Dunne-lensformule: uitgewerkte voorbeelden met reële en virtuele beelden

Zet een voorwerp voor een convergerende lens en beweeg het naar het glas. Op sommige plaatsen kun je aan de andere kant een scherm zetten en een scherp beeld zien. Zet het voorwerp dichterbij dan de brandpuntsafstand en het scherm vangt geen beeld meer op. Kijk je door de lens, dan kan het voorwerp juist vergroot lijken. De dunne-lensformule beschrijft beide situaties, zolang de tekens aangeven aan welke kant van de lens de stralen werkelijk samenkomen of lijken samen te komen.

Het rekenwerk is kort. De meeste fouten ontstaan eerder: een schets ontbreekt, een virtueel beeld krijgt een positieve afstand of het teken van vergroting wordt voor grootte aangezien. We gebruiken van begin tot eind één duidelijke afspraak en controleren elk antwoord met een stralenschets.

Schets de lens vóór je tekens kiest

Teken een horizontale hoofdas en een verticale lijn voor de lens. Zet het voorwerp links. In de situaties hieronder loopt het licht van links naar rechts. Markeer aan weerszijden een brandpunt op afstand $|f|$ van de lens. De eenvoudige schets geeft je na de berekening een plaats om het beeld te zetten.

Bij een convergerende lens loopt een straal vanaf de bovenkant van het voorwerp die evenwijdig aan de as invalt, na de lens naar het verre brandpunt. Een straal door het lensmidden gaat in het dunne-lensmodel ongeveer rechtdoor. Waar die uittredende stralen elkaar kruisen, ontstaat een reëel beeld. Lopen de stralen uiteen, verleng ze dan achterwaarts met stippellijnen. Die verlengingen kruisen bij het virtuele beeld; in werkelijkheid ontmoeten de uittredende lichtstralen elkaar daar niet. Een divergerende lens spreidt een evenwijdige invallende straal alsof ze uit het nabije brandpunt kwam.

Dit zijn geïdealiseerde stralen. Een echte lens heeft dikte en de beeldvorming kan afwijken van de dunne, paraxiale benadering. De formule en schetsen veronderstellen stralen dicht bij de hoofdas en kleine hoeken. Het deel over dunne lenzen van OpenStax geeft de formule, straalconstructies en de hier gebruikte tekenafspraak.

De formule en één tekenafspraak

Laat $d_o$ de afstand van voorwerp tot lens zijn, $d_i$ de beeldafstand en $f$ de brandpuntsafstand. Dan geldt

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

Alle drie afstanden moeten dezelfde eenheid hebben. Centimeter werkt als alles in centimeter is; meter als alles in meter is. Het resultaat krijgt diezelfde eenheid. Los voor beeldafstand op voordat je getallen invult:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Voor een gewoon reëel voorwerp aan de kant van het invallende licht gebruiken we reëel is positief:

Sommige cursussen gebruiken cartesische coördinaten met andere tekens voor posities. Wissel niet halverwege een berekening van afspraak. Schrijft jouw cursus de formule anders, gebruik de definities daar dan consequent. De fysische vragen zijn dezelfde: waarheen bewegen de stralen, waar kruisen ze en is het beeld rechtopstaand of omgekeerd?

Uitgewerkt voorbeeld: reëel beeld door een convergerende lens

Plaats een voorwerp $30\ \mathrm{cm}$ voor een convergerende lens met $f=+10\ \mathrm{cm}$. Het staat verder dan één brandpuntsafstand, dus een reëel beeld aan de verre kant is aannemelijk. Vul $d_o=+30\ \mathrm{cm}$ in:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Daarom is $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. Het plusteken zet het beeld aan de verre kant van de lens. Controleer door terug te rekenen: $1/10=1/30+1/15$. In je schets wordt de evenwijdige straal door het verre brandpunt gebroken en kruist de middenstraal haar daar. Het beeld is reëel, zodat een ideaal scherm op die plaats de samenkomende stralen kan opvangen.

Het beeld is kleiner en omgekeerd. Bereken dat met de vergroting in plaats van het te raden.

Vergroting: onderscheid oriëntatie en grootte

Met dezelfde afspraak is de transversale vergroting met teken

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

waar $h_o$ en $h_i$ de hoogte van voorwerp en beeld vanaf de hoofdas zijn. Een negatieve $m$ betekent omgekeerd, een positieve $m$ rechtopstaand. De absolute waarde $|m|$ is de schaalfactor van de beeldhoogte. Het is geen lengte en heeft geen eenheid.

