Movimento harmônico simples: por que as oscilações se repetem

Afaste uma massa da posição de equilíbrio de uma mola e solte-a. A mola puxa a massa de volta, mas ela não para no centro. Chega com rapidez, passa pelo centro, comprime a mola e recebe um empurrão no sentido contrário.

Essa troca repetida é o movimento harmônico simples, muitas vezes abreviado como MHS. As equações com seno e cosseno o descrevem, mas não são a ideia inicial. O ponto de partida é uma força que sempre aponta de volta ao equilíbrio e cresce em proporção direta à distância percorrida para longe dele.

O equilíbrio é o centro do movimento

Equilíbrio é a posição onde a força resultante é zero. Para uma mola horizontal ideal, chame essa posição de $x = 0$. Esticar para a direita gera deslocamento positivo; comprimir para a esquerda gera deslocamento negativo.

A lei de Hooke é:

$$F = -kx$$

A constante da mola $k$ mede sua rigidez. O sinal negativo indica que a força aponta no sentido oposto ao deslocamento. Se a massa está à direita do equilíbrio, a força aponta para a esquerda; se está à esquerda, aponta para a direita.

A segunda lei de Newton então fornece:

$$a = -\frac{k}{m}x$$

Essa relação define o padrão. A aceleração é proporcional ao deslocamento e aponta para o equilíbrio. Nosso guia das leis de Newton apresenta o raciocínio com forças; o MHS é o que ele prevê para uma força restauradora linear.

OpenStax University Physics deduz a mesma relação da lei de Hooke e a usa para obter o período do sistema massa-mola. A dedução importa porque mostra exatamente onde o modelo ideal começa.

Nem todo movimento repetitivo é harmônico simples. Uma bola quicando repete seu movimento, mas a aceleração não é proporcional ao deslocamento em relação a um equilíbrio central. Um oscilador real também pode se afastar do MHS quando sua força restauradora se torna não linear ou o amortecimento é forte.

Por que a massa passa do equilíbrio

No extremo direito, o deslocamento é $+A$, em que $A$ é a amplitude. A força da mola e a aceleração apontam para a esquerda e a massa está instantaneamente em repouso.

Enquanto se move para o centro, a massa ganha rapidez. No equilíbrio, força da mola e aceleração são zero, mas a rapidez é máxima. Força zero em um instante não significa velocidade zero. Pela inércia, a massa atravessa o centro.

Depois do centro, o deslocamento se torna negativo. A força restauradora agora aponta para a direita e reduz a rapidez até a massa parar em $-A$. O processo se inverte.

Isso fornece um mapa útil:

• Em $x = \pm A$: a rapidez é zero e o módulo da aceleração é máximo.
• Em $x = 0$: a rapidez é máxima e a aceleração é zero.
• Entre esses pontos: deslocamento, velocidade e aceleração mudam continuamente.

A aceleração não é, em geral, oposta à velocidade. Quando a massa vai para o equilíbrio, ambas apontam no mesmo sentido e ela ganha rapidez. Depois que atravessa o equilíbrio, apontam em sentidos contrários e ela perde rapidez.

A equação com cosseno é um relógio para o ciclo

Se o oscilador começa no deslocamento positivo máximo e é solto do repouso, sua posição pode ser escrita:

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

A frequência angular $\omega$ indica a rapidez com que o oscilador avança pelo ciclo. Uma condição inicial mais geral exige uma constante de fase:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

A fase $\phi$ define em que ponto do ciclo o relógio marca zero. Não muda a amplitude nem a taxa de repetição.

Ao derivar a posição, obtemos velocidade e aceleração:

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ $$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2x(t)$$

A última igualdade retorna à ideia que define o movimento: a aceleração é proporcional ao deslocamento e aponta no sentido contrário.

Os módulos máximos vêm diretamente das equações:

$$v_{\max} = A\omega$$ $$a_{\max} = A\omega^2$$

Posição, velocidade e aceleração não são três movimentos separados. São três maneiras de observar o mesmo ciclo, defasadas entre si.

Período, frequência e frequência angular

O período $T$ é o tempo de uma oscilação completa. A frequência $f$ conta quantas oscilações ocorrem por segundo:

$$f = \frac{1}{T}$$

A frequência angular mede a mesma taxa em radianos por segundo:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

Para um oscilador ideal massa-mola:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Portanto:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Uma massa maior oscila mais devagar e uma mola mais rígida, mais depressa. No modelo ideal, a amplitude não aparece na fórmula do período. Ao afastar mais a massa, a força aumenta, mas ela também tem mais distância a percorrer. Os dois efeitos se compensam e o tempo do ciclo permanece igual.

