Fórmula do efeito Doppler: sinais e exemplos resolvidos com som

Uma buzina emite som em uma frequência fixa. Quando o veículo se aproxima, você ouve um tom mais agudo; depois que ele passa, um tom mais grave. A fonte não reajustou a buzina. O movimento mudou a frequência com que as frentes de onda chegam até você. A fórmula do efeito Doppler quantifica essa mudança, mas é fácil trocar seus dois sinais se você decorar apenas um padrão de “mais em cima e menos embaixo”.

Vamos usar som que se propaga no ar parado, com fonte e ouvinte movendo-se diretamente ao longo da reta que os une. Uma tabela torna explícita a escolha dos sinais. Depois resolveremos duas vezes o caso de um mesmo tom emitido: primeiro com a fonte em movimento e então com o ouvinte se movendo à mesma rapidez. No último caso, ambos se movem. Essa comparação é útil porque o som tem um meio: os dois primeiros movimentos são parecidos, mas não são matematicamente idênticos.

Identifique primeiro a fonte, o ouvinte e o meio

Chamemos de $f_s$ a frequência emitida e de $f_o$ a frequência ouvida. Seja $v$ a rapidez do som em relação ao ar, $v_s$ a rapidez da fonte em relação a esse ar e $v_o$ a rapidez do ouvinte em relação ao ar. As três rapidezes devem usar a mesma unidade, normalmente metros por segundo. Nos exemplos, $v=340\ \mathrm{m/s}$ é um dado do problema, não um valor universal para qualquer condição do ar.

A diferença entre fonte e ouvinte é física. Uma fonte em movimento emite a próxima crista de uma nova posição. À sua frente, as cristas ficam mais próximas, então o comprimento de onda no ar diminui. Um ouvinte em movimento não altera esse comprimento de onda; ele atravessa as cristas existentes com maior ou menor frequência. OpenStax deduz os dois casos a partir dessas observações.

Antes de substituir valores, desenhe uma seta da fonte para o ouvinte. Marque para onde cada objeto se move ao longo dessa seta. Se um carro atravessa seu campo de visão lateralmente, não basta colocar sua rapidez total nesta fórmula unidimensional. Em uma trajetória oblíqua, importam as componentes das velocidades ao longo da linha de visada naquele instante; em um problema introdutório, siga a geometria e a convenção indicadas pelo seu curso.

Fórmula para o som e tabela de escolha dos sinais

Para movimentos sobre uma única reta no ar parado, escreva a fórmula assim:

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

Os sinais pareados são uma abreviação, não uma instrução para escolher os dois sinais superiores juntos. Escolha o numerador a partir do movimento do ouvinte e o denominador a partir do movimento da fonte, independentemente:

Defina como zero a rapidez de qualquer objeto parado. Se ambos se aproximam, as duas escolhas aumentam o resultado: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Se eles se afastam, ambas o reduzem: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. A direção relativa pode se inverter quando um objeto passa pelo ouvinte; não continue usando o sinal de aproximação depois da passagem.

Uma verificação rápida do caso limite revela os piores erros de sinal: faça $v_s=v_o=0$. A fórmula deve retornar $f_o=f_s$. A aproximação deve dar um valor acima da frequência emitida e o afastamento, um valor abaixo. Se sua resposta falhar em uma dessas verificações, revise o desenho antes da aritmética. Em movimentos mais lentos, as mudanças são modestas; um fator de dez geralmente indica unidades misturadas ou o sinal errado no denominador.

Exemplo 1: a fonte se aproxima de um ouvinte parado

Uma buzina emite $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Um veículo a leva em direção a um ouvinte parado a $v_s=34\ \mathrm{m/s}$. Use $v=340\ \mathrm{m/s}$. O ouvinte está parado, portanto $v_o=0$. A fonte se aproxima, então subtraia sua rapidez no denominador:

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

Isso fica cerca de $75.6\ \mathrm{Hz}$ acima do tom emitido. Verifique o fator: $340/306=1.111\ldots$ é maior que um, como exige uma fonte que se aproxima. As unidades de rapidez se cancelam e restam hertz. O resultado é uma frequência instantânea ideal para essa situação simples de movimento constante, não uma previsão do volume do som.

E se o mesmo veículo já passou e agora se afasta à mesma rapidez? Só muda o sinal do denominador:

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

As frequências de aproximação e afastamento não ficam exatamente à mesma distância acima e abaixo de $680\ \mathrm{Hz}$. Os denominadores são $306$ e $374$; as alterações nos recíprocos não são iguais. Não subtraia da frequência emitida o aumento calculado na aproximação para adivinhar o tom do afastamento.

