De wet van Archimedes: opwaartse kracht uitgelegd met voorbeelden

Duw een lege, afgesloten fles onder het oppervlak van een zwembad. Je hand voelt hoe ze terugduwt. Laat je haar los, dan stijgt de fles tot nog maar een deel onder water zit. Laat nu een metalen sleutel in hetzelfde zwembad vallen. Die zinkt, maar het water duwt er nog steeds omhoog tegenaan. Het verschil is of die opwaartse duw groot genoeg is om het gewicht van het voorwerp te dragen.

De wet van Archimedes geeft de grootte van die duw: de opwaartse kracht is gelijk aan het gewicht van de vloeistof die het voorwerp verplaatst. De wet geldt voor drijvende en zinkende voorwerpen, en voor voorwerpen die onder water worden vastgehouden. De balans hangt af van hoeveel van het voorwerp is ondergedompeld. De meeste fouten ontstaan doordat iemand het volledige volume gebruikt terwijl slechts een deel ervan vloeistof verplaatst.

In de voorbeelden gebruiken we water met dichtheid $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ en zwaartekrachtversnelling $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Dat zijn afgeronde modelwaarden. Neem aan dat de dichtheid van het water overal gelijk is, dat de voorwerpen geen water opnemen of van volume veranderen en dat de voorbeelden in rust zijn, tenzij loslaten expliciet wordt genoemd.

Waarom de kracht omhoog wijst

Water duwt van alle kanten op een ondergedompeld voorwerp. Druk neemt toe met de diepte, dus op het onderste oppervlak duwt het water harder dan op het bovenste. In een eenvoudige symmetrische situatie heffen de horizontale duwkrachten elkaar op en blijft een resulterende kracht omhoog over. Het deel over opwaartse kracht van OpenStax ontwikkelt dit drukbeeld en formuleert de wet van Archimedes voor gedeeltelijke en volledige onderdompeling.

Je kunt hetzelfde anders voorstellen. Haal het voorwerp in gedachten weg en zet het verplaatste water terug. Dat water zou door de druk van het omringende water worden gedragen. Vervang het water weer door het voorwerp: het omringende water levert dezelfde opwaartse steun voor dat ingenomen volume. De opwaartse kracht is dus gelijk aan het gewicht van het verplaatste water. Het eigen gewicht van het voorwerp bepaalt of die steun voldoende is, niet of de steun bestaat.

Bij een vloeistof met constante dichtheid heeft de verplaatste vloeistof massa $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Vermenigvuldig met $g$ voor haar gewicht:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Controleer de eenheden: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. Opwaartse kracht is een kracht in newton, geen massa in kilogram. De demonstratie van Archimedes door UC Santa Barbara toont de formule en vergelijkt het verlies in de weegschaalwaarde met water dat bij een ondergedompelde bol wordt opgevangen.

Welk volume hoort in de formule?

Gebruik het volume verplaatste vloeistof. Dat is precies het volume van het deel van het voorwerp ín de vloeistof, mits de vloeistof er niet doorheen kan stromen.

• Bij een massief voorwerp dat helemaal onder water is, is het verplaatste volume gelijk aan het totale uitwendige volume.
• Bij een voorwerp dat deels boven het oppervlak drijft, is het verplaatste volume alleen het ondergedompelde deel.
• Bij een voorwerp dat langzaam in het water wordt neergelaten, groeit het verplaatste volume naarmate meer ervan ondergaat, tot het volledig onder water is.

De formule vraagt niet rechtstreeks om massa of dichtheid van het voorwerp als je alleen de opwaartse kracht berekent. Die grootheden worden belangrijk wanneer je de kracht met het gewicht vergelijkt of de drijfpositie zoekt. Teken de waterlijn en gebruik alleen het volume daaronder.

Uitgewerkt voorbeeld: een zinkend voorwerp onder water vasthouden

Neem een compact voorwerp met massa $1.0\ \mathrm{kg}$ en uitwendig volume $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Laat het aan een dunne weegschaalhaak helemaal in het water zakken, houd het hangend en zorg dat het de bodem niet raakt. Negeer de kleine opwaartse kracht van lucht wanneer we zijn gewicht in lucht $mg$ noemen.