Exemplo resolvido com mola

Considere uma massa de $0.50\ \mathrm{kg}$ presa a uma mola ideal de $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Afaste-a $0.080\ \mathrm{m}$ do equilíbrio e solte-a do repouso sobre uma superfície sem atrito.

Primeiro, calcule a frequência angular:

$$\omega = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

O período é:

$$T = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Como a massa é solta do deslocamento positivo máximo, $\phi = 0$ e:

$$x(t) = 0.080\cos(20t)\ \mathrm{m}$$

A rapidez máxima é:

$$v_{\max} = A\omega = 0.080(20) = 1.6\ \mathrm{m/s}$$

O módulo máximo da aceleração é:

$$a_{\max} = A\omega^2 = 0.080(20)^2 = 32\ \mathrm{m/s^2}$$

Esses máximos acontecem em posições diferentes. A rapidez atinge 1,6 m/s no equilíbrio. O módulo da aceleração chega a 32 m/s² nos extremos.

A energia explica o mesmo movimento sem relógio

Um oscilador ideal troca continuamente energia potencial elástica por energia cinética:

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2$$

Nos extremos, a massa está parada, então toda a energia mecânica é potencial elástica. No equilíbrio, a energia potencial da mola é zero em relação a esse ponto e a energia cinética é máxima. O total permanece:

$$E = \frac{1}{2}kA^2$$

Para o exemplo resolvido:

$$E = \frac{1}{2}(200)(0.080)^2 = 0.64\ \mathrm{J}$$

Em qualquer posição, a conservação da energia permite achar a rapidez sem resolver o tempo:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Esta é a conexão com nosso guia de trabalho e energia. Use as equações senoidais quando tempo e fase forem importantes. Use energia quando a pergunta relacionar rapidez e posição sem pedir quando o oscilador chegará lá.

Um pêndulo só segue o MHS no modelo de ângulos pequenos

Em um pêndulo simples, uma componente da gravidade age como força restauradora. Sua equação angular exata contém $\sin\theta$, portanto não é exatamente linear. Para ângulos pequenos medidos em radianos, $\sin\theta \approx \theta$ e o movimento é aproximadamente harmônico simples.

O período para ângulos pequenos é:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

A massa não aparece. No modelo ideal para ângulos pequenos, um pêndulo mais pesado tem o mesmo período de outro mais leve com o mesmo comprimento no mesmo local. Aumentar o comprimento aumenta o período; uma gravidade mais intensa o reduz.

Para $L = 0.90\ \mathrm{m}$ e $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.90}{9.81}} \approx 1.90\ \mathrm{s}$$

Em amplitudes maiores, a aproximação de ângulos pequenos piora e o período real supera o previsto pela fórmula. Declare a aproximação em vez de tratar qualquer oscilação do pêndulo como MHS exato.

Osciladores reais perdem energia

O MHS ideal continua para sempre porque nenhuma energia sai do sistema. Osciladores reais sofrem atrito, resistência do ar ou perdas internas. Sua amplitude diminui com o tempo: é o amortecimento.

Uma força externa periódica pode repor a energia perdida e impulsionar o oscilador. Quando sua frequência se aproxima da frequência natural do sistema, a resposta pode se tornar grande. Isso é ressonância. O amortecimento limita o crescimento e muda quão acentuada é a resposta.

Para outro uso da frequência, nosso guia da fórmula do efeito Doppler compara o que uma fonte e um ouvinte em movimento escutam.

Esses efeitos ampliam o modelo básico, não o apagam. Primeiro, identifique equilíbrio, força restauradora, frequência natural e troca de energia. Depois, acrescente amortecimento ou força externa periódica se o problema os incluir.

Uma sequência confiável para resolver problemas

Comece definindo o equilíbrio e o sentido positivo. Meça o deslocamento a partir do equilíbrio, não automaticamente do comprimento natural da mola. Em uma mola vertical, a gravidade desloca a posição de equilíbrio; oscilações ao redor desse novo ponto ainda seguem o mesmo período massa-mola no modelo ideal.

Depois decida o que o problema pede. Se pedir a taxa de repetição, use a relação do período. Se pedir a posição em determinado instante, escolha a fase correta pelas condições iniciais. Se pedir a rapidez em certa posição, usar energia costuma ser mais curto.

Por fim, confira o padrão físico. A aceleração deve apontar para o equilíbrio. A rapidez deve ser zero nos extremos e máxima no centro. Uma mola mais rígida deve encurtar o período; uma massa maior deve alongá-lo.

Pratique essas ideias no tema Movimento harmônico simples do Physics Zen, com molas, pêndulos e energia no MHS. Coloque a imagem física antes da fórmula: deslocamento produz força restauradora, o objeto ultrapassa o equilíbrio e a energia vai e volta enquanto o ciclo se repete.