Voor de eerste lens is $m=-15/30=-0.50$. Een voorwerp van $4.0\ \mathrm{cm}$ hoog zou $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$ geven. Het teken vertelt dat de bovenkant onder de as verschijnt; de grootte van de beeldhoogte is $2.0\ \mathrm{cm}$. Beschrijf een negatieve hoogte niet als een fysisch negatieve grootte.

Uitgewerkt voorbeeld: vergroot virtueel beeld

Neem weer een convergerende lens met $f=+12\ \mathrm{cm}$, maar zet het voorwerp op slechts $8.0\ \mathrm{cm}$ afstand. Omdat $d_o<f$, lopen de uittredende stralen uiteen. Hun achterwaartse verlengingen ontmoeten elkaar aan de voorwerpkant. Voorspel vóór het rekenen $d_i<0$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

Het virtuele beeld ligt $24\ \mathrm{cm}$ van de lens aan de voorwerpkant. De vergroting is

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

In dit ideale model is het beeld dus rechtopstaand en drie keer zo hoog als het voorwerp. Een scherm op de virtuele beeldplaats kan daar geen samenkomende lichtstralen opvangen: die plaats volgt uit de achterwaartse verlenging van de uittredende stralen. Dat is het wezenlijke verschil tussen een virtueel beeld zien en een reëel beeld op een scherm projecteren.

Uitgewerkt voorbeeld: divergerende lens

Neem nu een divergerende lens met $f=-15\ \mathrm{cm}$. Zet er een reëel voorwerp $30\ \mathrm{cm}$ voor. De negatieve brandpuntsafstand is essentieel: met $+15\ \mathrm{cm}$ beschrijf je een andere lens.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Dus $d_i=-10\ \mathrm{cm}$: een virtueel beeld aan de voorwerpkant. De vergroting is $m=-(-10)/30=+1/3$, dus rechtopstaand en een derde zo hoog. In de schets spreiden de stralen na de lens; hun achterwaartse verlengingen kruisen tussen lens en nabij brandpunt. Controleer de formule mét tekens: $-1/15=1/30-1/10$.

Voor een reëel voorwerp en een eenvoudige divergerende lens verwacht je in dit model een virtueel, rechtopstaand en verkleind beeld. De berekening hierboven toont dat patroon voor één stel afstanden; het negatieve $f$ veroorzaakt het.

Wat gebeurt er in het brandvlak?

In de herschreven formule $d_i=fd_o/(d_o-f)$ nadert de noemer nul wanneer een reëel voorwerp de brandpuntsafstand van een convergerende lens nadert. Komt het net van buiten $f$, dan wordt $d_i$ groot en positief. Komt het net van binnen, dan wordt de beeldafstand groot en negatief. Precies bij $d_o=f$ geldt $1/d_i=0$: de uittredende stralen lopen in het ideale model evenwijdig en er is geen eindige beeldafstand om op te geven.

Vul $d_o=f$ niet in de breuk in om de deling-door-nulfout van je rekenmachine een fysisch resultaat te noemen. Teken de evenwijdige stralen en zeg dat het beeld in dit ideale model op oneindig ligt.

Drie opgaven om te proberen en na te kijken

1. Reëel beeld en beeldhoogte. Een convergerende lens heeft $f=+20\ \mathrm{cm}$. Een reëel voorwerp van $3.0\ \mathrm{cm}$ hoog staat op $60\ \mathrm{cm}$ afstand. Bepaal beeldafstand en beeldhoogte. Berekening: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, dus $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Dan $m=-30/60=-0.50$ en $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. Het reële beeld staat omgekeerd en is half zo hoog.

2. Binnen de brandpuntsafstand. Een convergerende lens heeft $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ en een reëel voorwerp op $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Bepaal het beeld en de vergroting. Berekening: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, dus $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Dan $m=-(-18)/6.0=+3.0$. Het beeld is virtueel, rechtopstaand en vergroot.

3. Divergerende lens. Een reëel voorwerp staat $24\ \mathrm{cm}$ van een lens met $f=-12\ \mathrm{cm}$. Bepaal beeldafstand en beeldtype. Berekening: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, dus $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Omdat het aan de voorwerpkant ligt, is het beeld virtueel. Ook geldt $m=-(-8)/24=+1/3$, dus het is rechtopstaand en verkleind.

Lenzen werken doordat licht van richting verandert. Onze gids over de wet van Snellius behandelt breking aan één grensvlak. Oefen lensberekeningen en beeldtypes in het onderwerp Optica van Physics Zen. De gidsen voor A-Level Physics, Abitur Physik en Bac physique plaatsen optica in een breder studieplan.