Zijn gewicht is:

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

Omdat het helemaal onder water is, verplaatst het $0.0005\ \mathrm{m^3}$ water. De opwaartse kracht is:

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

De zwaartekracht trekt nog steeds met $9.81\ \mathrm{N}$ omlaag. Het water duwt met $4.905\ \mathrm{N}$ omhoog. De weegschaal levert de resterende opwaartse kracht en wijst dus aan:

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Dat is het schijnbare gewicht van het onder water hangende voorwerp. De les over opwaartse kracht van NASA gebruikt dezelfde aftrekking van krachten in andere eenheden. Het voorwerp heeft geen massa verloren: het water draagt een deel van zijn gewicht. Maak je de haak los, dan is het gewicht groter dan de opwaartse kracht en versnelt het voorwerp omlaag. Bereikt het de bodem, dan komt daar een contactkracht bij en beschrijft de vergelijking voor een hangende weegschaal niet meer de volledige krachtenbalans.

Teken de krachten voordat je bepaalt of iets drijft

De methode voor een krachtendiagram is hier bijzonder handig. Teken alleen de krachten op het voorwerp. Voor het hangende voorwerp teken je gewicht $W$ omlaag, opwaartse kracht $F_{\mathrm{b}}$ omhoog en spankracht van de weegschaal $T$ omhoog. In rust geldt $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Laat de weegschaal het los, schrap dan $T$ en gebruik Newtons tweede wet voor de resterende resulterende kracht.

Een vrij drijvend voorwerp in rust heeft geen ondersteunende weegschaal en raakt de bodem niet. Alleen gewicht en opwaartse kracht zijn in evenwicht:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Die gelijkheid volgt uit evenwicht. Ze betekent niet dat het water het gewicht van het voorwerp van tevoren ‘weet’. Het voorwerp beweegt tot er genoeg van onder water zit om een even zwaar volume water te verplaatsen. Meer lading laat een drijvend voorwerp dieper zakken; met minder lading stijgt het. Onze gids over Newtons wetten legt uit waarom een resulterende kracht van nul rust of eenparige beweging beschrijft en een ongebalanceerde kracht de beweging verandert.

Uitgewerkt voorbeeld: welk deel van een blok zit onder water?

Neem een afgesloten blok met totaal volume $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ en gemiddelde dichtheid $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Zijn massa is $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$, dus het gewicht is:

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Laat het vrij drijven. In rust moet het verplaatste water $5.886\ \mathrm{N}$ wegen. Bereken het watervolume:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Dus $0.6/1.0=0.60$, oftewel 60 procent van het blokvolume, is ondergedompeld. De overige 40 procent steekt in dit ideale model boven het oppervlak uit. Dezelfde uitkomst volgt rechtstreeks uit de verhouding van dichtheden:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Die verkorte formule veronderstelt een vrij drijvend voorwerp in evenwicht, een uniforme vloeistof en een gemiddelde voorwerpdichtheid berekend met het uitwendige volume. Ze is geen formule voor het ondergedompelde deel van een zinkend voorwerp dat aan een touw hangt of op de bodem ligt. De verhouding kan bij vrij drijvend evenwicht in deze eenvoudige situatie ook niet groter dan één zijn. Als de gemiddelde voorwerpdichtheid hoger is dan die van de vloeistof, kan het niet genoeg vloeistof verplaatsen om te blijven drijven.

Duw hetzelfde blok nu helemaal onder water en houd het daar. Het verplaatst de volle $1.0\ \mathrm{L}$, zodat de opwaartse kracht $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$ wordt. Zijn gewicht blijft $5.886\ \mathrm{N}$. Zonder de kracht die het tegenhoudt, zou de resulterende kracht $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ omhoog zijn. Daarom moet je omlaag duwen om het ondergedompeld te houden. Gebruik $9.81\ \mathrm{N}$ niet als opwaartse kracht wanneer het vrij drijft. Dan is ze $5.886\ \mathrm{N}$, omdat slechts $0.6\ \mathrm{L}$ onder water zit.

