kwadraat zien

Stel je een kleine bron voor die gelijkmatig in alle richtingen uitzendt, zonder hindernissen, reflecties of noemenswaardig vermogensverlies in het medium op de bekeken afstanden. Op straal $r$ kruist hetzelfde naar buiten gaande vermogen een boloppervlak met grootte

$$A=4\pi r^2.$$

Vul dit oppervlak in de intensiteitsdefinitie in:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

De straal staat in het kwadraat omdat het oppervlak van een bol met het kwadraat van de straal groeit. Het wordt geen omgekeerde derdemachtswet omdat geluid door de driedimensionale ruimte reist. We delen door een oppervlak, niet door het ingesloten volume. Als de straal verdubbelt, geldt $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. Hetzelfde vermogen ligt over vier keer zoveel oppervlak verspreid; per vierkante meter blijft een kwart over.

De formule is alleen nuttig wanneer de aannames passen. Een gerichte luidspreker straalt niet overal even sterk. Een muur kaatst energie terug. Een bron die groot is vergeleken met de afstand lijkt niet op een punt. Behandel de bolberekening als een ideaal model, niet als een universele voorspelling van elke microfoon.

Gebruik eerst een verhouding

Als het bronvermogen gelijk blijft, deel dan de twee bolformules door elkaar. $P$ en $4\pi$ vallen weg:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Neem in het ideale model een intensiteit van $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$ op $2.0\ \mathrm m$. Op $4.0\ \mathrm m$ is de verhouding $(2.0/4.0)^2=1/4$, dus de verwachte intensiteit $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. Op $6.0\ \mathrm m$ is de verhouding $(2.0/6.0)^2=1/9$ en volgt ongeveer $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

Gebruik de verhouding van afstanden tot de bron. Kwadrateer niet het aantal extra meters. Van 2 naar 4 m wordt de afstand verdubbeld; van 4 naar 6 m wordt zij met 1,5 vermenigvuldigd. Die stappen kunnen daarom niet dezelfde intensiteitsverhouding hebben. ‘Twee keer zo ver geeft de halve intensiteit’ is een verleidelijk lineair antwoord dat het grotere oppervlak vergeet.

Van vermogen via oppervlak naar intensiteit

Begin nu zonder bekende intensiteit. Een hypothetische puntbron straalt akoestisch vermogen $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ gelijkmatig in alle richtingen uit. Op $r=1.0\ \mathrm m$ is het boloppervlak $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Daarom

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

Op 2,0 m is het oppervlak $16\pi\ \mathrm{m^2}$ en de intensiteit $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. Op 4,0 m zijn het $64\pi\ \mathrm{m^2}$ en $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Het vermogen in de teller verandert nergens. In dit model daalt de lokale intensiteit door geometrische spreiding, niet doordat de bron zachter wordt gezet.

De getallen zijn verzonnen om de berekening te laten zien. Ze beschrijven geen echte luidspreker, meetruimte of veilige blootstellingsduur. Controleer ermee de meetkunde: de straal van 2 naar 4 m verdubbelen deelt de intensiteit opnieuw door vier. Als jouw tabel het oppervlak maar verdubbelt, is het kwadraat verloren gegaan.

Zet een intensiteitsverhouding zorgvuldig om in decibel

Een geluidsintensiteitsniveau gebruikt een logaritmische schaal. Voor intensiteit $I$ en referentie-intensiteit $I_0$ geeft OpenStax

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Met de gebruikelijke referentie $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ is het niveau op 1 m in ons voorbeeld $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. Op 2 m is het $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$ en op 4 m ongeveer $68\ \mathrm{dB}$. Elke verdubbeling van de afstand komt in dit ideale geval overeen met ongeveer 6 dB minder.

Het verschil vind je ook zonder de afzonderlijke absolute niveaus:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Trek niet een kwart van 80 dB af en noem het niveau niet 20 dB omdat de intensiteit een kwart werd. Decibels zijn logaritmen van verhoudingen: vermenigvuldiging van intensiteit wordt optellen of aftrekken van niveaus. Bovendien is het intensiteitsniveau een natuurkundige grootheid, terwijl ervaren luidheid afhangt van frequentie, gehoor en omstandigheden. Dit voorbeeld zegt niet dat iemand het geluid als vier keer zo zacht hoort. OpenStax scheidt intensiteit, niveau en luidheid.

Controleer waar het eenvoudige model ophoudt

De omgekeerde kwadratenwet vereist een ongeveer puntvormige bron en een vrij veld. In een kamer keert gereflecteerd geluid terug van muren, plafond en vloer. Het totale niveau bij de luisteraar hoeft dan niet bij elke afstandsverdubbeling 6 dB te dalen. Auditory Neuroscience over de omgekeerde kwadratenwet noemt dit reflectieprobleem expliciet. Ook buiten kunnen obstakels, de grond, bronrichting en absorptie het resultaat veranderen. De meetkunde is niet fout; de echte situatie voldoet alleen niet meer aan de simpele aannames.

Dicht bij een grote luidspreker of andere uitgestrekte bron kan het beeld van één klein punt dat alle kanten op straalt eveneens slecht zijn. Pas de bolformule op een afstand die vergelijkbaar is met de brongrootte niet zonder controle toe. In een opgave geven woorden als ‘isotrope puntbron’, ‘bolgolf’ en ‘verwaarloos absorptie’ toestemming voor de formule. Ontbreken ze, noem dan de aanname die je maakt.

Een geluidsmeter of telefoonapp kan een dB-getal tonen. Dat getal alleen laat het akoestisch vermogen van de bron niet zien en bewijst geen omgekeerde kwadratenwet. Daarvoor zijn de meetopstelling en kalibratie nodig. Hier voorspelt de berekening een ideale intensiteit uit opgegeven vermogen en afstand; zij is geen methode om gehoorveiligheid uit een telefoonscherm af te leiden.

Twee korte opgaven om het model te testen

Opgave 1. Een puntbron in een ideaal vrij veld geeft op 3 m $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$. Wat is de intensiteit op 9 m? De afstand verdrievoudigt, dus de intensiteit wordt een negende: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. Het niveauverschil is $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Voor dat verschil heb je de referentie-intensiteit niet nodig.

Opgave 2. Twee luisteraars staan op 1 m en 2 m van een bron in een kleine ruimte met reflecties. Kun je een verschil van 6 dB beloven? Nee. Voor de directe bolcomponent kun je onder ideale aannames ongeveer 6 dB berekenen, maar reflecties kunnen het totale geluid op beide plaatsen veranderen. Zeg welke grootheid jouw antwoord beschrijft. Die voorwaarde is onderdeel van de oplossing.

Voor ander soort geluidsopgaven bepalen staande golven welke frequenties in een snaar of buis passen, terwijl Dopplerverschuivingen een schijnbare frequentieverandering beschrijven. Intensiteit vraagt iets anders: hoeveel vermogen passeert hier elke vierkante meter? Wanneer grootheid en aannames zijn benoemd, hebben het kwadraat en de logaritme elk een duidelijke taak.