A explicação pelo comprimento de onda também pode ser vista numericamente. O período entre cristas emitidas é $1/680\ \mathrm{s}$. Durante esse período, a fonte avança $34/680=0.050\ \mathrm{m}$ e uma frente de onda avança $340/680=0.500\ \mathrm{m}$ pelo ar. À frente da fonte móvel, cristas consecutivas ficam separadas por $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$. Um ouvinte parado as recebe a $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$, a mesma resposta por outro caminho.

Exemplo 2: mova o ouvinte em vez da fonte

Agora deixe a buzina parada em relação ao ar, ainda emitindo $680\ \mathrm{Hz}$. O ouvinte se aproxima dela a $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. O comprimento de onda no ar continua sendo $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$. O ouvinte encontra as cristas a uma rapidez relativa de $340+34=374\ \mathrm{m/s}$:

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

Compare $748.0\ \mathrm{Hz}$ com $755.6\ \mathrm{Hz}$ no Exemplo 1. Ambas são maiores que $680\ \mathrm{Hz}$, mas, nessa rapidez, a fonte em movimento produz uma mudança um pouco maior. Substituir as duas situações por uma única “rapidez relativa” genérica esconderia essa diferença para o som em um meio. A fonte muda o comprimento de onda; o ouvinte muda a frequência com que o atravessa.

Se o ouvinte se afastar, use $v-v_o$ no numerador: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. Isso é menor que o resultado de $618.2\ \mathrm{Hz}$ da fonte que se afasta. A comparação com a mesma rapidez funciona antes e depois da passagem.

Esta tabela é a verificação numérica original deste guia. Em cada coluna, o tom emitido, a rapidez do som e a rapidez do objeto móvel são iguais; só muda qual objeto se move. Ela serve para conferir qualquer cálculo do efeito Doppler.

Exemplo 3: os dois se aproximam

Use a mesma buzina de $680\ \mathrm{Hz}$ e a mesma rapidez do som de $340\ \mathrm{m/s}$. Desta vez, a fonte se aproxima do ouvinte a $20\ \mathrm{m/s}$ e o ouvinte se aproxima da fonte a $10\ \mathrm{m/s}$. Ambas as escolhas devem aumentar a frequência observada. Some a rapidez do ouvinte no numerador e subtraia a da fonte no denominador:

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

O fator $350/320=1.09375$ é maior que um. Como outra verificação, retire o movimento do ouvinte: $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$. Adicionar um ouvinte que se aproxima eleva a frequência para $743.75\ \mathrm{Hz}$, exatamente como o desenho prevê. Se o ouvinte se afastasse a $10\ \mathrm{m/s}$ enquanto a fonte ainda se aproxima, os dois efeitos competiriam: $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$. Você precisa escolher os sinais separadamente em vez de chamar toda a situação apenas de “aproximação”.

Limites que dão sentido ao resultado

Estes são exemplos de som clássico. As rapidezes se referem a um meio especificado, aqui o ar parado, e a fórmula retilínea usa o movimento ao longo do caminho do som. O vento muda as velocidades em relação ao ar; um trajeto lateral exige componentes. Mantemos a fonte abaixo da rapidez do som. Quando a rapidez de uma fonte que se aproxima tende a $v_s=v$, o denominador tende a zero. Isso indica que o modelo de frentes de onda separadas usado na fórmula deixa de valer; não significa que o ouvinte perceba frequência infinita. Estrondos sônicos e frentes de choque exigem outro modelo.

A luz também apresenta mudanças Doppler, mas se propaga no vácuo sem um meio semelhante ao ar. Não coloque a rapidez da luz nesta fração para som nem use velocidades independentes da fonte e do ouvinte em relação a um ar estacionário imaginário. O capítulo de OpenStax sobre luz apresenta a relação relativística em termos de movimento relativo. A ideia física de que a aproximação aumenta a frequência continua válida, mas o cálculo muda.

Em um novo problema de som, escreva $f_s$, $v$, $v_s$ e $v_o$ com unidades, desenhe o movimento e consulte a tabela de sinais. Confira se a resposta corresponde à aproximação ou ao afastamento e ao limite de rapidez zero. Se definir as direções dos objetos for a parte difícil, o guia de cinemática ajuda a manter coerentes os sinais da velocidade. O tema Ondas e som no Physics Zen inclui prática de Doppler com números novos, correção imediata e soluções passo a passo. Um desenho claro e duas verificações ajudam mais que decorar uma sequência de sinais.