Het onderwerp Vloeistoffen en gassen in Physics Zen geeft verplaatst volume en krachtenbalans een eigen plek. Reken het volume eerst om naar kubieke meters en vergelijk daarna de krachten in newton.

Probeer twee korte opgaven

Opgave 1. Een volledig ondergedompeld star voorwerp verplaatst $0.002\ \mathrm{m^3}$ water. Bereken met de modelwaarden hierboven zijn opwaartse kracht. Het antwoord is $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ omhoog. Voor deze stap heb je de massa niet nodig; die heb je wel nodig om te bepalen of het na loslaten stijgt.

Opgave 2. Een vrij drijvend afgesloten voorwerp heeft een gemiddelde dichtheid van $750\ \mathrm{kg/m^3}$ in ons model van water. Welk deel van zijn volume is ondergedompeld? Het antwoord is $750/1000=0.75$, oftewel 75 procent. Bij een uitwendig volume van $2.0\ \mathrm{L}$ is het ondergedompelde volume $1.5\ \mathrm{L}$. Controleer via de massa: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, gelijk aan de massa van $1.5\ \mathrm{L}$ water in dit model.

Veelgemaakte fouten

Het volledige volume gebruiken voor een deels drijvend voorwerp. Alleen het ondergedompelde deel verplaatst vloeistof. Bereken dat deel uit evenwicht in plaats van aan te nemen dat het hele blok onder water zit.

Denken dat zinken geen opwaartse kracht betekent. De kracht omhoog op een zinkend voorwerp kan aanzienlijk zijn; na loslaten compenseert ze alleen het gewicht niet.

Schijnbaar gewicht behandelen als veranderde zwaartekracht. Het gewicht van het voorwerp blijft $mg$. De weegschaal geeft minder aan omdat water nog een kracht omhoog levert.

Liter en kubieke meter verwisselen. Eén liter is $0.001\ \mathrm{m^3}$. Reken om voordat je met een dichtheid per kubieke meter vermenigvuldigt.

De dichtheidsverhouding voor drijven buiten haar aannames gebruiken. Een voorwerp dat omlaag wordt gehouden, op de bodem steunt of in een vloeistof met veranderende dichtheid zit, vereist zijn eigen krachtenbalans. Teken het diagram en gebruik opnieuw het verplaatste volume.

Veelgestelde vragen

Neemt de opwaartse kracht toe met de diepte?

In dit model met constante dichtheid verandert bij een star voorwerp dat al volledig onder water is het verplaatste volume niet wanneer het dieper gaat. Daarom blijft $\rho gV$ gelijk. Tijdens het binnengaan van het water neemt de opwaartse kracht wel toe omdat het ondergedompelde volume groeit. Andere omstandigheden, zoals een samendrukbaar voorwerp of een vloeistof waarvan de dichtheid met de diepte verandert, vereisen een andere analyse.

Waarom kan een zwaar schip drijven terwijl een kleine metalen sleutel zinkt?

Gewicht alleen bepaalt dat niet. De scheepsromp omsluit ruimte en heeft, als je dat volume meerekent, een gemiddelde dichtheid die laag genoeg is om evenveel watergewicht te verplaatsen als het schip weegt voordat de waterlijn de bovenrand bereikt. Een compacte sleutel heeft een gemiddelde dichtheid boven die van water. Ook volledig onder water is zijn opwaartse kracht daarom niet genoeg om het gewicht te compenseren.

Is verplaatst water hetzelfde als water dat over de rand loopt?

Verplaatst volume is het volume waaruit het voorwerp water verdringt. In een overloopbak kan evenveel water over de rand lopen. In een zwembad stijgt in plaats daarvan de waterspiegel. De opwaartse kracht hangt af van het gewicht van de verdrongen vloeistof, niet van de vraag of je overgelopen water opvangt.