Soortelijke warmte: uitgewerkte voorbeelden met Q = mcΔT

Twee bekers kunnen evenveel energie ontvangen en toch verschillend opwarmen. Een kleine beker water warmt meer op dan een grote. Een koperen voorwerp en dezelfde massa water reageren weer anders. Soortelijke warmte is de materiaaleigenschap in deze vergelijking. De vergelijking $Q=mc\Delta T$ is kort, maar veel fouten ontstaan doordat warmte en temperatuur door elkaar lopen, grammen worden gebruikt bij een waarde per kilogram, of het minteken van afkoelen wordt vergeten.

We rekenen verwarmen, een onbekende massa, een eindtemperatuur, afkoelen en mengen in een geïsoleerd systeem uit. Een tabel met eenheidsfouten en een controle van de energiebalans maken de voorbeelden herbruikbaar. De waarden voor water, koper en aluminium komen uit de tabel met soortelijke warmte van OpenStax. Het zijn representatieve waarden voor leerboekberekeningen, geen exacte constanten bij elke temperatuur.

Warmte, temperatuur en capaciteit zijn verschillende grootheden

Temperatuur beschrijft de thermische toestand van een materiaal. Warmteoverdracht $Q$ is energie die door een temperatuurverschil een grens passeert; de eenheid is joule. Een heet voorwerp ‘bevat’ geen warmte als opgeslagen stof. Het heeft inwendige energie, en warmte kan energie naar of van het voorwerp overdragen. Onze gids over arbeid en energie introduceert de bredere energiebalans die dit onderscheid nuttig maakt.

De soortelijke warmte $c$ hoort bij een materiaal en een fase. In SI-eenheden is het energie per kilogram per kelvin: $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Voor vloeibaar water nemen inleidende opgaven vaak $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$; voor koper $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ en voor aluminium $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Deze waarden geven aan hoeveel energie één kilogram nodig heeft om één kelvin op te warmen zolang de stof in dezelfde fase blijft. Ook $c$ zelf kan met de temperatuur veranderen, dus in onze berekeningen is het bij benadering constant over het opgegeven interval.

De warmtecapaciteit van een bepaald voorwerp is $C=mc$ met eenheid $\mathrm{J/K}$. Verdubbel je de massa van hetzelfde materiaal, dan verdubbelt $C$ terwijl $c$ gelijk blijft. Voor een watermonster van $0.250\ \mathrm{kg}$ is $C=0.250(4186)=1046.5\ \mathrm{J/K}$. In dit model heeft het ongeveer $1047\ \mathrm{J}$ nodig voor elke stijging van één kelvin. Door $c$ en $C$ uit elkaar te houden voorkom je een veelgemaakte fout bij meerdere voorwerpen.

Lees Q = mcΔT met consistente eenheden

Schrijf de temperatuurverandering als eindtemperatuur min begintemperatuur:

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

Hier is $m$ de massa en $Q$ de energie die het voorwerp binnenkomt. Een positieve $\Delta T$ geeft positieve $Q$ bij verwarmen. Een negatieve $\Delta T$ geeft negatieve $Q$ bij afkoelen. De vergelijking beschrijft voelbare opwarming of afkoeling zolang het materiaal in één fase blijft en $c$ ongeveer constant is.

Als $c$ in $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ staat, moet de massa in kilogram en het temperatuurverschil in kelvin staan. Een verschil in Celsius heeft dezelfde getalswaarde: van $20^\circ\mathrm{C}$ naar $60^\circ\mathrm{C}$ is een verandering van $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$. Tel geen 273,15 op bij een temperatuurverschil. Je kunt ook $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ bij een Celsiusverschil gebruiken, maar meng nooit massa in gram met een warmtecapaciteit per kilogram.

Gebruik de tabel om de grootheden en eenheden te controleren voordat je getallen invult. Elke rij koppelt de natuurkundige lezing van de opgave aan de waarden die de formule werkelijk accepteert. Lijkt een uitkomst onaannemelijk, controleer dan deze omzettingen voordat je het model wijzigt. Het bredere patroon staat in natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn.

Voorbeeld 1: energie om water op te warmen

Verwarm $0.250\ \mathrm{kg}$ vloeibaar water van $20^\circ\mathrm{C}$ naar $60^\circ\mathrm{C}$. Neem $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Het water blijft vloeibaar; energie die het vat en de ruimte opnemen verwaarlozen we. De verandering is $\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$. Dus

$$Q=(0.250)(4186)(40)=41{,}860\ \mathrm{J}=41.86\ \mathrm{kJ}.$$

Controleer zonder de hele vermenigvuldiging te herhalen: het monster heeft warmtecapaciteit $1046.5\ \mathrm{J/K}$, dus voor een stijging van $40\ \mathrm{K}$ is $40(1046.5)=41{,}860\ \mathrm{J}$ nodig. De eenheden kloppen ook: $\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$. Het positieve teken past bij energie die het water binnenkomt.

Als een verwarmer meer levert, kan het verschil naar het vat en de omgevingslucht gaan. Met $Q=mc\Delta T$ berekenden we de energie die het water ontving, niet noodzakelijk de elektrische energie uit het stopcontact.

Voorbeeld 2: massa of temperatuurverandering uitrekenen

Stel dat $12{,}558\ \mathrm{J}$ naar vloeibaar water wordt overgedragen en de temperatuur $20\ \mathrm{K}$ stijgt. Herschrijf de formule voordat je getallen invult:

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12{,}558}{4186(20)} =0.150\ \mathrm{kg}.$$

Dat is $150\ \mathrm{g}$. Terugrekenen geeft $0.150(4186)(20)=12{,}558\ \mathrm{J}$. Als je antwoord $150\ \mathrm{kg}$ was, is een fout bij de omzetting van gram naar kilogram de eerste verdachte.

Neem voor een andere onbekende $0.500\ \mathrm{kg}$ aluminium dat $9000\ \mathrm{J}$ krijgt. Met $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ is de temperatuurstijging

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0.500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

Begint het op $20^\circ\mathrm{C}$, dan eindigt het op $40^\circ\mathrm{C}$. De stijging is $20\ \mathrm{K}$; begin- en eindtemperatuur staan in Celsius. Dat kan tegelijk juist zijn omdat een stap van één kelvin even groot is als een stap van één graad Celsius, hoewel de nulpunten verschillen.

Voorbeeld 3: afkoelen en negatieve Q

Een stuk koper van $0.200\ \mathrm{kg}$ koelt van $80^\circ\mathrm{C}$ af naar $30^\circ\mathrm{C}$. Met $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ is $\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$:

$$Q_{Cu}=(0.200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

Het minteken betekent dat energie het koper verliet volgens onze afspraak ‘naar het voorwerp toe’. Het koper gaf een hoeveelheid energie van $3870\ \mathrm{J}$ af. Zeg niet dat het ‘negatieve warmte bevat’. Ontvangt een ander voorwerp in een geïsoleerde opstelling al deze energie, dan is zijn $Q$ positief $3870\ \mathrm{J}$. In een open opstelling kan energie naar de omgeving verdwijnen; zonder extra gegevens kun je de volledige hoeveelheid niet aan één ontvanger toekennen.

De grootte klopt: het stuk koper heeft warmtecapaciteit $0.200(387)=77.4\ \mathrm{J/K}$. Vermenigvuldig met een daling van $50\ \mathrm{K}$ en je krijgt $3870\ \mathrm{J}$, met een minteken voor uitgaande energie.

Voorbeeld 4: heet koper mengen met koel water

Doe $0.200\ \mathrm{kg}$ koper van aanvankelijk $90^\circ\mathrm{C}$ in $0.300\ \mathrm{kg}$ vloeibaar water van aanvankelijk $20^\circ\mathrm{C}$. Stel je een geïsoleerd vat voor met verwaarloosbare warmtecapaciteit en zonder faseverandering. Beide bereiken dezelfde eindtemperatuur $T_f$. De energie die koper verliest is gelijk aan wat water ontvangt:

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0.200)(387)(T_f-90) +(0.300)(4186)(T_f-20)=0.$$

De warmtecapaciteiten zijn $77.4\ \mathrm{J/K}$ voor koper en $1255.8\ \mathrm{J/K}$ voor water. Herschrijven geeft

$$T_f=\frac{77.4(90)+1255.8(20)}{77.4+1255.8} =24.06^\circ\mathrm{C}.$$

Dat ligt tussen $20^\circ\mathrm{C}$ en $90^\circ\mathrm{C}$, dichter bij de starttemperatuur van het water omdat diens warmtecapaciteit als monster veel groter is. Een antwoord boven $90^\circ\mathrm{C}$ of onder $20^\circ\mathrm{C}$ zou de aanname zonder externe energie schenden.

Controleer de balans met het niet-afgeronde antwoord: voor koper is $Q_{Cu}=77.4(24.0639-90)=-5103.45\ \mathrm{J}$ en voor water $Q_w=1255.8(24.0639-20)=+5103.45\ \mathrm{J}$. Hun som is nul, afgezien van afronding. OpenStax over calorimetrie gebruikt dezelfde balans van verlies plus winst. Een echt vat zou ook energie opnemen; zijn warmtecapaciteit hoort in een gedetailleerdere balans.

Wanneer deze vergelijking niet het juiste model is

De vergelijking veronderstelt een temperatuurverandering binnen één fase. Bij smelten of koken kan energie binnenkomen terwijl de temperatuur tijdens de overgang ongeveer constant blijft. $\Delta T=0$ in $mc\Delta T$ invullen en besluiten dat geen energie nodig was, is dan een verkeerd model. Splits een meerstapsopgave op in stukken met temperatuurverandering via $mc\Delta T$ en faseveranderingen via $mL$, met de latente warmte die de opgave geeft. OpenStax bespreekt faseovergangen apart.

Soortelijke warmte is niet exact constant bij alle temperaturen of in elke fase. Een open systeem houdt ook niet alle overgedragen energie in het genoemde monster. Bij een instapopgave geeft de vraag meestal $c$ en de verliezen die je mag verwaarlozen. Schrijf die aannames naast de vergelijking. Bij een experiment of echt apparaat moet je vat, omgeving en temperatuurafhankelijkheid meten of modelleren, niet één leerboekwaarde op alles toepassen.

Noteer bij een nieuwe opgave het voorwerp, de massa in kilogram, het materiaal en de fase, $c$ met eenheid, en $T_f-T_i$. Bepaal of $Q$ het voorwerp in- of uitgaat. Schrijf bij mengen voor elk voorwerp een $Q$ met teken en stel hun som alleen op nul als het systeem als geïsoleerd wordt beschouwd. In het onderwerp Warmte en temperatuur van Physics Zen kun je dit met nieuwe waarden en uitgewerkte oplossingen oefenen. Maak van de eenheidscontrole en energiebalans een deel van je berekening, niet iets achteraf.